專題17圖形的相似

一、考向分析

相似多邊形的性質(zhì)是中考考查的熱點，其中以相似多邊形的相似比、面積比、周長比的關(guān)

系考查較多.相似三角形的判定、性質(zhì)及應(yīng)用是考查的重點，常與方程、圓、四邊形、三角函

數(shù)等相結(jié)合，進(jìn)行有關(guān)計算或證明

二、思維導(dǎo)圖

相似三角形的對應(yīng)角相等

相似三角形的對應(yīng)邊成比例

相（以三角形的對應(yīng)高線的比等于相似比

相似三角形的對應(yīng)中線的比等于相似比

相似三角形的性質(zhì)

相似三角形的對應(yīng)角平分線的比等于相似比

相似三角形的周長比等丁相似比

相似三角形的面積比等于相似比的平方

相似三角形具有傳遞性

定義形狀相同、對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的囹形

比例兩個比值相領(lǐng)式子

相似形狀相同

對應(yīng)角相等

性質(zhì)對應(yīng)邊成比例

相似三角形

面積比期型比值的平方

周長比等于對應(yīng)邊之比

相似三角形的定義

相似三角形的定義、表示方法、相似比表示方法

相似比

兩邊對應(yīng)成比例夾角相等

普通三角形三邊對應(yīng)成比例

相似三角形的判定兩角對應(yīng)相等

具備普通三角形的判定方法

直角三角形

T直角邊與斜邊對應(yīng)成比例

三、最新考綱

1.了解比例線段的有關(guān)概念及其性質(zhì)，并會用比例的性質(zhì)解決簡單的問題.

2.了解相似多邊形，相似三角形的概念，掌握其性質(zhì)和判定并會運用.

3.了解位似變換和位似圖形的概念，掌握并運用其性質(zhì).

四、考點強(qiáng)化

【考點總結(jié)】一、比例線段

1.比例線段的定義：

在四條線段。，b,c,d中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，即q=￡(或a：8=c：④，那

bd

么這四條線段mb,c,"叫做成比例線段，簡稱比例線段.

2.比例線段的性質(zhì)：

⑴基本性質(zhì)：*=*^ad=bc；

....aca+i?c+d

(2)口比性質(zhì)：石=產(chǎn)丁=丁；

(3)等比性質(zhì):

若…=彳3+”+…+〃邦）,a+c+...+，〃a

那么b+d+...+n=b'

3.黃金分割:

點C把線段48分成兩條線段AC和8C,如果發(fā)=詫，則線段A8被點C黃金分割，點C叫線段AB的黃

金分割點，AC與A8的比叫做黃金比.

【考點總結(jié)】二、相似多邊形

1.定義：

對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比，相似比為1

的兩個多邊形全等.

2.性質(zhì)：

(1)相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；

(2)相似多邊形周長的比等于相似比；

(3)相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

【考點總結(jié)】三'相似三角形

1.定義：

各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個三角形叫做相似三角形.

2.判定：

(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊延長線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;

(2)兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；

(3)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

(4)三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；

(5)斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.

3.性質(zhì)：

(1)相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例；

(2)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；

(3)相似三角形周長的比等于相似比；

(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方

【考點總結(jié)】四'圖形的位似

1.定義：

如果兩個圖形僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這兩個圖形叫位似圖形.這

個點叫做位似中心，這時的相似比稱為位似比.

2.性質(zhì)：

位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比.

3.畫位似圖形的步驟

(1)確定位似中心點;

(2)連接圖形各頂點與位似中心的線段(或延長線)；

(3)按位似比進(jìn)行取點；

(4)順次連接各點，所得的圖形就是所求圖形.

五、新題解析

一、單選題

1.(2021?河南許昌市?九年級一模)如圖，已知直線a〃b〃c,若48=9,BC=6,DF=10,則OE的長為

【答案】B

【分析】

DFAB

直接根據(jù)平行線分線段成比例定理得到——=——，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可計算出DE的長.

DFAC

【詳解】

解：'：a!Ibl!c,

.DEABDE9

??---=----，即---=----,

DFAC109+6

DE=6.

