總分150分考試時(shí)間120分鐘一、單選題（共12小題每題5分共60分）1．設(shè)集合，則集合中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．已知（為虛數(shù)單位），則（

）A． B．1 C． D．33．若向量，滿足，，，則，的夾角為（

）A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列是無窮數(shù)列，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和（

）A．無最大值，有最小值 B．有最大值，無最小值C．有最大值，有最小值 D．無最大值，無最小值5．已知拋物線：上一點(diǎn)到軸的距離是5，則該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離是（

）A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的是,那么輸出的是A．1 B．24 C．120 D．7207．如圖，一長方體ABCD﹣A1B1C1D1，底面ABCD是邊長為1的正方形，AA1＝3，E∈AA1，F(xiàn)∈BB1，AE＝BF＝1，G∈A1B1，則G到平面D1EF的距離是（）A． B． C． D．8．已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，滿足，且成等差數(shù)列，則（）A． B．6 C．7 D．99．已知點(diǎn)在同一個(gè)球面上，，若四面體體積的最大值為10，則這個(gè)球的表面積是（

）A． B．C． D．10．某家庭電話,打進(jìn)的電話響第一聲時(shí)被接的概率為,響第二聲時(shí)被接的概率為,響第三聲時(shí)被接的概率為,響第四聲時(shí)被接的概率為,則電話在響前四聲內(nèi)被接的概率為()A． B． C． D．11．對于函數(shù)，給出如下四個(gè)結(jié)論：（1）這個(gè)函數(shù)的值域?yàn)椋唬?）這個(gè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）這個(gè)函數(shù)圖象具有中心對稱性；（4）這個(gè)函數(shù)至少存在兩個(gè)零點(diǎn).其中正確結(jié)論有A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（

）①是的極大值點(diǎn)②函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)

