一、填空題

1.以系統(tǒng)開環(huán)增益為可變參量繪制的根軌跡稱為,以非開環(huán)增益為可變參量繪制的根軌跡稱為

。(常規(guī)根軌跡、參數(shù)根軌跡)

2.繪制根軌跡的相角條件是,幅值條件是。

(ZG(s)H(s)=2kn,|G(s)H(s)|=l)

3.系統(tǒng)根軌跡的各分支是的，而且對稱于o(連續(xù)、實(shí)軸)

4.根軌跡起始于,終止于；如果開環(huán)零點(diǎn)個(gè)數(shù)m少于開環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)n,則有條根

軌跡終止于無窮遠(yuǎn)處。(開環(huán)極點(diǎn)、開環(huán)零點(diǎn)、n-m)

5.開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=長生2,此根軌跡有____條分支,實(shí)軸上根軌跡區(qū)域?yàn)開_______.(2、[-

s(2s+1)

8,-1]U[-1/2,0])

6.正反饋回路的根軌跡被稱為根軌跡。(零度)

二、選擇題

1.系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)的基本特征取決于系統(tǒng)()在s復(fù)平面上的位置

A開環(huán)零點(diǎn)B開環(huán)極點(diǎn)C閉環(huán)零點(diǎn)D閉環(huán)極點(diǎn)

2.根軌跡法是利用()在s平面上的分布，通過圖解的方法求取()的位置

A開環(huán)零、極點(diǎn)；閉環(huán)零點(diǎn)B開環(huán)零、極點(diǎn)；閉環(huán)極點(diǎn)

C閉環(huán)零、極點(diǎn)；開環(huán)零點(diǎn)D閉環(huán)零、極點(diǎn)；開環(huán)極點(diǎn)

3.與根軌跡增益有關(guān)的是()

A閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)B閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)

C開環(huán)零、極點(diǎn)；閉環(huán)零點(diǎn)D開環(huán)零、極點(diǎn)；閉環(huán)極點(diǎn)

4.相角條件是全根軌跡存在的()

A充分條件B必要條件C充要條件D既非充分又非必要條件

5.己知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)

則全根軌跡的分支數(shù)是()

A1B2C3D4

6.已知控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)是

G(s)

G<s)=

l+G(s)N(s)

則全根軌跡的分支數(shù)是(

AG(s)H(s)的極點(diǎn)BG(s)H(s)的零點(diǎn)

C1+G(s)H(s)的極點(diǎn)Dl+G(s)H(s)的零點(diǎn)

7.上題中的根軌跡終止于

AG(s)，(s)的極點(diǎn)BG(s)”(s)的零點(diǎn)

Cl+G(s)H(s)的極點(diǎn)D1+G(s)”(s)的零點(diǎn)

8.實(shí)軸上根軌跡右邊的開環(huán)實(shí)極點(diǎn)與實(shí)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為();實(shí)軸上補(bǔ)根軌跡右邊的開環(huán)實(shí)極點(diǎn)與實(shí)零

點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為()

A偶數(shù)奇數(shù)B偶數(shù)偶數(shù)C奇數(shù)偶數(shù)D奇數(shù)奇數(shù)

9.給定下列開環(huán)傳函，則其中系統(tǒng)根軌跡發(fā)散的是()

111s+2

A--------B------------C------------rD------------r

S+13+1)2(s+I)3(S+

10.可能具有復(fù)分離點(diǎn)的系統(tǒng)是()

A一階系統(tǒng)B二階系統(tǒng)C三階系統(tǒng)D四階及以匕系統(tǒng)

11.給開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)，(s)增加極點(diǎn)，作用是()

A根軌跡向右半s平面推移,穩(wěn)定性變差

B根軌跡向左半S平面推移,穩(wěn)定性變差

C根軌跡向右半S平面推移,穩(wěn)定性變好

D根軌跡向左半S平面推移,穩(wěn)定性變好

12.給開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)增加零點(diǎn)，作用是()

A根軌跡向右半S平面推移,穩(wěn)定性變差

B根軌跡向左半S平面推移,穩(wěn)定性變差

C根軌跡向右半S平面推移,穩(wěn)定性變好

D根軌跡向左半S平面推移,穩(wěn)定性變好

13.開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)極點(diǎn)向右移動(dòng)，相當(dāng)于某些慣性或振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)(),使系統(tǒng)穩(wěn)定性

