第二章函數(shù)

第一節(jié)函數(shù)及其表示

［備考領(lǐng)航］

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀關(guān)聯(lián)考點(diǎn)核心素養(yǎng)

1.通過(guò)實(shí)例,進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)

系的重要數(shù)學(xué)模型，學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫

函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用.

2.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域1.求函數(shù)的定義域.1.數(shù)學(xué)抽象.

和值域.2.求函數(shù)的解析式.2.數(shù)學(xué)運(yùn)算.

3.會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列3.分段函數(shù)3.直觀想象

表法、解析法)表示函數(shù).

4.通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)

用

知識(shí)返點(diǎn)寬實(shí)重點(diǎn)準(zhǔn)逐點(diǎn)清結(jié)論要牢記課前自修

［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］

重點(diǎn)一函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念

函數(shù)

兩集合4,BA,3是兩個(gè)非空數(shù)集

對(duì)應(yīng)關(guān)系如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系力使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,

/：A-*B在集合B中都有唯一確定的數(shù)/U)與之對(duì)應(yīng)

名稱稱/A-B為從集合4到集合B的一個(gè)函數(shù)

記法y=f(x),xGA

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)函數(shù)v=f(x)自變量取值的范圍A叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合6x)|xGA｝叫做

函數(shù)的值域；

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)法則完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

［提醒］(1)在定義中，集合8不一定是函數(shù)的值域，它包含了函數(shù)的值域，即值域是

集合5的子集；

(2)若兩函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則兩函數(shù)相同；

（3）若兩函數(shù)的值域與對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則兩函數(shù)不一定相同，如：7=好（工20）與y=*2.

［逐點(diǎn)清］

1.（興修1第17頁(yè)例1改編）已知若火-2）=0,則a的值為.

解析：因?yàn)椋紉）=53+±,所以次一2）=心一2+3+—^7=0,解得a=l.

x-ra—2十4

答案：1

2.（易錯(cuò)題）已知集合尸={x|0WxW4},Q={y|0WyW2},下列從尸到。的各對(duì)應(yīng)關(guān)系/

不是函數(shù)的是.（填序號(hào)）

_1-1

①/：Ly=y；?f：

2

?f：X-j=-x；④f:xfy=&

28

解析：對(duì)于③，因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí)，j=-X4=-^0,所以③不是函數(shù).

答案：③

3.（易楮題）已知{）=X2+5X,則/（X）=.

解析：令》=：，則X=}?#（））,即/"）=；+：,

5x+1

;g)=(xWO).

x2

5x+1

答案:QWO)

重點(diǎn)二分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域內(nèi)，對(duì)于定義域內(nèi)的不同取值區(qū)間，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系,這樣的

函數(shù)通常叫做分段函數(shù).

［提醒］分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是幾個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并

集，值域是各段值域的并集.

［逐點(diǎn)清］

4.（強(qiáng)修1第25頁(yè)B組1題改編）函數(shù)尸;⑺的圖象如圖所示，那么，/（X）的定義域是

:值域是;其中只有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)的y值的范圍是.

-3：-2：-lit)：2：3：

答案：[-3,0]U[2,3][1,5][1,2)U(4,5]

\[x,x20,

,—若八”)+/(—1)=2,則“=.

{\/—x,x<0?

解析：若則如+1=2,得”=1;

若。<0,則。一“+1=2,得a=-1.

故a=±l.

答案：±1

［記結(jié)論?提速度］

［記結(jié)論］

1.直線x=a（a是常數(shù)）與函數(shù)y=4x）的圖象有0個(gè)或1個(gè)交點(diǎn).

2.判斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù)是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致.

［提速度］

1.若函數(shù)y=4x）的定義域?yàn)镸={x|-2WxW2},值域?yàn)镹={y|0WyW2},則函數(shù)y=

/（x）的圖象可能是（）

解析：選BA中函數(shù)定義域不是［-2,2］;C中圖象不表示函數(shù)；D中函數(shù)值域不是

［0,2］.