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.（2021?湖北黃岡市?九年級一模）如圖，口人區(qū)。為直角三角形，ZC=90°,BC=2cm,ZA=30°,

四邊形OEFG為矩形，￡>E=2Gcm，EE=6cm,且點C、B、E、尸在同一條直線上，點B與點E

重合.為△ABC以每秒1cm的速度沿矩形OEFG的邊EF向右平移，當(dāng)點。與點尸重合時停止.設(shè)

RtAABC與矩形DEFG的重疊部分的面積為ycm2,運動時間xs.能反映yen?與您之間函數(shù)關(guān)系的大

【答案】A

【分析】

由勾股定理求出A8、AC的長，進(jìn)一步求出△ABC的面積，根據(jù)移動特點有三種情況，分別求出每種情況y

與x的關(guān)系式，利用關(guān)系式的特點（是一次函數(shù)還是二次函數(shù)）就能選出答案.

【詳解】

解：已知NC=90°,BC=2cm.NA=30°,

二A3=4，

由勾股定理得：AC=25

?..四邊形OEEG為矩形，ZC=90°,

:?DE=GF=2g，NC=NDEF=90°,

二ACUDE，

此題有三種情況：（1）當(dāng)0<x<2時，AB交OE于

如圖

?/DE//AC,

.EHBE

"AC-BC

EHxA

即一r=二7"，

2V32

解得：EH=島，

所以y=』.y/3X?X=與2,

22

,?,?=—>0-

2

二拋物線開口向上;

所以所選答案C錯誤,答案。錯誤,

如圖,

此時V=gx2x2百=2百,

設(shè)口48。的面積是邑，DF/VB的面積是$2,

同法可求FN=GX-6G，

??y=*一$2,

=^-x2x2>/3-^-x(x-6)x^73x-65/3j

=--x2+6^-1673，

2

??李。，

.??拋物線開口向下，

所以答案4正確，答案B錯誤,

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)三角形的面積公式等知識點，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)移動規(guī)律

把問題分成三種情況，并能求出每種情況的y與x的關(guān)系式.

3.（2021?河南九年級二模）如圖是與DABC位似的三角形的幾種畫法，其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】

根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】

解：由位似圖形的畫法可得：4個圖形都是口43。的位似圖形.

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了位似變換，正確把握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵.

4.（2021?上海金山區(qū)?九年級一模）如圖，已知點。、E分別在AABC的邊AB、AC上，DEHBC,AD=2,

BD=3,BC=a,那么麗等于（）

3

22_2_2

A.-aB.—aC.一aD.——a

3355

【答案】D

【分析】

先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)求出DE與BC的數(shù)量關(guān)系，再根據(jù)向量的定義即可求出麗的值.

【詳解】

解：VDEHBC,

DEAD

BC—AB

VAD=2,BD=3,

.DE2

??一,

BC2+3

???DE=-BC.

5

:配=3，

____2-

??ED=-ga-

故選D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及向量的定義，向量用有向線段來表示，有向線段長度表示向量

的大小，有向線段的方向衣示向量的方向.

5.（2021.上海九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCO的對角線AC與30相交于點。，器=黑，由此

推得的正確結(jié)論是（）

OAABOAADOBABABAD

A-----=------B-----=------C-----=------D-----=------

ODCD,OCBCODCD'CDBC

【答案】A

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：：NAOB與/DOC是對頂角

，ZAOB=ZDOC

竺=也

OBOC'

/.△AOB^ADOC,

.OA_AB

"~OD~~CD

故選：A

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2021.上海徐匯區(qū).九年級一模）下列說法中，正確的是（）

A.兩個矩形必相似B.兩個含45°角的等腰三角形必相似

C.兩個菱形必相似D.兩個含30。角的直角三角形必相似

【答案】D

【分析】

根據(jù)相似多邊形、相似三角形的判定逐項判斷即可得.