③存在正實(shí)數(shù)，使得成立

④對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則A．①④ B．②③ C．②④ D．①③二、填空題（共16分）13．在報(bào)名的5名男生和3名女生中，選取5人參加數(shù)學(xué)競賽，要求男、女生都有，則不同的選取方式的種數(shù)為__________．(結(jié)果用數(shù)值表示)14．的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，則的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是____．15．函數(shù)的最小正周期為_____．16．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．三、解答題（共74分，請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效。）17．在中，角的對邊分別為，且滿足.（1）求角的大小；（2）當(dāng)時(shí)，求的面積18．已知如圖，在四棱錐中，底面為正方形，，平面，為上一點(diǎn)，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.19．某校高一年級新入學(xué)360名學(xué)生，其中200名男生，160名女生.學(xué)校計(jì)劃為家遠(yuǎn)的高一新生提供5間男生宿舍和4間女生宿舍，每間宿舍可住2名學(xué)生.該校“數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)”社團(tuán)的學(xué)生為了解全體高一學(xué)生家庭居住地與學(xué)校的距離情況，按照性別進(jìn)行分層隨機(jī)抽樣，其中抽取的40名男生家庭居住地與學(xué)校的距離數(shù)據(jù)（單位：）如下：5.06.07.07.58.08.44.03.54.54.35.04.03.02.54.01.66.06.55.55.73.15.24.45.06.43.57.04.03.03.46.94.85.65.05.66.53.06.07.06.6（1）根據(jù)以上樣本數(shù)據(jù)推斷，若男生甲家庭居中地與學(xué)校距離為，他是否能住宿？說明理由；（2）通過計(jì)算得到男生樣本數(shù)據(jù)平均值為，女生樣本數(shù)據(jù)平均值為，求所有樣本數(shù)據(jù)的平均值.20．設(shè)橢圓過點(diǎn)，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)當(dāng)過點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩不同點(diǎn)，時(shí)，在線段上取點(diǎn)，滿足，證明：點(diǎn)的軌跡與無關(guān)．21．已知函數(shù)，．(1)當(dāng)a＝2時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)討論關(guān)于x的方程的實(shí)根個(gè)數(shù)．22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的方程為，以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求直線和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若射線與曲線相切于點(diǎn)(點(diǎn)位于第一象限)，且與直線相交于點(diǎn)，求.23．已知a，b，c是正數(shù)，求證：對任意R，不等式恒成立.理科數(shù)學(xué)月考答案1．A【分析】解集合A中的二次不等式即可求解.【解析】，故=，故選：A.2．D【分析】按照復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)相等的原理即可.【解析】，所以；故選：D.3．A【分析】由題意可得，設(shè)，的夾角為，由向量數(shù)量積的定義計(jì)算可得的值，結(jié)合的范圍即可求解.【解析】因?yàn)?，所以，即，設(shè)，的夾角為，則，將，代入可得，所以，因?yàn)?，所以，故選：A.4．A【解析】利用等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，判斷數(shù)列的單調(diào)性，進(jìn)而判斷數(shù)列前項(xiàng)和的最值.【解析】由數(shù)列為等差數(shù)列，且，得，故數(shù)列為遞增數(shù)列，且，所以有最小值，無最大值，故選：A.5．B【分析】求出拋物線的準(zhǔn)線方程，由焦半徑公式求出答案.【解析】由題意得：拋物線：的準(zhǔn)線方程為，由焦半徑公式得：該點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于.故選：B6．C【分析】根據(jù)程序框圖依次計(jì)算即可得出答案.【解析】；，，；，，；，，；，，；，，；故選：C.7．A【分析】本題現(xiàn)將G到平面D1EF的距離轉(zhuǎn)化為A1到平面D1EF的距離，再在圖形中確定A1到平面D1EF的距離為，最后在中求解即可.【解析】解：∵E∈AA1，F(xiàn)∈BB1，AE＝BF＝1，∴，∵G∈A1B1∴G到平面D1EF的距離即是A1到平面D1EF的距離在平面A1ADD1中，過點(diǎn)A1作交于點(diǎn)，如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，∵平面，∴,又∵,∴∴A1到平面D1EF的距離為，在中，∵，，∴,∴G到平面D1EF的距離為：故選：A.8．C【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且不為1，由等差數(shù)列中項(xiàng)性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)和公比，再由等比數(shù)列的求和公式，可得答案．【解析】數(shù)列是公比不為l的等比數(shù)列，滿足，即且成等差數(shù)列，得，即，解得，則．故選C．9．B【分析】由已知可得，從而可得球心在過中點(diǎn)與面垂直的直線上，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得，當(dāng)過球心時(shí)體積最大，由四面體體積的最大值為10，求出，再利用勾股定理求出球的半徑，從而可求出球的表面積【解析】解：由，可得，所以，則球心在過中點(diǎn)與面垂直的直線上，因?yàn)槊娣e為定值，所以四面體的高最大時(shí)體積最大，根據(jù)球的幾何性質(zhì)可得，當(dāng)過球心時(shí)體積最大，因?yàn)樗拿骟w的最大體積為10，所以，可得，在中，，所以，得，所以球的表面積為，故選：B．10．B【解析】設(shè)“電話響第一聲被接”為事件A,“電話響第二聲被接”為事件B,“電話響第三聲被接”為事件C,“電話響第四聲被接”為事件D,則A,B,C,D兩兩互斥,從而P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=.故選B.11．D【解析】求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)小于零得到（2）正確，計(jì)算得到（3）正確，計(jì)算，，，得到（4）正確，再計(jì)算值域得到（1）正確，得到答案.【解析】，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，（2）正確；，，故函數(shù)關(guān)于點(diǎn)中心對稱，（3）正確；，，故函數(shù)在上有零點(diǎn)，同理，，故函數(shù)在上有零點(diǎn)，故（4）正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)有零點(diǎn)，故（1）正確；故選：.12．C【分析】對于①，根據(jù)極大值點(diǎn)的定義，求導(dǎo)，研究導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，可得答案；對于②，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可得答案；對于③，采用變量分離，構(gòu)造函數(shù)，研究單調(diào)性與最值，可得答案；對于④，以直線為對稱軸，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)研究其單調(diào)性和最值，可得答案.【解析】解：對于①，由，求導(dǎo)得，令，解得，可得下表：極小值則為函數(shù)的極小值點(diǎn)，故①錯(cuò)誤；對于②，由，求導(dǎo)得：，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，故函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故②正確；對于③，由題意，等價(jià)于存在正實(shí)數(shù)，使得，令，求導(dǎo)得，令，則，在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；在上，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞減，無最小值，不存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立，故③錯(cuò)誤；對于④，令，則，，令，則，在上單調(diào)遞減，則，即，令，由，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，則，當(dāng)時(shí)，顯然成立，故④正確.故選：C.13．55【分析】先計(jì)算所有的情況，排除不滿足的情況得到答案.【解析】總共有種情況，排除全是男生的1種情況，共有種情況故答案為：14．【分析】設(shè)出圓的一般方程為，利用待定系數(shù)法，分別將三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程，解方程組求出，從而得出圓的一般方程，再根據(jù)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的互化，即可得出答案.【解析】解：設(shè)所求圓的一般方程為：，則圓經(jīng)過三點(diǎn)，，解得：，則所求圓的一般方程為：，所以的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.故答案為：.15．【分析】利用的最小正周期，即可得出結(jié)論．【解析】函數(shù)的最小正周期為，故答案為．16．【分析】將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，畫出兩函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)函數(shù)求出當(dāng)直線與相切時(shí)的的值，數(shù)形結(jié)合求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】作出函數(shù)的與圖象如圖：當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)為的切線時(shí)，即，解得，即切點(diǎn)為，代入得，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恰有三個(gè)交點(diǎn)，故恰有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)為的切線時(shí)，即，解得，即切點(diǎn)為，代入得，令當(dāng)過原點(diǎn)時(shí)，，所以由圖象可知：當(dāng)時(shí)，滿足函數(shù)與恰有三個(gè)交點(diǎn)，故恰有三個(gè)零點(diǎn)；綜上的取值范圍是．故答案為：17．（1）