2.（此修1第18頁(yè)例2改編）下列函數(shù)中，與函數(shù)y=x+l是相等函數(shù)的是（）

A.y=（"\［x+l）2B.y=\lj?+l

x2

C.j=~+1D.y=G+l

解析：選B對(duì)于A,函數(shù)y=f\/j^n）2的定義域?yàn)閧x|x》一1},與函數(shù)y=x+l的定

義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于B,定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對(duì)于C,函數(shù)

y=/+l的定義域?yàn)閧x|xW0},與函數(shù)y=x+l的定義域不同，不是相等函數(shù)；對(duì)于D,定

義域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù).故選B.

考點(diǎn).分類突破理解透規(guī)律明變化究其本課堂講練

1考點(diǎn)一1求函數(shù)的定義域

［定向精析突破］

考向1已知函數(shù)解析式求定義域

卜,亞三:的定義域?yàn)椋?/p>

[例1]（2021?南歷城四中月考）函數(shù)/（x）=,,?八)

*+1）

A.[-2,2]B.[-2,0)U(0,2]

c.(-I,o)u(o^]D.(-1,2]

x+l>0,

有意義，則。g(x+l)WO,

［解析］要使火x)=lg(x+1)得xG(-l,0)U(0,2].

.2—x20,

［答案］C

［解題技法］

常見(jiàn)函數(shù)定義域的類型

(D分式型尤J要滿足/(640

⑵根式型句而(neN?)要滿足/G)》0

(3)黑函數(shù)型要滿足/G)#0

(4)對(duì)數(shù)型logo/U)(a>0,且a/l)要滿足/G)>0

(5)正切型tan［/(%)］要滿足/(%)豐宏+471,AwZ

考向2求抽象函數(shù)的定義域

［例2］已知函數(shù)/(*)的定義域?yàn)閯t函數(shù)如x)=《)+/(x—l)的定義域?yàn)?)

A.(—2,0)B.(-2,2)

D.(一0)

C.(0,2)

[解析]由題意得｛--2<x<2,

l-Kx-Kl,0<x<2,

:.0<x<2,

...函數(shù)g(x)=f的定義域?yàn)?0,2).

［答案］C

［解題技法］

求抽象函數(shù)定義域的方法

(1)巳知函數(shù)/(X)的定義(2)已知復(fù)合函數(shù)/［&(%)］

域?yàn)閘a,bl,求復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)椋勖鱽V，求函

/［g(x)］的定義域數(shù)/(力的定義域

--------------------------------------------

由不等式aWgG)Wb解得求出y=g(4)(%W［Q,6］)

4,則4的取值范圍即為發(fā)的值域，即為函數(shù)/(X)

合函數(shù)/［gG)］的定義域的定義域

定義域，是何意，自變量，有意義;

分式分母不為零，對(duì)數(shù)真數(shù)只取正；

偶次根式要非負(fù)，三者結(jié)合生萬(wàn)物；

和差積商定義域,不等式組求交集;

抽象函數(shù)定義域,對(duì)應(yīng)法則內(nèi)相同.

考向3已知函數(shù)的定義域求參數(shù)的值(范圍)

nix-1

［例引⑴若函數(shù)尸/+4%+3的定義域?yàn)?則實(shí)數(shù)，"的取值范圍是()

⑵若函數(shù)外)=4&+“以+。的定義域?yàn)閧x［l<xW2},則的值為

ftix-1

［解析］(1)???函數(shù)一工^的定義域?yàn)镽,

mxz+4mx+3

［”層0,

Am=0或J,

U=16w2-12/n<0,

、3

即機(jī)=0或0</n<r,

...實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是［o,

(2)、?函數(shù)於)=、/〃/+0加:+b的定義域?yàn)閧x|lWxW2},

卜vO,r__3

.?.卜1)=0,解得「一一?。?a+b=-^.

1/(2)=0,L=-3,-

9

［答案］(1)D(2)--

［解題技法］

已知函數(shù)的定義域求參數(shù)的值或范圍，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式(組)或方程，然

后求解.

［跟蹤訓(xùn)練］

1.如果函數(shù)_/(x)=ln(—2x+a)的定義域?yàn)?-8,1),那么實(shí)數(shù)。的值為()

A.-2B.-1

D.2

解析：選D因?yàn)?2x+a>0,所以x<5,

所以二=1,所以〃=2.