()

A增大變壞B減小變好C增大變好D減小變壞

14.開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)零點(diǎn)向右移動(dòng)，相當(dāng)于某些慣性或振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)(),使系統(tǒng)穩(wěn)定性

()

A增大變壞B減小變好C增大變好D減小變壞

G(S)=G(s')=K

15.設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為s(s+1)若系統(tǒng)增加開環(huán)極點(diǎn)，s(s+1)3+2),則

對根軌跡分離點(diǎn)位置變化，描述正確的是()

A左移B右移C不移動(dòng)D移動(dòng)方向不確定

16.上題中系統(tǒng)極點(diǎn)變化前后，對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的的影響是()

A調(diào)節(jié)時(shí)間加長，振蕩頻率減小B調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，振蕩頻率減小

C調(diào)節(jié)時(shí)間加長，振蕩頻率增大D調(diào)節(jié)時(shí)間縮短，振蕩頻率增大

17.MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中繪制根軌跡的函數(shù)是

ApoleBrootsCrlocusDrlocfind

答案：l.D2.B3.C4.D5.C6.A7.B8.C9.C10.Dll.A12.D13.A14.B15.B

16.A17.C

三、簡答題

1.筒述根軌跡的概念

答：開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)某一參數(shù)變化時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在S平面上的變化曲線稱為根軌跡。

2.簡述閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)的關(guān)系

答：閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)具有以下關(guān)系：

①閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通道根軌跡增益；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡

增益等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。

②閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通道傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路的極點(diǎn)組成；對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)

就是開環(huán)零點(diǎn)。

③閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、開環(huán)極點(diǎn)以及根軌跡增益Ko

3.什么叫最小相位系統(tǒng)？什么叫非最小相位系統(tǒng)?

答：當(dāng)系統(tǒng)的所有開環(huán)零、極點(diǎn)都位于s平面左半部時(shí)，系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。如果系統(tǒng)具有s平面

右半部的開環(huán)零、極點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)稱成非最小相位系統(tǒng)。

四、計(jì)算題

1.已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳函為G*(s)=，(/+產(chǎn)+2)

S

(1)畫出系統(tǒng)根軌跡(關(guān)鍵點(diǎn)要標(biāo)明)。

(2)求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍，及臨界狀態(tài)下的振蕩頻率。

答案：解：①〃=3,々,2,3=°

機(jī)=2，Z|2=-l±j

n-m=\

③入射角氏“=180。+(工￡廠1>.)

j=\i=\

=180°+(135°+135°+135°)-90°

=360°+135°=135°

同理氏,2=-135°

④與虛軸交點(diǎn)

特征方程J+ks2+2公+2=0

5312k

,2

k2

=0=＞女=1

所以女2+2=0

所以s=±V2j

所以，當(dāng)人>1時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定，

臨界狀態(tài)下的振蕩頻率為8-e

2.已知系統(tǒng)如下圖所示，

（1）畫出系統(tǒng)根軌跡（關(guān)鍵點(diǎn)要標(biāo)明）。

（2）求使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍，及臨界狀態(tài)下的振蕩頻率。

c一,KX

―>0-^S2+2S+2——T—1——c>

解答:

K(S2+2S+2)

①〃=3,生3=0

m=2,Z]°=一1±j

n-m=1

②漸進(jìn)線1條萬

③入射角q,=180。+Z極o-Z00

=180°+(135°+135°+135°)-90°=360°+135°=135°

同理a%=735。

④與虛軸交點(diǎn)，特方I+KS2+2KS+2=0

s2K2

2K2-2

51

K

5°2

2K—2=0=K=1

K

Ks2+2=0

=±6j

所以當(dāng)K>1時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定，臨界狀態(tài)下的震蕩頻率為0=J5

題圖3-2

K(2s+1)

G⑸

3.單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為s（0?25s+l）,畫出K從0-8變化時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌

跡，并確定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K的取值范圍。

【解】

G（s）=a華

漸近線s（s+4）

2X(-4)+0.5=_2,5

%

4-1

(2k+l)7t

(Pa±60°,180°

4-1

與虛軸交點(diǎn)