【詳解】

A、兩個矩形的對應(yīng)角相等，但對應(yīng)邊不一定成比例，則不一定相似，此項錯誤；

B、如果一個等腰三角形的頂角是45°,另一等腰三角形的底角是45°,則不相似，此項錯誤；

C、兩個菱形的對應(yīng)邊成比例，但四個內(nèi)角不一定對應(yīng)相等，則不一定相似，此項錯誤；

D、兩個含30°角的直角三角形必相似，此項正確：

故選:D.

【點睛】

本題考查了相似多邊形、相似三角形的判定，熟練掌握相似圖形的判定方法是解題關(guān)鍵.

7.（2021?上海長寧區(qū)?九年級一模）如圖，己知在UA8C中，點。、點E是邊BC上的兩點，連接A。、AE,

且AQ=AE,如果UABEsUcBA,那么下列等式錯誤的是（）

A.Alf=BE?BCB.CD-AB=AI>AC

C.AEL=CD-BED.AB，AC=BE，CD

【答案】D

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)對每一個選項一一證明即可.

【詳解】

解："：L\ABE^\ACBA,

ABBE

——=——，NBAE=NC,ZAEB^ZCAB,

BCAB

:.A『=BE-BC,（故選項A正確）

'：AD=AE,

：.ZADE=ZAED,

二ZADE^ZCAB,

又；NC=NC,

J.UCDA^UCAB,

.CDAD

：.CD-AB=AD'AC,（故選項B正確）

VZADE^ZAED,NBAE=NC,

.'.UABE^UCAD,

.AEBE

,?而一而‘

：.AE*AD^CD-BE,

又

：.A^=CD-BE,（故選項C正確）

'：ZADE^ZAED<90°,

，AADB=ZAEO9f）°,

：.AB>AD,AC>AE,

.'.AB-AOAE1,

即AB-AOCD'BE,（故選項D錯誤）

故選：D.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.

8.（2021?上海長寧區(qū)?九年級一模）下列命題中，說法正確的是（）

A.四條邊對應(yīng)成比例的兩個四邊形相似

B.四個內(nèi)角對應(yīng)相等的兩個四邊形相似

C.兩邊對應(yīng)成比例且有一個角相等的兩個三角形相似

D.斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似

【答案】D

【分析】

根據(jù)三角形相似和相似多邊形的判定解答.

【詳解】

A、四個角對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例的兩個四邊形相似，原命題是假命題；

B、四個內(nèi)角對應(yīng)相等，四條邊對應(yīng)成比例的兩個四邊形相似，原命題是假命題：

C、兩邊對應(yīng)成比例且其夾角相等的兩個三角形相似，原命題是假命題；

D、斜邊與一條直角邊對應(yīng)成比例的兩個直角三角形相似，是真命題；

故選：D.

【點睛】

本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解三角形相似和相似多邊形，難度不大.

9.（2021?上海楊浦區(qū)?九年級一模）在梯形ABC。中，AD//BC,對角線AC與80相交于點O,下列說

法中，錯誤的是（）

Aq_c口S.AOB_°DS&AOD_,AABD_八。

A.~B.--c.--nru.--?

口ABOCI'D°^BOCUC8c

【答案】c

【分析】

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及等積法可直接進(jìn)行排除選項.

【詳解】

解：如圖所示：

；AD〃BC,

S.?AD

昔A皎D=行，故D正確,

AAOD^ACOB,5ABe=Sdbc,

.OAOD

'OC~7)B

0A2

T，故C錯誤;

S&BOC~~OC

,S.ABC=Sy/AOB+SyjOBC，S&DBC~S7noe+S\OBC'

**SfOB~S4DOC'A止確;

OAS.OD

"4AOB_二。即￡A：OB=。b故B正確;

S4BOC

故選c.

【點睛】

本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定及等積法是解題的關(guān)鍵.

10.（2021.上海楊浦區(qū).九年級一模）在DA3c中，點。、E分別在邊AB、AC上，下列條件中，能判定

DE//BC的是()

ADDEADAEDBAEADAE

A.------------B.------------C.------------D.——=--------

ABBCDBECECADACAB

【答案】A

【分析】

根據(jù)對應(yīng)線段成比例,兩直線平行，可得出答案.