2.函數(shù)y='\l4-x2—的定義域?yàn)?/p>

”4一40,

解析：由題意得《三三羊0,

x—2

2W0,

解得一2Wxv—1或一l<xvl或l<x<2.

所以原函數(shù)的定義域?yàn)椋?2,-1)U(-1,1)U(1,2).

答案：［-2,-1)U(-1,1)U(1,2)

14點(diǎn)-.1求函數(shù)的解析式

[師生共研過(guò)關(guān)]

[例4]求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知/(I—sinx)=cos2x,求1Ax)的解析式；

(2)已知G+F)=X4+E，求/(x)的解析式；

(3)已知f(x)是一次函數(shù)且3/Kx+l)-2Ax-l)=2x+17,求大好的解析式；

(4)定義在(一1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2/(x)-/(-x)=lg(x+l),求/(x)的解析式.

[解](1)(換元法)設(shè)l-sinx=f,代[0,2],

則sinx=1—Z,V/(l—sinx)=cos2x=1—sin2x,

：.f(t)=l-(l-t)1=2t-t2,te[0,2].

即**)=2*一4,xe[0,2].

(2)(配湊法)?.,G+p)=G2+9}_2，

.../(*)=好一2,xG[2,4-oo).

(3)(待定系數(shù)法)..VU)是一次函數(shù)，

可設(shè)由用二城+伙”。。)，

.,.3[a(x+l)4-*]-2[a(x-l)+Z>]=2x+17.

即ax+(5a+/>)=2x+17,

a=2,a=2,

/.,解得

[5a+b=17,lb=7.

.?J(x)的解析式是於)=2x+7.

(4)(消去法)當(dāng)xG(—1,1)時(shí)，有〃?(x)-A-x)=lg(x+l).①

以一x代替x得，2f(—X)—/(x)=lg(—x+1).②

由①②消去./(一x)得，

2,,1

/(x)=§lg(x+l)+Fg(l—x),-ve(—1,1).

［解題技法］

函數(shù)解析式的求法

(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法；

(2)換元法：已知復(fù)合函數(shù)/(g(x))的解析式，可用換元法，此時(shí)要注意新元的取值范圍；

(3)配湊法：由已知條件/(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于趴x)的表達(dá)式，然后以x

替代g(x),可得_Ax)的解析式；

(4)消去法：已知人工)與公)或/(—X)之間的關(guān)系式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個(gè)

等式組成方程組，通過(guò)解方程組求出火X).

［跟蹤訓(xùn)練］

X

1.已知函數(shù).火*-1)=不，則函數(shù)人工)的解析式為()

x+1X

A.尸而B./?=—

C.人工)=一D.

人XI/

解析：選A令X—1=￡,則x=/+l,?\A，)=42

iI/

x+1,.

即/(幻=而故選

2.若二次函數(shù)g(x)滿足g(l)=Lg(—1)=5,且圖象過(guò)原點(diǎn)，則g(x)=.

解析：設(shè)g(x)=+辰+c(a#O),Vg(l)=1,0—1)=5,且圖象過(guò)原點(diǎn)，:.

a+b+c=l,僅=3,

a-b+c=5,解得，力=-2,

c=O,lc=O,

?\g(x)=3x2—2x.

答案：3X2—2x

3.已知凡r)滿足V(X)+/Q)=3X,則火X)=.

解析：???V(X)+./Q)=3X,①

把①中的X換成;，得〃C)+/(x)=T.②

21/(x)+O=3x,

聯(lián)立①②可得〈八

、2娟+/)=；

解此方程組可得/(x)=2x-%xH0).

答案：2x—：(xWO)

a號(hào)點(diǎn)點(diǎn)一分段函數(shù)

［定向精析突破］

考向1分段函數(shù)求值

［例5］(1)已知7貝！J(Q))=;

Uog3X,X>0,

rY~~~qo

⑵已知於)=；'則47)=____________________.

W(x+4)),x<9,

【解析］(l)；O=log3；=-2,

二,既))=/(-2)=G>=9.

