第7頁（共7頁）《數(shù)學歸納法及其應用》教學設計執(zhí)教者指導教師一、教學目標：1．認知目標：（1）了解數(shù)學歸納法的原理，并能以遞推思想作指導；（2）理解數(shù)學歸納法的操作步驟，能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題，并能嚴格按照數(shù)學歸納法證明問題的格式書寫.2．能力目標：培養(yǎng)學生理解分析、歸納推理和獨立實踐的能力。3．情感目標：激發(fā)學生的求知欲，增強學生的學習熱情，培養(yǎng)學生辯證唯物主義的世界觀和勇于探索的科學精神。.二、教學重點：證明整除性問題，證明與自然數(shù)n有關的不等式問題．三、教學難點：在P(k)P(k+1)遞推時，找出n=k與n=k+1時的遞推公式.四、內容分析：

數(shù)學歸納法的應用是教學的重點，本節(jié)課著重是運用數(shù)學歸納法證明整式問題、整除性問題和與自然數(shù)n有關的不等式問題，主要是探索遞推關系，教會學生思維，離開研究解答問題的思維過程幾乎是不可能的.因此在日常教學中，尤其是解題教學中，必須把教學集中在問題解答或解答問題的整個過程上.理清思路是教學的重點.即遞推關系的探索發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新等思維過程的暴露，知識形成過程的揭示為教學重點.用數(shù)學歸納法證明整除問題，P(k)P(k+1)的整式變形是個難點，找出它們之間的差異，從決定n=k時，P(k)做何種變形，一般地只有將n=k+1時P(k+1)的整式進行分拆配湊成P(k)的形式，再利用歸納假設和基本事實.這個變形是難點.用數(shù)學歸納法證明不等式的問題時，難點就是在P(k)P(k+1)遞推時，找出n=k與n=k+1時的遞推公式，這是關鍵所在.五、教學過程：（一）復習引入：1.數(shù)學歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n0時命題成立；然后假設當n=k(kN*，k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學歸納法2.用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關的命題的步驟：(1)證明：當n取第一個值n0結論正確；(2)假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結論正確，證明當n=k+1時結論也正確.（3）由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確總結：遞推基礎不可少，歸納假設要用到，結論寫明莫忘掉.（二）例題講解：類型一證明等式例1用數(shù)學歸納法證明1）第一步應做什么？此時n0=，左，2)當n=k時，等式左邊共有項，第k項是。假設當n=k時命題成立，即_______________________________________________________________3）當n=k+1時，命題的形式是4）此時，左邊增加的項是5)從左到右如何變形？證明：（1）當n=1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，等式成立。（2）假設當n=k時，等式成立，就是這就是說，當n=k+1時等式也成立。根據(jù)（1）和（2），可知等式對任何n∈N＊都成立變式訓練1、用數(shù)學歸納法證:(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，不等式左邊的變化是（）：（課堂練習）(2)用數(shù)學歸納法證:(n≥2,n∈N)過程中,由“n=k”變到“n=k+1”時，左式所需添加的項數(shù)為（C）：（課后練習）Ａ.１項Ｂ.項Ｃ.項Ｄ項類型二證明整除問題變式訓練:用數(shù)學歸納法證明:能被8整除.類型三證明不等式問題例3:用數(shù)學歸納法證明:分析：此題關鍵在于從n=k到n=k+1不等式左端的變化變式訓練求證:四、小結：1、數(shù)學歸納法的應用：（1）整式問題（2）整除問題（3）不等式問題2、處理第二步中的技巧和方法：第二步中證明n=k+1時命題成立是全局的主體，主要注意兩個“湊”：一是湊n=k時的形式，(必須用上歸納假設)二是湊目標式。五、課后作業(yè)：（一）、必做題1、用數(shù)學歸納法證明下式(1)當n=1時,左邊有_____項,右邊有_____項；(2)當n=k時,左邊有_____項,右邊有_____項；(3)當n=k+1時,左邊有_____項,右邊有_____項；(4)等式的左右兩邊,由n=k到n=k+1時有什么不同?左邊增加兩項:_____________右邊增加兩項:__________,減少一項:________2、用數(shù)學歸納法證明用數(shù)學歸納法證明能被13整除，（其中n∈N*）3、用數(shù)學歸納法證明當（二）、選做題1、用數(shù)學歸納法證明:當n為正偶數(shù)時,能被x+y整除.2、平面內有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不過同一點,證明交點的個數(shù)f(n)=n(n-1)/2.六、板書（略）學生在學習本節(jié)之前已經學習過歸納推理，以及一些簡單的數(shù)學證明方法，并且已經開始使用與正整數(shù)有關的結論（在求曲邊梯形面積中），但學生只是停留在認知階段，對問題本質沒有作更進一步的研究。另外高二學生經過了一年半的高中學習之后，初步具備了分析問題解決問題的能力，對于貼近生活實際的問題，學生基本上能夠掌握和解答，并能夠做到靈活運用。但有部分學生基礎較差，缺乏分析問題和解決問題的能力，特別分析問題、解決問題的能力較差，對所學知識達不到學以致用，抓不住重點。但也初步具有了發(fā)現(xiàn)和探究問題的能力，這為本節(jié)學習數(shù)學歸納法奠定了一定的基礎。效果分析本課能密切聯(lián)系學生的學習生活實際，精心選取典型的的事例，結合學生已有的生活經歷和體驗創(chuàng)設教學情境，設計符合學生實際的課堂活動，激發(fā)學生興趣，調動學生學習的積極性；設計科學合理、有思維價值的問題，讓學生在感悟、討論、交流、辯論中深化自己的思想認識，形成正確的價值觀念，同時培養(yǎng)學生自主合作、分析探究問題的能力。