【詳解】

A、—=—，可證明DE〃BC,故本選項正確；

ABBC

A。AE

B、——不可證明DE〃BC,故本選項錯誤；

DBEC

DBAE

C、----=，不可證明DE〃BC,故本選項不正確；

ECAD

AT）

D、=---不可證明DE〃BC,故本選項不正確.

ACAB

故選A.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例，對應(yīng)線段成比例，兩直線平行.

11.（2021?上海青浦區(qū)?九年級一模）如圖，已知BO與CE相交于點A,DE組C,如果AD=2,AB=3,

AC=6,那么4E等于（）

C.4D.9

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：：ED〃BC,

.ABAC

"AD-AE

.36

［、［J-f

2AE

二AE=4,

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例的運用，注意：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）,

所得的對應(yīng)線段成比例.

12.（2021?上海黃浦區(qū)?九年級一模）如圖，在直角梯形A8C。中，AB//CD,/84。=90。，對角線的

交點為點O.如果梯形ABCQ的兩底邊長不變，而腰長發(fā)生變化，那么下列量中不變的是（）

A.點。到邊A8的距離點O到邊BC的距離

C.點。到邊CD的距離點O到邊DA的距離

【答案】D

【分析】

變化后的梯形為ABC'。'，對角線的交點為。'，連接00',利用平行證出△ABOs/XcDO,△ABO's

AC'D'O'列出比例式即可證出—=半；，從而證出00'//DD',然后根據(jù)平行線之間的距離處處相等

即可證出結(jié)論.

【詳解】

如下圖所示，變化后的梯形為A6C'。'，對角線的交點為0',連接0。'

nAt,

由題意易知:CD=CD

VABZ/CD,AB//CD

.,.△ABO^ACDO,△XBO7^.C'D'O'

.ABBOABBO'

"CD-DO'~CDi~D'O'

.BOBO'

"~DO~D'O'

：.OO'〃DD'

根據(jù)平行線之間的距離處處相等，可得點O和點。'到DA的距離相等，點O和點O'到AB、BC、CD的距

離不一定相等

/.不變量是點O到邊DA的距離

故選D.

【點睛】

此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)和平行線之間的距離，找出相似三角形并證出00'//DD'是解題關(guān)

鍵.

13.（2021?上海黃浦區(qū)?九年級一模）己知口A3C與口。石尸相似，又NA=40。，ZB=60°,那么NO不

可能是（）

A.40°B.60°C.80°D.100°

【答案】D

【分析】

利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出NC,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和對應(yīng)情況分類討論即可得出ND可能

的度數(shù)，從而作出判斷.

【詳解】

解：:□ABC中，NA=40。，AB=60°

二ZC=1800-ZA-ZB=80°

ABC與口。石尸相似

ZD=ZA=4（）?；騔D=ZB=60°或ZD=ZC=80°

:.ND不可能是100°

故選：D.

【點睛】

此題考查的是相似三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分類討論是解題關(guān)鍵.

14.（2021?上海浦東新區(qū)?九年級一模）如圖，在UABC中，點D、F是邊AB上的點，點E是邊AC上的點，

如果/ACD=/B,DE//BC,EF//CD,下列結(jié)論不成立的是（）

A

--------^4^

BC

A.AE2=AF-AD

B.AC2=AD-AB

C.AF2=AEAC

D.AD2=AFAB

【答案】C

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行線分線段成比例對每個選項逐個證明即可.

【詳解】

解：VDE//BC,EF//CD,

/.ZADE=ZB,ZACD=ZAEF,

又：NACD=NB,

二ZADE=ZAEF,

VZADE=ZAEF,NA=NA,

二UAEFsUADE,

AEAD

"AF~AE'

二AE2=AE?A。，故選項A正確；

VZACD=ZB,ZA=ZA,

ALJACD^UABC,

.AC_AD

AC2=AD-AB?故選項B正確；

VDE//BC,

.AEAD

,*AC-AB'

EF//CD,

.AEAF

"AC-AD'

.AF_AD

?*.AD2=AFAB＜故選項D正確；

VEF//CD,

.AE_AF

"7C-AD'

AFAC=AEAD,故選項C錯誤，

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決

本題的關(guān)鍵.