(2)V7<9,

=/(/-(7+4))=/(/(11))=/(11-3)=/(8).

又,：8<9,

.,./(8)=/(f(12))=/(9)=9-3=6.

即/(7)=6.

【答案］(1)9(2)6

考向2分段函數(shù)與方程、不等式問(wèn)題

1+x12,xWO,

［例6］(1)(2021?六校聯(lián)盟第二^?者)已知函數(shù)若/(*-4)>{2工

,1,x>0,

-3),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()

A.(-1,+°°)B.(—8,—1)

C.(-1,4)D.(一8,1)

logz(3—x),xWO,i

(2)(2021?廣東省七校聯(lián)考)已知函數(shù)/(?=$、八若加一1)=)則實(shí)數(shù)a

l2x—1,x>0,2

1+x2,xWO,

［解析］(1)函數(shù)/'(%)={在(-8,0］上是減函數(shù)，在(0,+8)上函數(shù)值

,1,x>0,

x—4<0,

保持不變，若-4)》/(2X一3),貝6或X-4V2%—3<0,解得工￡(-1,4),

2x—320

故選C.

(2)當(dāng)〃-140,即時(shí)，log2(4-a)=p4一〃=本故〃=4一本不滿足“W1,舍

去.

13

當(dāng)即時(shí)，2。-1一1=二,2。-1=’,解得a=log2，滿足。〉1.綜上可得。

=logz3.

［答案］(DC(2)log23

［規(guī)律探求］

考向1是求分段函數(shù)的函數(shù)值.

考向2是在考向1的基礎(chǔ)上遷移考查分段函數(shù)中，已知函數(shù)值或不等關(guān)

看個(gè)性系求參數(shù)或自變量的值或范圍.解與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式，從

而求得自變量或參數(shù)的取值(范圍)時(shí)，應(yīng)根據(jù)每一段的解析式分別求解；

解得值(范圍)后一定要檢驗(yàn)其是否符合相應(yīng)段的自變量的取值范圍

(1)無(wú)論考向1還是考向2都要根據(jù)自變量或參數(shù)所在區(qū)間來(lái)解決問(wèn)題，

搞清參數(shù)或自變量所在區(qū)間是解決問(wèn)題的先決條件；

找共性

(2)解決分段函數(shù)有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于

哪一段范圍，就用哪一段的解析式來(lái)解決問(wèn)題

［跟蹤訓(xùn)練］

1.(多選)如圖①是反映某條公交線路收支差額(即營(yíng)運(yùn)所得票價(jià)收入與付出成本的差)y

與乘客量x之間關(guān)系的圖象.由于目前該條公交線路虧損，公司有關(guān)人員提出了兩種調(diào)整

的建議，如圖②③所示.

［/J/工

OxBxO

圖①圖②g9?

則下列說(shuō)法中，正確的有()

A.圖②的建議：提高成本，并提高票價(jià)

B.圖②的建議：降低成本，并保持票價(jià)不變

C.圖③的建議：提高票價(jià)，并保持成本不變

D.圖③的建議：提高票價(jià)，并降低成本

解析：選BC根據(jù)題意和圖②知，兩直線平行即票價(jià)不變,直線向上平移說(shuō)明當(dāng)乘客

量為0時(shí)，收入是0但是支出變少了，即說(shuō)明此建議是降低成本而保持票價(jià)不變，故B正

確；由圖③可以看出，當(dāng)乘客量為0時(shí)，支出不變，但是直線的傾斜角變大，即相同的乘

客量時(shí)收入變大，即票價(jià)提高了，即說(shuō)明此速議是提高票價(jià)而保持成本不變，故C正確.

2x-{-］,xv］,

2.已知函數(shù)/(*)=,,'且f(f(0))=4a,則/(-2)=________,實(shí)數(shù)a=

,X-IUX9X》19

解析：依題意/(-2)=2。+1=*/(0)=2。+1=2,/(2)=22+2a=4a,解得a=2.

