12.3角平分線的判定溫故知新1、快速用尺規(guī)作一個(gè)已知角的平分線.2、角平分線的性質(zhì):角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等A用符號(hào)語言表述：D∵

OC是∠AOB的平分線12POCPD⊥OA，PE⊥OB∴

PD＝PEEB角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。幾何語言：∵

OC平分∠AOB，且PD⊥OA，

PE⊥OB∴

PD=PEAP到OA的距離DC角平分線上的點(diǎn)PP到OB的距離不必再證全等OBE反過來，到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)是否一定在這個(gè)角的平分線上呢？已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，PD＝PE．求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上已知：如圖,PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，PD＝PE．求證：點(diǎn)P在∠AOB的平分線上．證明:

經(jīng)過點(diǎn)P作射線OC∵

PD⊥OA，PE⊥OBC

∴

∠PDO＝∠PEO＝90°在Rt△PDO和Rt△PEO中

PO＝POPD=PE∴

Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）

∴

∠

POD＝∠POE∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上角平分線性質(zhì)的逆定理（角平分線的判定）角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。用數(shù)學(xué)語言表示為：∵

PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE．C∴OP平分∠AOB．角的平分線的性質(zhì)

角的平分線的判定CC圖形PPOP平分∠AOBPD=PE已知條件PD⊥OA于D

PD⊥OA于DPE⊥OB于E

PE⊥OB于E結(jié)論P(yáng)D=PEOP平分∠AOB思考

如圖，要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng)，使它到鐵路和公路距離相等，離公路與鐵路交叉處500米，這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處？（比例尺為1︰

20000）解：作角的角平分OC，截取OD=2.5cm,D即所求。DSC如，△ABC的角平分BM，CN相交于點(diǎn)P。求：點(diǎn)P到三AB、BC、CA的距離相等ADFNPM證明：過點(diǎn)P作PD⊥AB于D，結(jié)論：三角形的三條角平分線交于BPE⊥BC于E，PF⊥AC于F，CE一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，.想一想，點(diǎn)P在∠A的平分線∴PD＝PE=PF.上嗎？這說明三角形的三條角平分∴PD=PE.

同理，PE=PF.即點(diǎn)P到三邊AB、BC、CA的距離相等.線有什么關(guān)系？課堂練習(xí)

如，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分相交于點(diǎn)F，求：點(diǎn)F在∠DAE的平分上．證明：過點(diǎn)F作FG⊥AE于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M，∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上，G

FG⊥AE，

FM⊥BC，∴FG=FM.M又∵點(diǎn)F在∠CBD平分線上，

FH⊥AD，

FM⊥BC.∴FM=FH.H∴FG=FH，∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.

課堂練習(xí)如圖,

直線l

、l

、l

表示三123條互相交叉的公路,

現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站

,

要求它到三條公路的距離相等

,可選擇的地址有幾處?畫出它的位置.P2l1P1P4P3l2l3課堂練習(xí)如，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分是E、F，且BE＝CF。求：AD是△ABC的角平分AEFCBD課堂練習(xí)在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，

DF⊥AC，下面出三個(gè)(1)DA平分∠EDF;(2)AE=AF;(3)AD上的點(diǎn)到B、C兩點(diǎn)的距離相等，其中正確的有(

)AEFCBD課堂練習(xí)已知：如圖,在△ABC中，BD＝CD,∠1=∠2.求證：AD平分∠BACAFE12DBC課堂練習(xí)已知:BD⊥AC于點(diǎn)D,CE⊥AB于點(diǎn)E,BD,CE交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在∠A的平分線上.CDFE

BA1、角平分線的判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。2、三角形角平分線的交點(diǎn)性質(zhì)：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)。3、角的平分線的輔助線作法：見角平分線就作兩邊垂線段。課堂練習(xí)如，BE⊥AC于E，

CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，

BD=CD

。

B求：

AD平分∠BACFADE