D(S)=S2(S+4)2+32K(S+0.5)=S4+8S3+16s2+32Ks+16K

Re[D(jco)]=0/-16co2+16K=0

令I(lǐng)m[D(j(o)]=-8o?+32K(o=0

解出K=3(0=±2百

回出根軌跡如圖4.1所示。由根軌跡及計(jì)算結(jié)果可以確定K的穩(wěn)定范圍是

0<K<3o

4.已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(a>0),要求:

(1)繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡(0Wa<8)；

(2)判斷(-6,j)點(diǎn)是否在根軌跡上；

由根軌跡求出使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比為&=0.5時(shí)的a值。

【解】(1)本題給出的是閉環(huán)傳遞函數(shù)，所以系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

D(s)=s2+as+16

構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)

as

G'(s)=

s2+16

畫出根軌跡如圖4,2所示。它是以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓弧。

4.2根軌跡圖

5.某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示,

^->0---------->K------->/_2S+5----__

V1—^(5+2)(.9-0.5)

(1)繪制系統(tǒng)的根軌跡草圖；

(2)用根軌跡法確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的Kg值的范圍；

(3)用根軌跡法確定使系統(tǒng)的階躍響應(yīng)不出現(xiàn)超調(diào)的K,的最大取值

解：(1)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=長?+■)($-1-J2)

(5+2)(5-0.5)

開環(huán)增益K=5K為系統(tǒng)類型v=0

D(s)=(s+2)(5-0.5)+(s2-2s+5)=(1+KJs2+(1.5-2Kg)s+(5K*-1)分

離點(diǎn):----1-----=-------1------整理得：7d2—24d—11=0

d+2J-0.5J-1+j2d-\-jl

解出d=f-0.4094

[3.838(舍去)

「Im[O(%)]=(1.5—2Ko)(y=0

與虛軸交點(diǎn)：^,

VRe[O(加)]=-(1+K"+5K「1=0

69=0

解出:

仁=0.2

1.5

畫出系統(tǒng)根軌跡:

(2)由(1)中計(jì)算結(jié)果可知，穩(wěn)定范圍為：0.2vKg<0.75

(3)依題意，要求分離點(diǎn)d=-0.4094處的KJ直:

.\!d+2M-0.5!

用模值條件解得：K\d=-.~——-----—r

6.兩個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖分別如下圖所示：

(a)(b)

(1)畫出當(dāng)-0—8)變動(dòng)時(shí)，圖(a)所示系統(tǒng)的根軌跡；

(2)畫出當(dāng)p(0-8)變動(dòng)時(shí)，圖(b)所示系統(tǒng)的根軌跡(即廣義根軌跡);

(3)試確定k,p值，使得兩個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)相同。

解：(1)G⑷(s)=蛆曾d=-2畫出系統(tǒng)根軌跡如圖虛線部分

4,

(2)Gw(s)=------Gs)(s)=s+ps+4

s(s+p)

構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=4—畫出相應(yīng)的根軌跡如圖實(shí)線部分

5+4

(3)可見,兩條根軌跡公共交點(diǎn)對應(yīng)重極點(diǎn).2=一2,所以令D|(s)=A(s)=(s+2)2

即：s2+ks+k=s2+ps+4=s2+4i+4比較系數(shù)得：k=p=4

此時(shí)兩系統(tǒng)具有相同的閉環(huán)極點(diǎn)

7.設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示。

RG)

要求：(1)繪制K*從0foo變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡；

(2)試求出系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼時(shí)的開環(huán)增益范圍;

(3)在根軌跡圖上標(biāo)出系統(tǒng)最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)(用52表示)。

K*(s+2)(s+3)

解：G(s)=開環(huán)增益K=6K*系統(tǒng)類型v=I

S(S+1)

1

(1)分離點(diǎn)：--1------一十,整理得：2d2+61+3=0

(1d+\d+2d+3

?=-0.634

解出：＜

2=-2.366

「八Kdi*0.0718

14+2(4+3|

對應(yīng)的K*值是:

|d21d2+1

八Kd2*13.928

\d2+2%+3|

(2)山根軌跡可以確定使系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)的K值范圍為：0.4308<K<83.568