答案：(2

微專題(三)思想方法

待定系數(shù)法的應(yīng)用

待定系數(shù)法就是把具有某種確定形式的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)引入一些待定的系數(shù)，轉(zhuǎn)化為

解方程(組)問(wèn)題來(lái)解決.待定系數(shù)法主要用來(lái)解決所求解的數(shù)學(xué)問(wèn)題涉及某種確定的數(shù)學(xué)表

達(dá)式的情況，例如求函數(shù)解析式、求曲線的方程等問(wèn)題.

［典例］若/U)為有理函數(shù)，且犬*+1)+4*-1)=2好一4方則次x)=(注：有

理函數(shù)是通過(guò)多項(xiàng)式的加減乘除得到的函數(shù)).

［解析］V/(x+l)>1A*—1)與Ax)有相同的次數(shù)，

且1)+凡r—l)=2x2—4x,?r)為有理函數(shù)，，於)為二次函數(shù).

設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a^0),

則/(x+l)=a(x+l)2+Z>(x+l)+c,

八x—l)=a(x—l)2+6(x-l)+c,

22

Af(x+l)+f(x—l)=2ax+2bx+2(a+c)=2x—4x9

24=2,a=1,

2

2b=—4f解得“b=-2,.*./(x)=x—2x—1.

2(a+0=O,lc="1.

12

［答案］x—2X—1

［跟蹤訓(xùn)練］

1.已知函數(shù)/(*)=3+?！肥值膱D象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足五一x)=f(—1+x),則函數(shù)_/(x)

在［-1,3］上的值域?yàn)?)

A.［0,12］B.［-％11］

C.昌12］D.由向

解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x2+〃x+A的圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以/(0)=0,則5=0.

由/(—X)=,/(—1+x),可知函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸為直線X=-5,所以4=1,

則f(x)=x2+x=(x+^2—^,

所以當(dāng)x=一；時(shí)，/(X)取得最小值，且最小值為一：.

又/(-1)=0,<3)=12,

所以ZU)在［-1,3］上的值域?yàn)椋垡唬海?2］.

2.已知角a,/?滿足一:Va-/?V$0Va+/?V:r,則3〃一/?的取值范圍是.

|m+/z=3,

解析：由題意可設(shè)3a一夕=〃2(〃一夕)+〃(〃+4)=(1〃+〃)1+(〃一機(jī))“，則，

5一機(jī)=-1,

m—LyHJl

解得J因?yàn)橐唬?lt;〃—“<?，0<a+^<7r,所以-7rV2(“一夕)〈冗，故一直〈3"一夕〈2兀

ji=l.22

所以3〃一夕的取值范圍是(一7T,2兀).

答案：(一Jr,2n)

［課時(shí)過(guò)關(guān)檢測(cè)］

A級(jí)----基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.函數(shù)y=k)g2(2x-4)+上的定義域是()

A.(2,3)B.(2,+8)

C.(3,+°°)D.(2,3)U(3,+8)

[2x—4>0,1

解析：選D由題意，得jaw。解得x>2且x#3,所以函數(shù)y=log2(2x—4)+^^^

的定義域?yàn)?2J)U(3,+00),故選D.

2.已知函數(shù)_/(x+l)的定義域?yàn)?-2,0),則42%—1)的定義域?yàn)?)

A.(-1,0)B.(-2,0)

C.(0,1)D.(一；，0)

解析：選C由題意，知一IVx+lVl,則/(x)的定義域?yàn)?-1,1).令一lV2x—1V1,

得0<尸<1.???/(2%-1)的定義域?yàn)?0,1).

3.已知6—1)=2*—5,且/(a)=6,則a等于()

解析：選A令1=/一1,則x=2f+2,f(t)=2(2t+2)-5=4t~l,故/(*)=4丫-1,則

7

/(a)=4a—1=6,解得a=1.故選A.

4,若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族

函數(shù)”，則函數(shù)解析式為7=必+1,值域?yàn)椋?3｝的同族函數(shù)有()

A.1個(gè)B.2個(gè)

C.3個(gè)D.4個(gè)

解析：選C由W+l=l得x=0,由爐+1=3得x=±g,所以函數(shù)的定義域可以是

｛0,也｝,｛(),一亞｝,｛0,也，一亞｝,故值域?yàn)椋?,3｝的同族函數(shù)共有3個(gè).

