本文格式為Word版，下載可任意編輯——2023屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練

快速提高你的數(shù)學(xué)成績(jī)!

2023屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練——三個(gè)二次問(wèn)題

（二次函數(shù)、不等式、方程）

1.解關(guān)于x的不等式：(1)x2－(a＋1)x＋a＜0，(2)2x2mx20．

2設(shè)集合A={x|x2＋3k2≥2k(2x－1)}，B={x|x2－(2x－1)k＋k2≥0}，且AB，試求k的取值

范圍．

3．不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

4．已知二次函數(shù)y＝x2＋px＋q，當(dāng)y＜0時(shí)，有－＋1＞0．

5．若不等式

11

＜x＜，解關(guān)于x的不等式qx2＋px23

12

xqxp0的解集為x|2x4，求實(shí)數(shù)p與q的值．p

6.設(shè)fxaxbxca0，若f01，f11，f－11,試證明：對(duì)于

2

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任意1x1，有fx

5.4

7.（經(jīng)典題型，十分值得訓(xùn)練）設(shè)二次函數(shù)fxax2bxca0，方程fxx0的兩個(gè)根x1,x2滿(mǎn)足0x1x2

1

.當(dāng)xa

0,x1時(shí)，證明xfxx.

1

8.已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.

9.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=－bx，其中a、b、c滿(mǎn)足abc,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；(2)求線(xiàn)段AB在x軸上的射影A1B1的長(zhǎng)的取值范圍.

10.已知實(shí)數(shù)t滿(mǎn)足關(guān)系式loga

tylog(a0且a≠1)aa3a3

(1)令t=ax,求y=f(x)的表達(dá)式；

(2)若x∈(0,2]時(shí)，y有最小值8，求a和x的值.

11.假使二次函數(shù)y=mx2+(m－3)x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.

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12.二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿(mǎn)足

(1)pf(

pqr

=0,其中m0,求證：m2m1m

m

)0;m1

(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解.

13.一個(gè)小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷(xiāo)售量x(件)與售價(jià)P(元/件)之間的關(guān)系為P=160－2x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元.

(1)該廠的月產(chǎn)量多大時(shí)，月獲得的利潤(rùn)不少于1300元？

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少元？

14.已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1．(1)證明：|c|≤1；

(2)證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2；

2

15.設(shè)二次函數(shù)fxaxbxca0，方程fxx0的兩個(gè)根x1,x2滿(mǎn)足

x11

.0x1x2.且函數(shù)fx的圖像關(guān)于直線(xiàn)xx0對(duì)稱(chēng)，證明：x0

a2

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16.已知二次函數(shù)f(x)ax2bx1(a,bR,a0)，設(shè)方程f(x)x的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x1和x2.

（1）假使x12x24，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱(chēng)軸為xx0，求證：x01；（2）假使x12，x2x12，求b的取值范圍.

17.設(shè)f(x)3ax22bxc.若abc0,f(0)0，

(Ⅰ)a＞0且－2＜(Ⅱ)方程

18.已知二次函數(shù)

的圖象如下圖：

f(1)0,求證：

a

＜－1；b

f(x)0在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

（1）試判斷

及

的符號(hào)；

。

（2）若|OA|＝|OB|，試證明

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19.

為何值時(shí)，關(guān)于

的方程

的兩根：

（1）為正數(shù)根；（2）為異號(hào)根且負(fù)根絕對(duì)值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）兩根在0，2之間。

20.證明關(guān)于

的不等式

與

，當(dāng)

為任意實(shí)數(shù)時(shí)，至少有一個(gè)桓成立。

21.已知關(guān)于

的方程

的極值。

兩根為

，試求

x28x20

0對(duì)一切x恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.22.若不等式2

mxmx1

22

23.設(shè)不等式ax+bx+c0的解集是{x|axβ}(0aβ),求不等式cx+bx+a0的

解集.

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答案：

1.解：(1)原不等式可化為：(xa)(x1)0,若a＞1時(shí)，解為1＜x＜a，若a＞1時(shí)，解為a＜x＜1，若a=1時(shí)，解為(2)△=m216．

①當(dāng)m2160即m4或m4時(shí)，△＞0．

mm216mm216

方程2xmx20有二實(shí)數(shù)根：x1,x2.