(3)復(fù)平面根軌跡是圓，圓心位于上必=—1.5處，半徑是&二L=0.866。

22

在根軌跡圖上做萬i切圓于A點(diǎn)(A點(diǎn)即為所求極點(diǎn)位置)。由相似三角形關(guān)系

ABBC—AB~0.8662一

DC=-----=-----------=U.5

BOABBO1.5

近=而_前=1.5-0.5=1

AC^扃-~BC~=A/0.8662-0.52=0.707

故對應(yīng)最小阻尼狀態(tài)的閉環(huán)極點(diǎn)為：5L2=-1±J0.707

8.已知G(s)〃(s)=<K*(s+?3)

s(s+2)

(1)繪制根軌跡并證明復(fù)平面上根軌跡部分為圓；

(2)系統(tǒng)呈現(xiàn)欠阻尼狀態(tài)時(shí)的開環(huán)增益范圍；

(3)系統(tǒng)最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)。

解：(1)繪根軌跡：

1)開環(huán)零，極點(diǎn)Z\--3,P|-0,p2--2(n=2,m=1)

2)實(shí)軸上根軌跡(0,—2),(-3,-00)

3)分離點(diǎn)—i―解得J,=-1.26,d2=-4.72

dd+2d+3

令S=(T+/S為根軌跡上任意一點(diǎn)，

代入特征方程O(s)=s(s+2)+K*(s+3)

則有r(y~+2b+K*(b+3)-g~=0

L2(769+2G+K*Q=0

整理得(b+3)2+@2=(g)2

作出的根軌跡如圖：

可見復(fù)平面根軌跡為圓，圓心坐標(biāo)為(-3,jO),半徑為百。

(2)求系統(tǒng)欠阻尼時(shí)K的范圍。先由特征方程求出分離點(diǎn)處的K*

~。(4)=4(4+2)+&*(4+3)=0

[D(d2)=d2(d2+2)+*(d2+3)=0

解得儲(chǔ)*=0.536,七*=7.464

333

因?yàn)镵=—K*所以&=—&*=0.8,K,=—K2*=11.2

222

即欠阻尼狀態(tài)時(shí)的開環(huán)增益范圍為0.8<K<11.2

(3)求最小阻尼比時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)。在根軌跡圖上作圓的切線04于A點(diǎn)(A點(diǎn)即為

所求極點(diǎn)位置)，由相似三角形關(guān)系:

------2

絲=絲得前

BOABB03

又0C=B。-8C=3-1=2

所以AC=扇-BC2=73^1=V2=1.414

故對應(yīng)最小阻尼狀態(tài)時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)為九2=-2±J1.414

9.若下圖所示控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為2土(即2±3.16j),試確定增益K和速度反

饋系數(shù)T；并對求出的T值畫出根軌跡圖；確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。

解：開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=K8s+D,O(s)=s2+(3+KT)s+K

5(5+3)

令￡)(5)=(5-2-710j)(s-2+V10J)=52-4.V+14

比較系數(shù)，解出K,T為K=14,T=-l/2

1-K

K(—\S+1)---(5—2)

此時(shí)有G(s)=——%-----=—-------當(dāng)K從Ofoo變化時(shí)，應(yīng)畫0°根軌跡。

s(s+3)s(s+3)

1110

分離點(diǎn)：一+——=——，整理得：/—4d—6=0,解出：&=-1.16,J2=5.16

dd+3d—2

與虛軸交點(diǎn)：O(S)=S(S+3)-K(S—2)=S2+(3-g)s+K

22

"Re[0(j。)]=—+K=0

令.YK

〔Im[O(/&)]=(3-5)0=。

聯(lián)立解出：K=6,（0=JZ

畫出根軌跡：

可以確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為：0<K<6

as

10.已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為0（S）=F—----（a>0）

s+as+16

要求：（1）繪出閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡（04。<8）；

（2）判斷（一6,/）點(diǎn)是否在根軌跡上；

（3）由根軌跡求出使閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比J=0.5時(shí)的a值。

解：（1）本題給出的是閉環(huán)傳遞函數(shù)，所以系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為：D（s）^s2+as+16

ns

構(gòu)造等效開環(huán)傳遞函數(shù)G*(5)=▼—,畫出根軌跡:

52+16

它是以原點(diǎn)為圓心，半徑為4的圓弧。

(2)點(diǎn)(―后,/)到原點(diǎn)的距離為底1=2=4,故不在根軌跡上。

(3)￡>(s)=s?+as+16=s2+2物“s+o“2

-a)n=VT6=4

ya令自=0.5,得a=con=4

11.已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)=K(85s-1)-

(0.5.v+1)(25-1)