5.如圖，△AOO是一直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，平面圖形。30。Q

是四分之一圓的扇形，點(diǎn)尸在線段AB上，PQA.AB,且P。交40或交/

弧。8于點(diǎn)Q,設(shè)AP=x(0<x<2),圖中陰影部分表示的平面圖形APQ(或4_L1_J

APQD)的面積為y,則函數(shù)y=/U)的大致圖象是()

解析：選A觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：(1)當(dāng)0<xWl時(shí)，y隨x的增

大而增大，而且增加的速度越來(lái)越快.(2)當(dāng)l<x<2時(shí)，y隨x的增大而增大，而且增加的

速度越來(lái)越慢.分析四個(gè)答案中的圖象，只有選項(xiàng)A符合條件.

X

6.(多選)函數(shù)/(x)=1Q,x€(-°o,0)U(0,+8),則下列等式成立的是()

A.1Ax)=《)B._/(x)=K)

D?/(-x)=-/(x)

1

解析：選AD根據(jù)題意得<1)=不三，所以￡)=-所以火工)=公);

—xx

/_x)=(二x)2=_j豆r2=一/(X)，所以｛―X)=—/U),故選A、D.

7.(多選)如圖所示是函數(shù)y=/U)的圖象，圖中x正半軸曲線與虛線無(wú)限接近但是永不

相交，則以下描述正確的是()

A,函數(shù)大幻的定義域?yàn)椋?4,4)

B.函數(shù)外)的值域?yàn)椋?,+8)

C.此函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)

D.對(duì)于任意的yG(5,+~),都有唯一的自變量》與之對(duì)應(yīng)

解析：選BD對(duì)于A,由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?4,0］U［1,4),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?,+°°),故B正確；

對(duì)于C,函數(shù)在［-4,0］,［1,4)是增函數(shù)，結(jié)合圖象可知，此函數(shù)在定義域內(nèi)不是增函

數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由函數(shù)的圖象可知，對(duì)于任意的yG(5,+8),都有唯一的自變量x與之對(duì)應(yīng)，

故D正確.

故選B、D.

8.(多選)(2021?河北衡水調(diào)研)下列函數(shù)中，滿足加8x)=1虢x)的是()

A./(x)=|x|B.*x)=x一|x|

C.f(x)=x+2D.f(x)=~2x

解析：選ABD若/(x)=|x|,則f(18x)=|18x|=18|x|=IM*);若大x)=x一|x|,貝I_/U8x)

=18x-|18x|=18(x-|x|)=ISfix);若f(x)=x+2,則fl!8x)=18x+2,而1歲(x)=18x+18X2,

故/'(x)=x+2不滿足f(18x)=18?/U);若共x)=-2x,則/'(18x)=-2X18x=18X(-2x)=

9.已知函數(shù)/(*)=由一++2工+3,則函數(shù)犬3x—2)的定義域?yàn)?

解析：由一k2+2工+320,解得一1近xW3,

即7U)的定義域?yàn)椋?1,3］.

由一1近3X-2W3,解得萍苦，

則函數(shù)43*—2)的定義域?yàn)榧海瑋.

答2g案：Lri?53-1

10.已知函數(shù)")=ax-仇a>0),且*(x))=4x-3,則火x)=.

解析:易知./(f(x))=a(ar—〃)一方=。2工一〃〃一〃，

:.a2x-ab-ft=4x-3(a>0),

a2=4,a=2,

解得

46+8=3,力=1?

.*./(x)=2x—1.

答案：2x—1

—Ifx<0>

11.設(shè)函數(shù)/(x)=若<a)vL求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

解：若x0,則/(〃)<10匕P一7Vl<8,解得〃>一3,故一3vav0;

若a20,則八。)<1臺(tái)3<1,

解得a<l,故04a<l.

綜上可得一3<a<l.

2~x,—1,

12.(2021?海而調(diào)研)已知函數(shù)

,x+1,x>—1?

⑴求/(/L2))的值；

(2)求不等式/(x)22的解集.