15.（2021?上海浦東新區(qū)?九年級一模）A、B兩地的實際距離AB=250米，如果畫在地圖上的距離A8'=5

厘米，那么地圖上的距離與實際距離的比為（）

A.1：500B.1：5000C.500：1D.5000：1

【答案】B

【分析】

地圖上距離與實際距離的比就是在地圖上的距離A'B1與實際距離AB的比值.

【詳解】

解：；250米=25000cm,

AB:AB=5：25000=1：5000.

故選:B.

【點睛】

本題主要考查了比例尺，掌握比例尺的計算方法，注意在求比的過程中，單位要統(tǒng)一.

16.（2021.上海靜安區(qū).九年級一模）在△ABC中，點D、E分別在邊BA、CA的延長線上，下列比例式中

能判定DE〃BC的為（）

BCABACAB門ACAB卜ACBD

AA___=___Bn_______C___—___D___—___

DEAD'ADAECEBD'ABCE

【答案】C

【分析】

根據(jù)平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理判斷即可.

【詳解】

解：當(dāng)生=竺時，不能判定DE〃BC,A選項錯誤;

DEAD

AR

時，不能判定DE〃BC,B選項錯誤；

ADAE

NrAR

—Hj,DE〃BC,C選項正確；

CEBD

任二處時，不能判定DE〃BC,D選項錯誤；

ABCE

故選：c.

【點睛】

本題考查了平行線分線段成比例定理、平行線的判定定理，掌握相關(guān)的判定定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2021?上海寶山區(qū)?九年級一模）如圖，AB//DE,BCHDF,已知A/：尸8=加：〃，BC=a,那么

CE等于（）.

amanaman

A.—B.—C.--------D.--------

nmm十幾+n

【答案】D

【分析】

ydZT"

先證明:四邊形OE3尸是平行四邊形，可得。/二BE,利用A/：尸8二根：〃，再求解——=------,再

ABm+n

證明口4。尸利用相似三角形的性質(zhì)求解雇，再利用線段的和差可得答案.

【詳解】

解：???AB//DE,BC//DF,

???四邊形。石3尸是平行四邊形,

:,DF=BE，

*/AF:FB=m:匕，

AF_m

ABm-\-n

?.?DF//BC,

:DADF^CACB

AFDFAD

A8-BC-AC'

AB//DE,

BE_AD_m

BCACm+n

BC=a,

m+n

??mana

：.CE=a-------=------

m+nm+n

故選：D.

【點睛】

本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，比例的基本性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解

題的關(guān)鍵.

18.（2021?上海崇明區(qū)?九年級一模）已知線段。、b、C、d的長度滿足等式"=cd,如果某班四位學(xué)生

分別將該等式改寫成了如下四個比例式，那么其中錯誤的是（）

acadbdbc

A.-=-B.-=-C.-=-D.—=一

bdcbcada

【答案】A

【分析】

根據(jù)比例的兩內(nèi)項之積等于兩外項之積逐項排查即可.

【詳解】

ClC

解：A.由丁二:可得be=ad,故A選項符合題意；

ba

B.由j="■可得ab=cd,故B選項不符合題意；

cb

hd

C.由一=一可得ab=cd,故C選項不符合題意；

ca

bc

口.由一=—可得ab=cd,故D選項不符合題意.

da

故答案為A.

【點睛】

本題主要考查了比例的基本性質(zhì)，即掌握兩內(nèi)項之積等于兩外項之積成為解答本題的關(guān)鍵.