要求：(1)當(dāng)K從0f+8變化時(shí)，概略繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡圖；

(2)確定保證系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍；

(3)求出系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下穩(wěn)態(tài)誤差可能達(dá)到的最小絕對值"Jmin。

1

嚴(yán)■2)27

解：⑴G(S)

(s+2)(5—0.5)

11_2

分離點(diǎn):J+2+J-0.5-J-2整理并解出：d=-0.182

與虛軸交點(diǎn):

D(s)=(s+2)(5-0.5)+1K($—2)2=(1+—)52+(1.5-K)s+(K—1)

44

「Im[D("y)]=(L5-K)0=O

令.]K

IRe[O(j<y)]=—(1+—)口2+(K—1)=O

4

=0&=1

聯(lián)立求解可得:

co7—+0.603K>=1.5

畫出根軌跡如圖:

52

-2-100.511.

~1.5—0.5

(2)由根軌跡圖可以看出，K值穩(wěn)定范圍對應(yīng)于根軌跡與虛軸的兩個(gè)交點(diǎn),

所以有

(3)系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)為：=limG(s)=—K

Pj-?0

由靜態(tài)誤差系數(shù)法，可求得系統(tǒng)在穩(wěn)定范圍內(nèi)有：

\e.\=-----1-----=-----!----=——-——=2

1+L1-L1-1.5

12.已知比例一微分控制系統(tǒng)如下，

R(S)CG)

—*小1

s(s+l)G+2)

試?yán)L制《與7；((20,7(,>0)同時(shí)變化時(shí)的根軌跡族。

解：圖示系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為s3+3s2+2s+K1+&7>=0

即有1+=0

s+3s~+2s+Ki

系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)為G,(s)H,(s)

s*+3s~+2s+K]

K,

系統(tǒng)的開環(huán)特征方程為s(s+l)(s+2)+&=0進(jìn)而得1+0

s(s+l)(s+2)

設(shè)G2(S)“2(S)=

s(s+l)(s+2)

根據(jù)常規(guī)根軌跡的繪制法則，由G,(s)”,(s)得到等效開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)特征根的軌跡為：

RootLocus

3

2

1

-s

vx0

A

J

B

C

6

B

E

-4

其中分離點(diǎn)d=-0.423,與虛軸的交點(diǎn)為G=

當(dāng)7；變化時(shí)，系統(tǒng)根軌跡的起點(diǎn)都位于上圖所示的根軌跡上。

由幅值條件，當(dāng)s=d=-0.423時(shí)，求得K[=同|4+1|4+2|=0.385

當(dāng)K|W0.385時(shí)，等效系統(tǒng)的開環(huán)有限極點(diǎn)皆為實(shí)數(shù)；當(dāng)K|>0.385時(shí)，等效系統(tǒng)的

開環(huán)有限極點(diǎn)有一對為復(fù)數(shù)。就上述情況分別做出根軌跡族(略)。

13.已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)”(s)

(52+2s+2)(/+2S+5)

（K*〉0）

但反饋極性未知，欲保證閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，試確定根軌跡增益K*的范圍。

解：若反饋極性為負(fù)時(shí)，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K*的范圍為（a,b）,若反饋極性為正時(shí)，使

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K*的范圍為（c,d）,則選擇K*e（e,/）,而（e,f）為（a,b）

和（c,d）的公共區(qū)間，即可保證系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

反饋極性為負(fù)時(shí)，需作常規(guī)根軌跡。系統(tǒng)開環(huán)有限極點(diǎn)為—1±/2和-1±）。

實(shí)軸上無根軌跡。根軌跡有四條漸近線，且1,仍=45°,135°,225°,315°

P\2=-1±j2,0pi=270°,外,=-270°

根軌跡的起始角為

P3.4=一1±/,%=90。,%=-90。

2($+1)2(s+1)

根軌跡的分離點(diǎn)方程為

s~+2s+2s~+2s+5

解得=-l,J23=-l±jl.581

由根軌跡方程得K*|〃=-4K*|,=2.25

I.s=<i|Is=d2

故"2.3為常規(guī)根軌跡的復(fù)分離點(diǎn)。

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：

D(s)=(52+2s+2)(/+2s+5)+K*=.v4+4.v3+1152+14s+K*+10=0

列勞斯表：

5411110+K*

53414

-)