2一。xW—1,

解：(1)根據(jù)函數(shù),f(x)=

x+1,x>—1,

可得/(-2)=22=4,則/(f(-2))=/(4)=4+l=5.

xW—1,X>—1,

(2)由不等式於)》2,可得①_、或②彳

.2*》2,x+122,

解①得上《一1,解②得x2l,

故不等式的解集為(-8,-1]U[1,+°°).

B級(jí)——綜合應(yīng)用

13.如下折線圖統(tǒng)計(jì)了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全國(guó)(不含湖北)

新冠肺炎新增確診人數(shù)和新增疑似人數(shù).

的是()

A.和與g(f)的值域相同

B./(9)>g(10)

C.SZoGN*,使/?o)=g(a))

D.VfGN,

解析：選D由題圖縱軸可知")與g(f)的值域不相同；_A9)=30vg(10);函數(shù)〃)的圖

象在函數(shù)的)的圖象的下方，所以不存在如使而o)=g(fo);由題圖可以看出VfGN*，加)〈烈)

14.(多選)(2021?山東綺?澤一中月號(hào))設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镺,VxSD,使得

Ay)=-Ax)成立，則稱/(X)為“美麗函數(shù)”.下列所給出的函數(shù)中，是“美麗函數(shù)”的是

()

A.J=x2B.y=±

C.j=ln(2x+3)D.y=2x+3

解析：選BCD函數(shù)_/U)的定義域?yàn)镺,VxGD,SjSD,使得成立，所

以函數(shù)_/(x)的值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

對(duì)于選項(xiàng)A,函數(shù)7=好的值域?yàn)閇0,+8),不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不符合題意；

對(duì)于選項(xiàng)B,函數(shù)y=一二的值域?yàn)?一8,o)U(O,+<?),關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意；

X-1

對(duì)于選項(xiàng)C,函數(shù)y=ln(2x+3)的值域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意；

對(duì)于選項(xiàng)D,函數(shù)y=2x+3的值域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，符合題意.故選B、C、D.

15.(2021河南鄭州第二次質(zhì)量檢測(cè))高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，

享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為設(shè)xCR,用網(wǎng)表示不超過(guò)x的

2*+3

最大整數(shù)，則>=[刈稱為高斯函數(shù).例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函數(shù)/U)=：77H；,

2~r1

求函數(shù)y=[/U)]的值域.

』2*+32、+1+2.2

解：/W=2^+1=2^+1=1+2^+r

V2x>0,，1+2*>1,

.*.0<<1,

2X+1

則°<盤<2,

2

<3,

2X+1

即lV_Ax)V3,

當(dāng)1V/U)V2時(shí)，LAX)]=1,

當(dāng)2<f(x)<3時(shí)，［Ax)］=2.

綜上，函數(shù)y=(J(x)］的值域?yàn)閧1,2}.

C級(jí)——遷移創(chuàng)新

16.(多選)(2021?山東模板涵數(shù)<x)的定義域?yàn)镺,對(duì)給定的正數(shù)A,若存在閉區(qū)間［。，

b］^D,使得函數(shù)/(x)滿足：①f(x)在［a,b］內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②/U)在［a,b］上的值域?yàn)椋踜a,

kb］,則稱區(qū)間［a,句為y=Ax)的&級(jí)“理想?yún)^(qū)間”.下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)火x)=*2存在1級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

B.函數(shù)/(x)=e，不存在2級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

4x

C.函數(shù)人x)=H(x》0)存在3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

D.函數(shù)y(x)=tanx,xG(-p)不存在4級(jí)“理想?yún)^(qū)間”

解析：選ABC易知［0,1］是/(x)=x2的1級(jí)“理想?yún)^(qū)間”，故A項(xiàng)正確；由于g(x)=

4x

ex-2x無(wú)零點(diǎn)，因此/U)=ex不存在2級(jí)“理想?yún)^(qū)間”，故B項(xiàng)正確；由6%)=不一;一3%

=0(x20),得*=0或*=等，則0,—是的一個(gè)3級(jí)“理想?yún)^(qū)間”，C

3L93Jx2+l

項(xiàng)正確；易知j=tanx的圖象與直線y=4x在(一個(gè)，今)內(nèi)有三個(gè)交點(diǎn)，因此/(x)=tan

；))有4級(jí)“理想?yún)^(qū)間”，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選A、B、C.