（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理，化簡等式可得關(guān)于角的關(guān)系式，結(jié)合正弦和角公式求解．（2）根據(jù)三角形面積公式，代入即可求得三角形面積．【解析】（1），由正弦定理得：，，即，在中，，∴，∴，；（2）因?yàn)楫?dāng)，且，所以由三角形面積得.18．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）證明出平面，可得出，利用余弦定理結(jié)合勾股定理可證得，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【解析】（1）證明：連接，則.因?yàn)槠矫?，平面，所?又，所以平面，平面，所以.因?yàn)?，，所?因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以，所以，在中，由余弦定理得，所以，所?又，所以平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則點(diǎn)、、、，，，，.設(shè)平面的法向量為，則由，令，得.設(shè)平面的法向量為，則由，取，得.，由圖易知二面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為.19．（1）能住宿；（2）.【解析】（1）因?yàn)?00名男生中有10名男生能住宿，所以40名男生樣本中有2名男生能住宿．樣本數(shù)據(jù)中距離為8.4km和8km的男生可以住宿，距離為7.5km以下的男生不可以住宿，從而男生甲能住宿；（2）根據(jù)分層抽樣的原則，抽取女生樣本數(shù)為32人．由此能求出所有樣本數(shù)據(jù)平均值．【解析】（l）能住宿.因?yàn)?00名男生中有10名男生住校，所以抽取的40名男生中約有2名男生住校.由樣本數(shù)據(jù)可知，距離為和的男生住校，距離為以下的男生不住校，由于，所以男生甲住宿.（2）根據(jù)分層隨機(jī)抽樣的原則，應(yīng)抽取32名女生.因?yàn)槟猩鷺颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為，女生樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以所有樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.所以可估計(jì)總體數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上和離心率，分別建立方程，然后解出，即可；（2）根據(jù)，，，四點(diǎn)共線和點(diǎn)，都在橢圓上建立方程，通過化簡后得到關(guān)于點(diǎn)的軌跡為，即點(diǎn)的軌跡與無關(guān).【解析】（1）由題意解可得：解得：，故橢圓方程為：（2）設(shè)點(diǎn)，，，，，由題設(shè)．又，，，四點(diǎn)共線，可得：，則有：

（1）（2）由于，，，在橢圓上，將（1），（2）分別代入的方程，整理得：（3）（4）由（4）（3）可得：又，則有：故有：點(diǎn)總在定直線上即點(diǎn)的軌跡與無關(guān)21．(1)(2)答案不唯一，具體見解析【分析】（1）由a＝2，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；（2）由得到，令，利用導(dǎo)數(shù)法求解.（1）當(dāng)a＝2時(shí)，，，則切線的斜率為，又，所以曲線在處的切線方程是，即．（2）即為，化簡得，令，則，令，則，令，得．當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減．①當(dāng)時(shí)，，即，所以在R上單調(diào)遞減．又，所以有唯一零點(diǎn)0；②當(dāng)時(shí)，，，所以存在，，又，令，，所以在上單調(diào)遞減，，即，所以存在，，xnm－0＋－單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減則，又，所以存在，；同理，，又，所以存在，，由單調(diào)性可知，此時(shí)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)0，，．綜上，當(dāng)時(shí)，有唯一零點(diǎn)，方程有唯一的實(shí)根；當(dāng)時(shí)，有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，方程有3個(gè)實(shí)根．22．（1），；（2）.【分析】（1）消去參數(shù)，得到直角坐標(biāo)方程，將代入直角坐標(biāo)