S7.510+K*

65—4K*

o1

7.5

當(dāng)K*=16.25時(shí)，勞斯表中3行的元素全為零。

由輔助方程A（s）=7.5?+10+16.25=0解得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為5|2=±;1.871

概略繪制系統(tǒng)反饋極性為負(fù)時(shí)的根軌跡如圖：

RootLocus

5

-5-4-3-2-10123

RealAxis

反饋極性為正時(shí)，需作零度根軌跡。實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為(-8,+8)

根軌跡有四條漸近線，且巴,=一1,0“=0°,90°,180°,270°

根軌跡的起始角為2=90°,6〃=一90°,〃=270°,〃=—270°

根軌跡的分離點(diǎn)由前求得d=—1。

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：D(s)=s4+4s3+11/+i4s+io—K*=0

由勞斯判據(jù)可知，K*=10時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定，根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為s=0。

做反饋極性為正時(shí)的根軌跡(略)

由兩個(gè)根軌跡圖可知，反饋極性為負(fù)時(shí)，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K*范圍為［0,16.25］,

反饋極性為正時(shí)，使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K*范圍是［0,10)o因此反饋極性未知時(shí)，使系統(tǒng)

閉環(huán)穩(wěn)定的K*范圍為［0,10)。

14.設(shè)反饋控制系統(tǒng)中，G(5)=-——-----,H(s)=l

S2(S+2)(S+5)

要求：(1)概略繪制系統(tǒng)根軌跡圖，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

(2)如果改變反饋通路傳遞函數(shù)使"(s)=1+2s,試判斷H(s)改變后系統(tǒng)的穩(wěn)定性,

研究H(s)改變所產(chǎn)生的效應(yīng)。

解：(1)系統(tǒng)無開環(huán)有限零點(diǎn)，開環(huán)有限極點(diǎn)為Pl=P2=O，P3=-2,。4=-5

實(shí)軸上根軌跡區(qū)間為[-5,-2]J0,0]o

根軌跡漸近線條數(shù)為4,且%,=一1.75,念=45°,135。,225°,315°

211

由分離點(diǎn)方程一+——+——=0得(4s+5)(s+4)=0

S5+25+5

經(jīng)檢驗(yàn)根軌跡的分離點(diǎn)為d=-4.概略繪制系統(tǒng)根軌跡如圖：

RootLocus

>

」

CUQ

UGI

E

-

-2046

RealAxis

山圖知，無論K*為何值，閉環(huán)系統(tǒng)恒不穩(wěn)定。

K]*(s+0.5)

(2)當(dāng)H(s)=l+2s時(shí)，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)"(s)=

$2(s+2)(s+5)

其中K1*=2K*。H(s)的改變使系統(tǒng)增加了一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)。

實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為(-no-5],[-2,-0.5],[0,0]o

根軌跡漸近線條數(shù)為3,且區(qū)，=一2.17,夕“=60°,180°,300°

系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為D(s)=s4+7s3+10r+2K*s+K*=0

列勞斯表：

S,110K*

5372K*

270-2K*

-------------K*

7

1K*(91—4K*)

s70-2K*

當(dāng)K*=22.75時(shí),勞斯表一行元素全為零。

由輔助方程A(s)=(70-2K*)1+7K*=24.5/+159.25=0

解得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為九2=±,255。概略繪制系統(tǒng)根軌跡圖:

RootLocus

4

2

0

-

x

<

0

6-

E

E

-0

O

-6-4-2

RealAxis

由圖知，當(dāng)0<K*<22.75時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

附加的開環(huán)零點(diǎn)芍=-。5,使系統(tǒng)根軌跡向s平面的左半平面彎曲，因而閉環(huán)系

統(tǒng)可在K*的一定范圍內(nèi)穩(wěn)定，改善了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

15.已知控制系統(tǒng)前向通道和反饋通道傳遞函數(shù)分別為:

K*(s-1)5

G(s)—,““，H(s)——

5-+45+4s+5

(1)繪制K*從Of8變化時(shí)系統(tǒng)的根軌跡，確定使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*值范圍。

(2)若一知系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)訪=-1,試確定系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

5K*(s-l)_5K*(s—1)

