【創(chuàng)新方案】2013年高考數學一輪復習第二篇函數與基本初等函數Ⅰ第9講函數的應用教案理新人教版

第9講函數的應用

【2013年高考會這樣考】

1．考查二次函數模型的建立及最值問題．

2．考查分段函數模型的建立及最值問題．

3．考查指數、對數、冪函數、“對勾”型函數模型的建立及最值問題．

【復習指導】

函數模型的實際應用問題，主要抓好常見函數模型的訓練，解答應用問題的重點在信息整理與建模上，建模后利用函數知識分析解決問題．

基礎梳理

1．常見的函數模型及性質

(1)幾類函數模型

①一次函數模型：y＝kx＋b(k≠0)．

②二次函數模型：y＝ax＋bx＋c(a≠0)．

③指數函數型模型：y＝ab＋c(b＞0，b≠1)．

④對數函數型模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1)．

⑤冪函數型模型：y＝ax＋b.

(2)三種函數模型的性質

nx2

一個防范特別關注實際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數的定義域．

四個步驟

(1)審題：深刻理解題意，分清條件和結論，理順其中的數量關系，把握其中的數學本質；

(2)建模：由題設中的數量關系，建立相應的數學模型，將實際問題轉化為數學問題；1

(3)解模：用數學知識和方法解決轉化出的數學問題；

(4)還原：回到題目本身，檢驗結果的實際意義，給出結論．

雙基自測

1．(人教A版教材習題改編)從1999年11月1日起，全國儲蓄存款征收利息稅，利息稅的稅率為20%，由各銀行儲蓄點代扣代收，某人2011年6月1日存入若干萬元人民幣，年利率為2%，到2012年6月1日取款時被銀行扣除利息稅138.64元，則該存款人的本金介于

()．

A．3～4萬元

C．5～6萬元B．4～5萬元D．2～3萬元

1386400解析設存入的本金為x，則x·2%·20%＝138.64，∴x＝＝34660.40

答案A

2．(2012·新鄉(xiāng)月考)某產品的總成本y(萬元)與產量x(臺)之間的函數關系是y＝3000＋20x－0.1x(0＜x＜240，x∈N)，若每臺產品的售價為25萬元，則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是()．

A．100臺B．120臺C．150臺D．180臺

解析設利潤為f(x)(萬元)，則f(x)＝25x－(3000＋20x－0.1x)＝0.1x＋5x－3000≥0，∴x≥150.

答案C

3．有一批材料可以圍成200米長的圍墻，現用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場地(如圖)，且內部用此材料隔成三個面積相等的矩形，則圍成的矩形場地的最大面積為()．

222*

A．1000米

C．2500米22B．2000米D．3000米22

解析設三個面積相等的矩形的長、寬分別為x米、y米，如圖，則4x＋3y＝200，又矩形

200－4x2場地的面積S＝3xy＝3x·＝x(200－4x)＝－4(x－25)＋2500，∴當x＝25時，Smax3

＝

2500.

答案C

4．(2011·湖北)里氏震級M的計算公式為：M＝lgA－lgA0，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，A0是相應的標準地震的振幅．假設在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時標準地震的振幅為0.001，則此次地震的震級為__________級；9級地震的2

最大振幅是5級地震最大振幅的________倍．

解析由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震級為6級．因為標準地震的振幅為0.001，設9級地震最大振幅為A9，則lgA9－lg0.001＝9解得A9＝10，同理5級地震最大振幅A5＝10，所以9級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的10000倍．

答案610000

5．(2012·東三校聯考)為了保證信息安全，傳輸必須使用加密方式，有一種方式其加密、解密原理如下：

加密發(fā)送解密明文――→密文――→密文――→明文

已知加密為y＝a－2(x為明文，y為密文)，如果明文“3”通過加密后得到密文為“6”，再發(fā)送，接受方通過解密得到明文“3”，若接受方接到密文為“14”，則原發(fā)的明文是________．

解析依題意y＝a－2中，當x＝3時，y＝6，故6＝a－2，解得a＝2.所以加密為y＝2－2，因此，當y＝14時，由14＝2－2，解得x＝4.