44

2

mm216mm216∴原不等式的解集為或xx|x.

44

①當(dāng)m=4時(shí)，△=0，兩根為x1x2

m

.4

若m4,則其根為－1，∴原不等式的解集為x|xR,且x1．若m4,則其根為1，∴原不等式的解集為x|xR,且x1．②當(dāng)－4＜m4時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．∴原不等式的解集為R．

2．解：A{x|[x(3k1)][x(k1)]0}，比較3k1,k1的大小,

由于(3k1)(k1)2(k1),

(1)當(dāng)k＞1時(shí)，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或xk1}.(2)當(dāng)k=1時(shí)，xR.

(3)當(dāng)k＜1時(shí)，3k－1＜k＋1，A=x|xk1或x3k1.

B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式4k4(kk)4k，(1)當(dāng)k=0時(shí)，0,xR.(2)當(dāng)k＞0時(shí)，△＜0，xR.

(3)當(dāng)k＜0時(shí)，0,xkk或xkk.故：當(dāng)k0時(shí)，由B=R，顯然有AB，當(dāng)k＜0時(shí)，為使AB，需要

2

2

3k1kk

k1，于是k1時(shí)，AB.

k1kk

綜上所述，k的取值范圍是：k0或1k0.

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3..解：(１)當(dāng)m2－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1時(shí)，

①若m＝3，原不等式解集為R

②若m＝－1，原不等式化為4x－1＜0

∴原不等式解集為｛x｜x＜

1

＝，不合題設(shè)條件.4

(２)若m2－2m－3≠0，依題意有

1m32

m2m30

即122m3(m3)4(m2m3)05

1

＜m＜35

1

綜上，當(dāng)－＜m≤3時(shí)，不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1＜0的解集為R.

5

11

4..解：由已知得x1＝－，x2＝是方程x2＋px＋q=0的根，

32

1111

∴－p=－＋q=－

232311

∴p＝，q＝－，∴不等式qx2＋px＋1＞0

66

11

即－x2＋x＋1＞0

66

∴－

∴x2－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx2＋px＋1＞0的解集為｛x｜－2＜x＜3｝.

5.．解：由不等式

12

xqxp0的解集為x|2x4，得p

2和4是方程

112

xqxp0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且0．(如圖)

pp

y

1

P0

24pqp0.

24p2

o2x

解得P22,q

3

2.2

6.解：∵f1abc,f1abc,f0c,

∴a

11

(f1f12f0),b(f(1)f(1)),cf0,22

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x2xx2x2

∴fxf1.∴當(dāng)1x0時(shí)，f1f01x22

x2xx2x

fxf1f1f01x2

22

xxxxxxxx2x2(1x)2222

155

x2x1(x)2.

244

2

2

2

2

x2xx2x

當(dāng)0x1時(shí)，fxf1f1f0x2

22

x2xx2xx2xx2x22

x(1x)

2222

155x2x1(x)2.

244

7.證明：由題意可知

f(x)xa(xx1)(xx2).

1

,∴a(xx1)(xx2)0,a

0xx1x2

∴當(dāng)x0,x1時(shí)，f(x)x.

又f(x)x1a(xx1)(xx2)xx1(xx1)(axax21),xx10,且axax211ax20,∴f(x)x1,綜上可知，所給問(wèn)題獲證.

8.解：(1)條件說(shuō)明拋物線(xiàn)f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫(huà)出示意圖，得

1m2f(0)2m10,

mR,f(1)20,1

f(1)4m20,m,2f(2)6m50

m56

∴

51

m.62

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f(0)0,f(1)0,

(2)據(jù)拋物線(xiàn)與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組

0,0m1

1

m,2

1

(這里0－m1是由于對(duì)稱(chēng)軸x=－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過(guò))m,

2

m12或m1,1m0.

yax2bxc

9.(1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0

ybx

Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+)2∵a+b+c=0,abc,∴a0,c0∴

c232c］4

32

c0,∴Δ0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).4

(2)解：設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2

2bc,x1x2=.aa

2b24c4b24ac4(ac)24ac

()

aaa2a2

c2cc1234[()1]4[()]

aaa24∵abc,a+b+c=0,a0,c0

c1

∴a－a－cc,解得∈(－2,－)

2a

cccc1∵f()4[()21]的對(duì)稱(chēng)軸方程是.

aaaa2c1

∈(－2,－)時(shí)，為減函數(shù)

2a

∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈(,2).