整個教學設計重點突出，層次分明，環(huán)環(huán)緊扣，溫故知新。抓住知識的內在聯(lián)系，教師處處啟發(fā)學生自己主動去獲取知識，使教師的主導作用和學生的主體作用得以充分發(fā)揮，體現(xiàn)了素質教育的指導思想。生活事例貫穿整個教學過程，使數(shù)學知識人文化，使抽象的問題具體化，調動了學生學習的積極性、主動性。使學生學有所得，學有所用，進一步激發(fā)了學生學習的興趣，培養(yǎng)了學生科學的思維態(tài)度。教材分析歸納是一種由特殊事例導出一般規(guī)律的思維方法．歸納推理分完全歸納推理與不完全歸納推理兩種．不完全歸納推理只根據(jù)一類事物中的部分對象具有的共同性質，推斷該類事物全體都具有的性質，這種推理方法，在數(shù)學推理論證中是不允許的．完全歸納推理是在考察了一類事物的全部對象后歸納得出結論來．數(shù)學歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關的數(shù)學命題的一種推理方法，在數(shù)學問題的解決中有著廣泛的應用．

“數(shù)學歸納法”既是高中代數(shù)中的一個重點和難點內容，也是一種重要的數(shù)學方法。它貫通了高中代數(shù)的幾大知識點：不等式，數(shù)列，三角函數(shù)??在教學過程中，教師應著力解決的內容是：使學生理解數(shù)學歸納法的實質，掌握數(shù)學歸納法的證題步驟（特別要注意遞推步驟中歸納假設的運用和恒等變換的運用）。只有真正了解了數(shù)學歸納法的實質，掌握了證題步驟，學生才能信之不疑，才能用它靈活證明相關問題。本節(jié)課是數(shù)學歸納法的第一節(jié)課，有兩大難點：使學生理解數(shù)學歸納法證題的有效性；遞推步驟中歸納假設的利用。不突破以上難點，學生往往會懷疑數(shù)學歸納法的可靠性，或者只是形式上的模仿而不知其所以然。這會對以后的學習造成極大的阻礙。根據(jù)本節(jié)課的教學內容和學生實際水平，本節(jié)課采用“引導發(fā)現(xiàn)法”和“講練結合法”。通過課件的動畫模擬展示，引發(fā)和開啟學生的探究熱情，通過“師生”和“生生”的交流合作，掌握概念的深層實質。評測練習一、選擇題1．已知等式，以下說法正確的是（）A．僅當時等式成立B．僅當時等式成立C．僅當時等式成立D．為任何自然數(shù)時等式都成立2．設f（n）=+++…+（n∈N*），那么f（n+1）－f（n）等于（）A. B.C.+ D.－3．用數(shù)學歸納法證明“（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，從“k到k+1”左端需增乘的代數(shù)式為（）A.2k+1B.2（2k+1）C.D.4．如果命題P（n）對n=k成立，則它對n=k+1也成立，現(xiàn)已知P（n）對n=4不成立，則下列結論正確的是（）A.P（n）對n∈N*成立B.P（n）對n＞4且n∈N*成立C.P（n）對n＜4且n∈N*成立D.P（n）對n≤4且n∈N*不成立5．用數(shù)學歸納法證明“1+++…+＜n（n∈N*，n＞1）”時，由n=k（k＞1）不等式成立，推證n=k+1時，左邊應增加的項數(shù)是（）A.2k－1B.2k－1C.2kD.2k+1二、填空題…6．在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）.…7．觀察下表：12343456745678910……設第n行的各數(shù)之和為Sn，則Sn＝.8．用數(shù)學歸納法證明時，假設時結論成立，則當時，應推證的目標不等式是.三、解答題9．用數(shù)學歸納法證明10．在各項為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項和Sn滿足（1）求（2）由（1）猜想數(shù)列的通項公式，并且用數(shù)學歸納法證明你的猜想．11．試證當n為自然數(shù)時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．課后反思1．數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點不應該是方法的應用．我認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設想強化數(shù)學歸納法產生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產生與不完全歸納法的完善結合起來．這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機．2．在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強學生對教學過程的參與．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題，讓學生投入到思維活動中來，把本節(jié)課的研究內容置于問題之中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得知識體系的更新與拓展．3．運用數(shù)學歸納法證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題，兩個步驟缺一不可．理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時必須要用到n＝k時命題成立這個條件．這些內容都將放在下一課時完成，這種理解不僅使我們能夠正確認識數(shù)學歸納法的原理與本質，也為證明過程中第二步的設計指明了思維方向．課標分析數(shù)學歸納法作為直接證明的一種特殊方法，主要用于證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題。人教課標版教科書把數(shù)學歸納法安排在選修2-2第二章推理與證明中