第二節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與最值

［備考領(lǐng)航］

課程標(biāo)準(zhǔn)解讀關(guān)聯(lián)考點(diǎn)核心素養(yǎng)

1.通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的1.確定函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間).1.數(shù)學(xué)抽象.

單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義.2.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.2.邏輯推理.

2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)3.函數(shù)的值域(最值)3.數(shù)學(xué)運(yùn)算

知識(shí)逐點(diǎn)充躬重點(diǎn)準(zhǔn)逐點(diǎn)清結(jié)論要牢記課前自修

［重點(diǎn)準(zhǔn)?逐點(diǎn)清］

重點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性

1.增函數(shù)和減函數(shù)

增函數(shù)減函數(shù)

要求一般地，設(shè)函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?,區(qū)間0=/,如果對(duì)于任意

XI，X2必￡￡>,且xi<X2

要求

定義

/（X1）與都有AxiKfCm)都有/（不）》3）

f（X2）

結(jié)論函數(shù)/U）在區(qū)間。上是增函數(shù)函數(shù)/（xME區(qū)間。上是減函數(shù)

/J、（G

|匹？&）

圖象描述

0*1~^2X%2X

自左向右看圖象是下降的

自左向右看圖象是上丑的

2.單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)在區(qū)間。上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說(shuō)函數(shù)y=/（X底這一區(qū)間具有

（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間。叫做函數(shù)v=/fa）的單調(diào)區(qū)間.

［提醒］（1）增（減）函數(shù)定義中的XI,洶的三個(gè)特征

一是任意性；二是有大小，即X1<X2（X1>X2）；三是同屬于一個(gè)單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可；

（2）有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分開(kāi)寫，不能用符號(hào)“U”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用

“逗號(hào)”或“和”聯(lián)結(jié).

［逐點(diǎn)清］

1.（多選）下列函數(shù)在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞增的是（）

1

A.y=--B.y=x

c.y=^D.y=S

解析：選ABC對(duì)于A項(xiàng)，y=一:在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以A項(xiàng)符合題意；對(duì)于

B項(xiàng)，y=x在（0,+8）上單調(diào)遞增，所以B項(xiàng)符合題意；對(duì)于C項(xiàng)，）=爐在（0,十8）上

單調(diào)遞增，所以C項(xiàng)符合題意；對(duì)于D項(xiàng)，在（0,+8）上單調(diào)遞減，所以D項(xiàng)不

符合題意，故選A、B、C.

2.（修修1第39頁(yè)習(xí)題A組1題改編）函數(shù)y=*2—5x—6在區(qū)間［2,4］上是（）

A.遞減函數(shù)B.遞增函數(shù)

C.先遞減再遞增函數(shù)D.先遞增再遞減函數(shù)

解析：選C作出函數(shù)7=/-5*—6的圖象（圖略）知開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸為x=|,在

［2,4］上先減后增.故選C.

3.（興修1第29頁(yè)例1改編）設(shè)定義在［-1,7］上的函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，則函

解析：由圖可知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為［-1,1］和［5,7］.

答案：［-L1］，［5,7］

4.（易偌瓶）已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間［0,+8）上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，

則滿足_/（2x-1）＜公）的x的取值范圍是.

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/（X）是定義在區(qū)間［0,+8）上的增函數(shù)，滿足八2丫-1）%）.所以0W2x

1A…1,2

解得產(chǎn)

■j乙3

答~案:匕「1,~2、）

重點(diǎn)二函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=/（x）的定義域?yàn)?,如果存在MGR

①對(duì)于任意的xW/,都有f（x）WM；①對(duì)于任意的XG/,都有f（X）2的;

條件

②存在xoG/,使得?t曰1②存在其61,使得Kxo）=M

結(jié)論M是/U）的最大值M是/U）的最小值

［逐點(diǎn)清］

5.（興修1第31頁(yè)