10..解：(1）由loga

ty

得logat－3=logty－3logtalogt33

aa

logay3

由t=ax知x=logat，代入上式得x－3=,

xx

∴l(xiāng)ogay=x2－3x+3，即y=ax

2

3x3

(x≠0).

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(2)令u=x2－3x+3=(x－

323

)+(x≠0),則y=au24

①若0＜a＜1,要使y=au有最小值8，

323

)+在(0，2]上應(yīng)有最大值，但u在(0，2]上不存在最大值.24

33

②若a1,要使y=au有最小值8，則u=(x－)2+,x∈(0,2]應(yīng)有最小值

24

則u=(x－

33

∴當(dāng)x=時(shí)，umin=,ymin=a4

24

34由a

3

=8得a=16.∴所求a=16,x=

3

.2

11.解：∵f(0)=10

(1)當(dāng)m＜0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.

0

(2）當(dāng)m0時(shí)，則3m解得0＜m≤1

0m

綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.

12.證明：(1)pf(

mm2m

)p[p()q()r]m1m1m1

pm[

pmqrpmp]pm[]

(m1)2m1m(m1)2m2

m(m2)(m1)22

pm[]

(m1)2(m2)

pm2

1m

,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m0,所以，pf()＜0.

(m1)2(m2)m1

(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r①當(dāng)p＜0時(shí)，由(1）知f(若r0,則f(0)0,又f(

m

)＜0m1

mm

)＜0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;m1m1

prpr

若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=0,

m2mm2m

mm又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解.

m1m1

②當(dāng)p＜0時(shí)同理可證.

13..解：(1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得

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y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x2+130x－500由y≥1300知－2x2+130x－500≥1300

∴x2－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45∴當(dāng)月產(chǎn)量在20~45件之間時(shí)，月獲利不少于1300元.(2）由(1）知y=－2x2+130x－500=－2(x－

652

)+1612.52

∵x為正整數(shù)，∴x=32或33時(shí)，y取得最大值為1612元，∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)1612元.

14.解(1)|c|＝|f(0)|≤1(由于0∈[－1，1])．

所以當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，

15.解：由題意fxxax(b1)xc.

2

它的對(duì)稱(chēng)軸方程為x

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由方程fxx0的兩個(gè)根x1,x2滿(mǎn)足0x1x2

1

a

,可得0xb11

2ax1a,且b12axb1

21x22a,∴b12axxb11b1

122aa2a，即

b

ax1，而x02a

故xx1

02

.

16.解：設(shè)g(x)f(x)xax2(b1)x1，則g(x)0的二根為x1和x2.

（1）由a0及x12x24，可得

g(2)0

g(4)0

，

即

4a2b10

16a4b30，

即b332a34a0,

42b2a34a0,兩式相加得

b

2a

1，所以，x01;（2）由(x2

b11x2)(a)24a,可得2a1(b1)21.又xx1

12a

0，所以x1,x2同號(hào).

∴

x0x12x12

，

x2x12

等價(jià)于

22a1(b1)21

x22x10

2a1(b1)2

1

,g(2)0g(2)0

即g(0)0或g(0)0

2a1(b1)212a1(b1)21

解之得b

14或b7

4

.或

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17.證明：（I）由于f(0)0,f(1)0，

所以c0,3a2bc0.由條件abc0，消去b，得ac0；

由條件abc0，消去c，得ab0，2ab0.故2

b

1.a

2

b3acb2

,)，（II）拋物線(xiàn)f(x)3ax2bxc的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3a3a

在2

1b1b2

1的兩邊乘以，得.

3a33a3

又由于f(0)0,f(1)0,

ba2c2ac

0,而f()

3a3a

所以方程f(x)0在區(qū)間(0,

bb

)與(,1)內(nèi)分別有一實(shí)根。3a3a

故方程f(x)0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

18.解析：解此題主要是應(yīng)用拋物線(xiàn)的幾何特性（張口方向，對(duì)稱(chēng)軸，截距，與

個(gè)數(shù)）及函數(shù)零點(diǎn)（