解:(1)G(s)"(s)=

(.v+5)(.y2+4.V+4)(s+5)(s+2/

1)開環(huán)零、極點(diǎn)Z|=LPi=-5,02,3=一2(n=3,m=1)

2)實(shí)軸根軌跡(-5,1)

。、南出建-5-2x2-l(2k+1)乃7i

3)漸進(jìn)線(y=------------=一5夕“=---------=±一

n"3-1°3-12

4)分離點(diǎn)應(yīng)用重根公式可得1+3/-94-22=0

又知：&=—2故得：d2+d-u=o解得4=—3.854,4=2.85(舍去)

可作出根軌跡如下：

若使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定則閉環(huán)根必須位于左半S平面，故將s=0代入特征方程

O(s)=(s+5X/+4s+4)+5K*(s—1)解得K*=4

所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K*范圍是0<K*<4

(2)閉環(huán)傳遞函數(shù)

,/、G(s)K*(s-l)(s+5)K*(s-l)(s+5)

Cj=____________________—___________________________________________=__________________________

~1+G(s)H(s)~(s+5)(5+2)2+5AT*(5-1)"D(s)

當(dāng)4=一1時(shí)，由特征方程。3)=0可得&*=0.4

0.4(.y-1)(5+5)0.4(.v-1)(5+5)

(s+5)(s+2)2+2(s—l)—d+%2+26S+18

0.4(s-l)(s+5)

分母可用長除法分解,可得。(s)=

(5+1)(52+85+18)

16.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示，試用根軌跡分析，當(dāng)調(diào)節(jié)器G,(s)=Kc時(shí)，系統(tǒng)的性能。

RG)

08K

解：當(dāng)G,(s)=K,時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為GMs)=G(s)”(s)=——：~—

(s+2)(5+4)

略去繪制根軌跡的過程，可作出根軌跡如圖。

7T

其中?=一3,仁=±,,d=-3

K,取何值？由時(shí)域法我們知道，二階系統(tǒng)當(dāng)自=0.707時(shí)，系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)

性能。由上圖可見，當(dāng)選&=0.707時(shí)、6=arccos&=45°,此時(shí)閉環(huán)兩極點(diǎn)

為：S|,2=—3±，3。又g”-3,則a)n-Vfs

對應(yīng)不小一心歸一"I?叵=1。K”叱=12.5

11c0.8

分析系統(tǒng)性能：

穩(wěn)定性：K,從0foo變化時(shí)系統(tǒng)皆穩(wěn)定。

無

動(dòng)態(tài)性能：cr%=ekx100%=4%/,=21=■—35=]2s

物“0.707x718

穩(wěn)態(tài)性能：本系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，在階躍輸入時(shí)穩(wěn)態(tài)誤差為常數(shù)，即當(dāng)r(t)=l用時(shí)

8

17.已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為GKG)=G(S)”(S)=.

s(s~+2s+2)

繪制以a為變量的參數(shù)根軌跡，并討論a值對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

解：分析：繪制參數(shù)根軌跡的關(guān)鍵是引入等效開環(huán)傳遞函數(shù)G婿效(s),在G華效(s)中將參

變量置于常規(guī)根軌跡所對應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G*(s)中K*或K的位置上，然后按照常

規(guī)根軌跡的作圖法則進(jìn)行作圖。

討論參變量a從Of8變化的軌跡，可以令6=1,則系統(tǒng)的特征方程為

,,a

D(s)=s+2s~+3s+a,對應(yīng)選擇G*等效(s)=——；---------

“等效5(52+25+3)

式中參變量a相當(dāng)于開環(huán)傳遞函數(shù)G?(s)中的K*。該等效開環(huán)傳遞函數(shù)所對應(yīng)的閉環(huán)

根軌跡如下：

可見，當(dāng)0<a<6時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)a>6時(shí)始終有兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半S平面，系

統(tǒng)不穩(wěn)定。增加零點(diǎn)將改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所增加的零點(diǎn)位置不同，將產(chǎn)生不同的效果,

可以分以下兒種情況來分析。

1）若不增加零點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示：

可見系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)儲(chǔ)=4

2）若增加z=-1的零點(diǎn)，此時(shí)系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示:

可見無論取何值，系統(tǒng)總是穩(wěn)定的。

3）增加z=-5的零點(diǎn)后，當(dāng)K1〉4時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)定的K|值的范圍