19.（2021?上海九年級一模）如圖，在口A3C中，點。在邊AB上，DE/7BC,DF//AC,聯(lián)結(jié)BE,BE

與。尸相交于點G,則下列結(jié)論一定正確的是（）

ADDEAEBFBDBFDGBF

A-----=------B-----=------C-----=------D.-------------

DBBC'ACBC'ADDEGFFC

【答案】C

【分析】

根據(jù)相似三角形的判定和平行線分線段成比例進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：VDE/7BC,DF/7AC,

二四邊形DFCE是平行四邊形，

，DE=CF,DF=CE,

VDE/7BC,DF/7AC,

/.△ADE^AABC,△BFD^ABAC,

.AD_DE

,故A錯誤；

AEADCFAECF

~f即——=-------.）故B錯誤;

AC-AB-BCACBC

.BDBF_BF

???DF〃AC,?故C正確；

,ID~~CF~DE

.DGDECF

VDE/7BC,?故D錯誤，

'~GF~~BF~BF

故選：c.

【點睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例、平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三

角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例是解答的關(guān)鍵.

二、填空題

20.（2021?西安市第二十三中學(xué)九年級一模）如圖，菱形A3CO的邊長為12,ZABC=60°,連接AC,

EF1AC,垂足為H,分別交AD,AB,CB的延長線于點E,M,F.若他:F8=1:2,則C4的長為

【答案】10

【分析】

連接5D,交AC于點O,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定易知口ABC是等邊三角形，進(jìn)而可得

AMAE1

AC=AB=12,根據(jù)相似三角形的判定易證，繼而可知而_=而=/，根據(jù)平行線的

判定可得EF//3。，繼而可知器=^=g，繼而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】

如圖，連接50.交ACT點0.

?.?四邊形ABC。是菱形，

二AB=BC.

?：ZABC=60°,

??.口43。是等邊三角形，

AC=AB=\2.

:AD//BC,

：.QAEM^QBFM,

.AMAE\

'：EFLAC,BDLAC

:.EF//BD,

.AH_AM_l

?A”一I

"AO"3'

OA=OC,

,AH_\

"AC"67

??.C"=*AC=9X12=10.

66

【點睛】

本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)，平行線的判定及其性質(zhì),

解題的關(guān)鍵是綜合運用這些知識點，做輔助線構(gòu)造有關(guān)的線段關(guān)系.

21.（2021.河南許昌市.九年級一模）若';,則的值為.

a+b3a

【答案】2

【分析】

由題意，計算得到2a=b,即可求出答案.

【詳解】

.'.3a=a+b,

，2a=b,

.b-

..—=2；

a

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確得到2。=6.

22.（2021?云南九年級一模）如圖，有一正方形ABC。，邊長為4,點E是邊CD上的中點，對角線8。上

有一動點F,當(dāng)頂點為A、B、F的三角形與頂點為D、E、F的三角形相似時，的值為.

BC

【答案】2&或隨.

3

【分析】

分口ABF^DFDE和口ABF^}EDF兩種情形求解即可.

【詳解】

依題意可得：BD=\lAB2+AD2=4+42=40，

設(shè)=x，則有。尸=4夜一x；

①當(dāng)［ZlABRs口尸。后時，（如圖1）

DFDE4^2-x2紹少用

d由l---=----得--------=—,解得：x=x,=2V2：

BABF4x

②當(dāng)□ABF/時，（如圖2）

由空=也得W=2,

BFBAx4

解得：x=嫗;

3

綜上所述，8尸的值為2&或半.

故答案為：2正或辿.

3

【點睛】

本題考查了正方形背景下的三角形相似，熟練掌握三角形相似的判定定理，靈活運用分類思想求解是解題

的關(guān)鍵.

23.（2021.陜西九年級零模）如圖，在正方形A8CO中，AB=4,點H在C。上，且CH=1,點E繞點

B旋轉(zhuǎn)，且8E=1,同時在CE上方作正方形EFGC,則線段"/的最小值是-

【答案】5-V2

【分析】

連接CF,AC,證明△AFC□△BEC,從而根據(jù)點E的運動軌跡發(fā)現(xiàn)點F是以點A為圓心，AF=O為

半徑的圓上運動，當(dāng)A,F,H三點共線時，F(xiàn)H有最小值.

