高一數(shù)學(xué)組劉華泉在三角函數(shù)的教學(xué)中，三角函數(shù)線（正弦線、余弦線、正切線）一直是與三角函數(shù)圖像并駕齊驅(qū)的兩大解題法寶，是數(shù)形聯(lián)合思想的完美體現(xiàn)。但學(xué)生往往重后者而疏前者，因此老師們在“三角函數(shù)線的解題功能”方面有較多的探討。如今，隨著新課程改革三角函數(shù)定義的單位圓化，給了三角函數(shù)線更寬的舞臺，在三角函數(shù)這一章節(jié)知識的展開中，三角函數(shù)線起到了前所未有的作用。本文旨在挖掘“單位圓——三角函數(shù)線”在教學(xué)中的功能。教學(xué)作用一．三角函數(shù)“單位圓定義法”與原教材“終邊定義法”之比較：“終邊定義法（siny等）”源于銳角三角函數(shù)，“終邊定義法”需要經(jīng)過“取r點(diǎn)──求距離──求比值”等步驟，對應(yīng)關(guān)系不夠簡短；“比值”作為三角函數(shù)值，其意義（幾何含義）不夠清晰；“從角的會合到比值的會合”的對應(yīng)關(guān)系與學(xué)生熟悉的一般函數(shù)觀點(diǎn)中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應(yīng)關(guān)系不一致，而且“比值”需要經(jīng)過運(yùn)算才能獲得，隨意一個(gè)角所對應(yīng)的比值的唯一性（即與點(diǎn)的選用無關(guān)）也需要證明；“比值”的周期性變化規(guī)律也需要經(jīng)過推理才能獲得．過去的教學(xué)實(shí)踐表示，很多學(xué)生在結(jié)束了三角函數(shù)的學(xué)習(xí)后還對三角函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系不甚了了，與“終邊定義法”的這些問題不無關(guān)系．用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義隨意角的三角函數(shù)有很多優(yōu)點(diǎn)．（1）簡單、清楚，突出三角函數(shù)最重要的性質(zhì)──周期性．采用“單位圓定義法”，對于隨意角，它的終邊與單位圓交點(diǎn)P(x，y)唯一確定，這樣，正弦、余弦函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系，即角（弧度）對應(yīng)于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y──正弦，角（弧度）對應(yīng)于點(diǎn)

P的橫坐標(biāo)

x──余弦，能夠獲得特別清楚、明確的表示，而且這種表示也是簡單的．此外，“x=cos，y=sin是單位圓的自然的動向（解析）描繪，其中，單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)隨著角每隔2π（圓周長）而重復(fù)出現(xiàn)（點(diǎn)繞圓周一圈而回到原來的地點(diǎn)），特別直觀地顯示了這兩個(gè)函數(shù)的周期性．所以作為隨意角三角函數(shù)的定義，自然是選擇能夠表現(xiàn)周期性的單位圓更加適合。此外，該定義能夠在學(xué)誘導(dǎo)公式前求特殊角的三角函數(shù)值，也能夠判斷三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號。教學(xué)作用二．單位圓中理解弧度制：學(xué)生在學(xué)習(xí)弧度制時(shí)，對于引進(jìn)弧度制的必要性較難理解．

“單位圓定義法”能夠啟迪POQx圖1學(xué)生反?。翰捎没《戎菩貞呀牵褪怯脠A的半徑來胸懷角，當(dāng)此圓為單位圓時(shí)，由扇形弧長公式lr知，l。所以，在單位圓中，角度就是弧長l。這時(shí)角度和半徑長度的單位一致，這樣，三角函數(shù)就是以實(shí)數(shù)（弧度數(shù)）為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)（也是實(shí)數(shù)）為函數(shù)值的函數(shù)，這就與函數(shù)的一般定義一致了我們還能夠這樣來理解三角函數(shù)中自變量與函數(shù)值之間的對應(yīng)關(guān)系：把實(shí)數(shù)軸想象為一條柔軟的細(xì)線，原點(diǎn)固定在單位點(diǎn)A（1，0），數(shù)軸的正半軸逆時(shí)針纏繞在單位圓上，負(fù)半軸順時(shí)針纏繞在單位圓上，那么數(shù)軸上的隨意一個(gè)實(shí)數(shù)（點(diǎn)）被纏繞到單位圓上的點(diǎn)P(cos，sin)．教學(xué)作用三．“同角三角函數(shù)的基本關(guān)系”中的公式推導(dǎo)和應(yīng)用（求值、證明）：1．公式推導(dǎo)：如圖2，關(guān)系式一“sin2cos21”，即RTOMP中的勾股定理“MP2OM21”。關(guān)系式二“sintan”，即相像三角cos形比式“MPATAT”。OMOAyPAMOx圖2T教學(xué)作用四．誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)：舉兩例，如圖3，察看三角函數(shù)線可知，與的正弦線相等，余弦相反；y所以對于y軸的軸對稱性sin(π－)=sin，Ox圖3cos(π－)=－cos；y如圖4，3的正弦線等于的余弦線的相反數(shù)，2Ox32圖43)sin，對于y=-x對稱cos(2sin(3。)cos2同理以下結(jié)論都能夠在單位圓中體現(xiàn)●對于圓心的中心對稱性sin(π+)=－sin，cos(π+)=－cos；●對于x軸的軸對稱性sin(－)=－sin，cos(－)=cos；●對于直線y=x的軸對稱性sin(－)=cos，cos(－)=sin；教學(xué)作用五．利用正弦函數(shù)線作正弦曲線：教材中采用將單位圓十二等份，然后平移出十二條正弦線，連結(jié)十二個(gè)平移出的P點(diǎn)，得ysinx,x[0,2]的圖象。即描出了12個(gè)點(diǎn)。y(,sin)問題：怎樣給圖5中的鈍角描點(diǎn)(,sin)？PP’M’橫坐標(biāo)x等于劣弧OP的長（由功能二可知），用一條柔軟MO的細(xì)線將劣弧OP平展到射線Ox上，得橫坐標(biāo)x對應(yīng)的點(diǎn)。然圖5

x后，將x的正弦線平移過去得縱坐標(biāo)sin，得點(diǎn)(,sin)。教學(xué)作用六．三角函數(shù)的性質(zhì)：“單位圓定義法”使三角函數(shù)反應(yīng)的數(shù)形關(guān)系更直接，為后面議論三角函數(shù)的性質(zhì)和圖像確立了很好的直觀基礎(chǔ)．如圖6，當(dāng)角x的終邊繞原點(diǎn)從x的正半軸開始，按照逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)時(shí)，03→2→的規(guī)律循環(huán)往復(fù)變化著，自變量x的終邊按照→→→22所以三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、對稱性、單一性了如指掌教學(xué)作用七：其余解題功能：主要功能：等式與不等式、比較大小。1．由于單位圓中弧長l|x|r|x|，從圖6中易知當(dāng)0x時(shí)，2sinxxtanx。此不等式能指導(dǎo)作圖7，三者唯一的交點(diǎn)是原點(diǎn)。ytanxyyxy1ysinxO02x3x圖72圖61yyP1P(1)2sinxOMx2．解不等式組2M1(2)cosx圖82、(2)式的解x的終邊所在地區(qū)用陰影表示分別如圖8、9所示。取公共部分得解集{x|22kx52k,kZ}36

1xyPMOxP圖9從這個(gè)角度來看，新課程也許在告訴我們，能夠?qū)⑷呛瘮?shù)統(tǒng)