和未增加零點(diǎn)時(shí)一樣，這說明取2=5時(shí)一，幾乎未改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而當(dāng)z=-6

時(shí)，即使取K1=l,系統(tǒng)也是不穩(wěn)定的。

1.下圖系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)由兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)組成，問(1)閉環(huán)傳遞函數(shù)能否寫

成標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，(2)求閉環(huán)系統(tǒng)在單位階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差。

K

(率+1)(室+1)

G°(s)_K「_____________Kg)_____________

1+G0(s)一(拿+1)(小+1)+￡一s?+[g+4)/(5小+(K+1)/(5)

_____________K/(-)_____________Ky__________(K+l)/(g)__________

S2+[g+4)g)]s+(K+1)/@K+ls2+[([+4)/(a)]s+(K+1)/附)

--x--------7

K+l5.+2血5+。;

1

K+l

2.已知一控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示,

要求，

(1)確定值使系統(tǒng)的阻尼比二=手

(2)對由⑴所確定的&，值,求當(dāng)輸入信號(hào)為%)=10，時(shí),系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)誤差

終值。

解：化簡原系統(tǒng)框圖可知，系統(tǒng)的開環(huán)傳函為

8

s(s+2)=8=8

118Khs-s(s+2)+8K“s-s1s+(2+8K")]

s(s+2)

因此該系統(tǒng)是I型系統(tǒng)。

閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

a⑸

s”+(2+8匹)s+8

根據(jù)已知條件a=8,啰=2V2,4=V2/2可知

2+8K〃=2g=2*仞2*20=4nK?=2/8=0.25

由于系統(tǒng)是I型系統(tǒng)，所以該系統(tǒng)有靜差跟蹤速度信號(hào)，且穩(wěn)態(tài)誤差為

101010

2+8M

3.系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下

s(s+2)

(1)求出此系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；

(2)當(dāng)&,=1、(=0時(shí)，計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量、峰值時(shí)間;

(3)當(dāng)K/,=0、4=1時(shí)，系統(tǒng)輸入為/?(f)=0.5f2求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

CG)

R(s)s'+2s*+4Kps+47；

(2)特征方程『+2s+4=0(y?

=2，=0.5a%=16.5%tp=1.81sec

4

(3)開環(huán)傳遞函數(shù)為\($_、)

r(r)=0.5產(chǎn)、=2穩(wěn)態(tài)深芥e（8）=—=—=0.5

Ka2

4.已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如試圖所示，試求

(1)無虛線所畫的前饋控制時(shí)，求傳遞函數(shù)C(s)/N(s)；

(2)設(shè)〃。)階越變化△(設(shè)為定值)，求C(s)的穩(wěn)態(tài)變化；

(3)若加一增益等于的前饋控制，如試圖中虛線所示，求C(s)/N(s),并求N(s)對C(s)

穩(wěn)態(tài)值影響最小時(shí)K的最適值。

解:

(1)無虛線所畫的前饋控制時(shí)

1

C(s)gs+1s+5

A_1+」__2_x10_r+65+25

s+1s+5

(2)〃⑴階越變化△時(shí)，C(s)的穩(wěn)態(tài)變化即為擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的終值

4n=limsJ(s),〃(，)=△,N(s)==-

s->0s

4(S)=N(S)*=4---產(chǎn)——=

s1+-1--2_xlOS(5-+6S+25)

s+1s+5

t=liniSER(s)=hms——］仃一〉——=-=7-

3->0$->0s(s、6s+25)5

⑶加?增益等于M的前饋控制

2

、ERA#-i-1--2-xio^r

C(s)_I=s-ls+ls+5S+5-20K

N(s)一A"-1--1-xlOJ+6s+25

5+1$+5

當(dāng)擾動(dòng)穩(wěn)態(tài)誤差的終值G最小時(shí),N(s"寸C(s)穩(wěn)態(tài)值影響最小

ylmsj(s)=l皿"+5一2。用「(5-2?！?

-^0工*5(廠+6s+25)25

令心=0=5-20式=0即K=0.25

5.控制系統(tǒng)的方框圖如下圖所示:

C(s)

?空―

RG)

1)希望閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)位于s平面上s=-2直線的左側(cè)，并且阻尼比：N0.5。試在s平

面

上畫出閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布范圍（用陰影線表示）