【詳解】

連接CF,AC,

四邊形ABCD,EFGC都是正方形，

:.CD=AB=4,AC=^BC,FC=y[iEC，

CH=1,

:.DH=CD-CH=3.

v—=—=V2,ZFCA=ZECB,

BCEC

AAFCO△BEC，

EB

?點E是以點B為圓心，BE=1為半徑的圓上運動，

/.點F是以點A為圓心，AF=應(yīng)為半徑的圓上運動,

當(dāng)A,F,H三點共線時，F(xiàn)H有最小值,

此時AH=,AD2+￡）H2=5,

:.FH=5-五，

故答案為：5-72.

【點睛】

本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，找到點F的運動軌跡是解題的關(guān)鍵.

24.（2021?上海金山區(qū)?九年級一模）如圖，在口488中，點E在邊8c上，0E交對角線AC于尸，若

CE=2BE,的面積等于15,那么AFEC的面積等于.

【答案】4

【分析】

由ciABCI）可得AD=BC、AD〃BC,由CE=2BE可得AD=BC=3BE,過F作FN_LBC、FM_LAD擢bABC的

MN5

高為MNnAFD的高為FM,再說明△ADF^ACEF>f[lAENF^ADMF進(jìn)而得到——=一,進(jìn)而求得4AFD

FM3

的面積，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得△EFC的面積即可.

【詳解】

W：'：oABCD

；.AD=BC、AD//BC

CE=2BE

；.AD=BC=CE+BE=3BE

如圖：過F作FN_LBC交BC于N,交AD于M,

VAD//BC,

.,.FM±AD,

/.△ADF0°ACEF,△ENFSADMF

.EFEC_2FNEF_2

,~DF~^D~3'~FM~~DF~3'

.MN_5

"~FM~3

'：AD=BC

qAa

：.1=（即%&=《，解得Sae

?A8C,13b

故填:4.

【點睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的面積之比等于相似比的平方是解答本題的關(guān)

鍵.

三、解答題

25.(2021.哈爾濱市蕭紅中學(xué)九年級一模)已知，DABC內(nèi)接于圓O,過點C作AB的垂線，垂足為點E,

交圓。于點￡>.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,連接OB,求證：ZACD=ZCBO-,

(2)如圖2,過點。作AB的垂線，垂足為G,交BC于F,若/G=AG,求證AB=CO；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接OE交48于點M,過點8作。尸的垂線交C。于點N,垂足為“,

連接MN,若4NMF=24NBA,FO=3,求MN的長.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)MN=M

【分析】

(1)連接0C,由題意易得NBOC=2ZA,ZOCB=ZOBC,ZAEC=90°,則有ZA+NACE=90°,

由三角形內(nèi)角和定理得NBOC+2ZCBO=180。，然后問題可求證；

(2)連接AD,由題意易得口歹68是等腰直角三角形，△CEB是等腰直角三角形，進(jìn)而可得CE=BE,

AE=DE,然后問題可證；

(3)延長NM、FG交于點R,連接8R,過點R作/?7J_CO于7,設(shè)/x=，則有NA5N=NC0F=x,

2x=ZCDF+^DNM,進(jìn)而可得^NTT?且EJBEN,則EN=RT=EG,然后可設(shè)AE=m，則

AE=ED=EG=NE=in,連接。N,可證四邊形ENOG是正方形，口。EMsOFGM,由相似三角形的

性質(zhì)及勾股定理可求解.

【詳解】

證明：(1)連接0C,如圖所示：

圖1

OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC,

CD1AB,

：.ZAEC=9Q°.

NA+NACE=90°,

ZBOC=2NA,

二在△COB中，ZBOC+2ZCSO=180°,

二2NA+2ZCB0=180°,即NA+NCBO=90°,

NACD=ZCBO

(2)連接A￡>,如圖所示:

圖2

VFGLAB,

：.AG=BG,

VFG=AG,

：.FG=BG,

???□/GB是等腰直角三角形，

???/FBG=/GFB=45。,

VCD1AB,

???CD//FG,

???/DCB=/GFB=45。,

??.△CE5是等腰直角三角形，

:?CE=BE,

??.NDCB=NDAB=45。,

：.ZDAE=ZADE=45°,

???AE=DE,

???AB=AE+BE,CD=CE+BE,

???AB=DC,

(3)延長NM、FG交于點、R,連接以，如圖所示:

設(shè)/。。/=元，

???AB±CD,BN上DF,

???ADEM=ZBHM=90°,

?/ZEMD=NBMH,

：.ZABN=ZCDF=x,

?:NNMF=24NBA,ZNMF=ZCDF+ZDNM,

???2x=ZCDF+ZDNM,

???ZDNM=x=ZCDF,

???MN=DM,

???EN=ED,

同理可得：FM=RM,

■:MGVFR,

：.FG=RG=BG,

???/GRB=/GBR,

過點R作RTLCD于T,如圖所示：

?：ZMRG=ZABN=x,

，ZNRB=ZNBR,

:.NR=BN,

：./BEN=NNTR=9。。,

■:ZTNR=ZABN=xf

.?,□NTR^BENCAAS\

??.EN=RT=EG,

設(shè)AE=機(jī)，則AE=ED=EG=NE=m,

,:AG=BG=2m,

，AB=4m,

,/AB=CD,

:.CD=4根,

CN=2m,

??.CN=DN,

連接ON,如圖所?。?/p>

TR

???ON1CD,

：.ZONE=/NEG=NOGE=90°,

???四邊形ENOG是正方形，

:.OG=EN=m,

*.*FG=BG=2m,

:.OF=OG=tn,

V01=3,

:?m=3,

,/DE//FG,

工UDEM氣FGM，

.DEEM即3=EM_1

~FG~~MG-

6MG2

EM+MG=3,

/.EM=1,

由勾股定理得：MN=\lEN2+EM2=Vi()?

【點睛】

本題主要考查圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判

定是解題的關(guān)鍵.

26.(2021?安徽九年級一模)如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，若點歷在邊AC上，點、N在邊BC

上，沿直線MN將翻折，使點C落在邊AB上，設(shè)其落點為P.

(1)求證：AM=PN；

PACM

(2)當(dāng)點P是邊A8的中點時，求證：——；

PBCN

PACM

(3)當(dāng)點P不是邊A8的中點時，而=菽是否仍然成立？請說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)見解析：(3)成立，理由見解析.

【分析】

(1)連接PC,根據(jù)折疊的性質(zhì)得MN是PC的垂直平分線，證明AM=PM=^AC即可得到結(jié)論；

(2)易證得ACMNs/XCAB,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得要"=空=1，繼而可得比例式

CNBC

PA_CM

~PB~~CN:

(3)首先連接PC,則MN_LPC,過點P作PEJ_AC于點E,易證得△AEPs/\ACB,△MCN^APEC,

PACM

然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得F=成立.

PBCN

【詳解】

解：(1)連接PC,如圖1,

圖1

???△ABC是等腰直角三角形，ZC=90°

,NA=/B=45°

.?.MC=NC

VMN是折痕，

二MN垂直平分PC,MN//AB,MC=PM=PN

ACPIAB,ZMPC=ZMCP=45°

ZMPA=45°

NMPA=NA

；.AM=PM

.?.AM=PN

(2)如圖1,

：MN是折痕，

.?.MN垂直平分PC,

VAC=BC,AP=BP,

PA

；.CP_LAB,—=1,

PB

；.MN〃AB,

/.△CMN^ACAB,

.CMAC,

?.------=------=1,

CNBC

.PA_CM

PACM

(3)當(dāng)點P不是邊AB的中點時，——=—仍然成立.

PBCN

理由：如圖(2),連接PC,則MNLPC,

圖2

過點P作PE，AC于點E,

VZACB=90°,NA是公共角，

.,.△AEP^-AACB,

PA_AE

■,PB-￡C'

VAC=BC,

.*.ZA=ZB=45°,ZAPE=ZB=45°,

；.AE=EP,

VZMCN=90°,CP±MN,

/.ZECP=ZMNC,

/.△MCN^APEC,

,CMCN

"~PE~~EC'

.CM