答案4

xx326xx

考向一一次函數、二次函數函數模型的應用

【例1】?(2011·武漢調研)在經濟學中，函數f(x)的邊際函數Mf(x)定義為：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生產x臺某種產品的收入為R(x)元，成本為C(x)元，且R(x)＝3000x－20x，C(x)＝500x＋4000(x∈N)．現已知該公司每月生產該產品不超過100臺．

(1)求利潤函數P(x)以及它的邊際利潤函數MP(x)；

(2)求利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差．

[審題視點]列出函數解析式，根據函數性質求最值．

解(1)由題意，得x∈[1,100]，且x∈N.*2*

P(x)＝R(x)－C(x)

＝(3000x－20x)－(500x＋4000)

＝－20x＋2500x－4000，22

MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000]－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x.

1252(2)P(x)＝－20x－＋74125，2

當x＝62或x＝63時，P(x)取得最大值74120元；

因為MP(x)＝2480－40x是減函數，

所以當x＝1時，MP(x)取得最大值2440元．

3

故利潤函數的最大值與邊際利潤函數的最大值之差為71680元

.

二次函數是我們比較熟悉的基本函數，建立二次函數模型可以求出函數的最值，

解決實際中的最優(yōu)化問題，值得注意的是：一定要注意自變量的取值范圍，根據圖象的對稱軸與定義域在數軸上表示的區(qū)間之間的位置關系討論求解．

【訓練1】經市場調查，某種商品在過去50天的銷售量和價格均為銷售時間t(天)的函數，1且銷售量近似地滿足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天價格為g(t)＝t＋

230(1≤t≤30，t∈N)，后20天價格為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．(1)寫出該種商品的日銷售額S與時間t的函數關系；(2)求日銷售額S的最大值．解(1)根據題意，得

1－2t＋2002＋30，1≤t≤30，t∈N，S＝

45－2t＋200，31≤t≤50，t∈N

－t＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，＝

－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N.

2

(2)①當1≤t≤30，t∈N時，

S＝－(t－20)2＋6400，

∴當t＝20時，S的最大值為6400；②當31≤t≤50，t∈N時，

S＝－90t＋9000為減函數，

∴當t＝31時，S的最大值為6210.∵6210＜6400，

∴當t＝20時，日銷售額S有最大值6400.

考向二指數函數模型的應用

【例2】?某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線．(1)寫出第一次服藥后y與t之間的函數關系式y＝f(t)；

(2)據進一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療有效．求服藥一次后治療有效的時間是多長？

[審題視點]根據圖象用待定系數法求出函數解析式，再分段求出時間長．

kt，0≤t≤1，

解(1)設y＝1t－a

，t＞1.2

當t＝1時，由y＝4得k＝4，

4t，0≤t≤1，11－a

由＝4得．a＝3.則y＝1t－3

2，t>1.2

0≤t≤1，(2)由y≥0.25得

4t≥0.25，

t＞1，

或1t－3

≥0.25.2

1

解得≤t≤5，

16

179

因此服藥一次后治療有效的時間是5－

1616

可根據圖象利用待定系數法確定函數解析式，然后把實際問題轉化為解不等式

問題進行求解．

【訓練2】某城市現有人口總數為100萬人，如果年自然增長率為1.2%，試解答以下問題：(1)寫出該城市人口總數y(萬人)與年份x(年)的函數關系式；(2)計算10年以后該城市人口總數(精確到0.1萬人)；

(3)計算大約多少年以后，該城市人口將達到120萬人(精確到1年)；

(4)如果20年后該城市人口總數不超過120萬人，年自然增長率應該控制在多少？(參考數據：1.012≈1.113,1.012≈1.127，lg1.2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005，lg1.009≈0.0039)

解(1)1年后該城市人口總數為

9

10

y＝100＋100×1.2%＝100×(1＋1.2%)

2年后該城市人口總數為

y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋1.2%)×1.2%

＝100×(1＋1.2%).3年后該城市人口總數為

2

y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋1.2%)2×1.2%

＝100×(1＋1.2%).

3

x年后該城市人口總數為y＝100×(1＋1.2%)x.

(2)10年后，人口總數為100×(1＋1.2%)≈112.7(萬人)．(3)設x年后該城市人口將達到120萬人，即100×(1＋1.2%)＝120，

x

10

x＝log1.012

120

log1.0121.20≈16(年)．100

20

20

(4)由100×(1＋x%)≤120，得(1＋x%)≤1.2，兩邊取對數得20lg(1＋x%)≤lg1.2＝0.079，0.079所以lg(1＋x＝0.00395，

20所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9，即年自然增長率應該控制在0.9%.

考向三函數y＝x

【例3】?(2010·湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關系：

ax

C(x)＝

k

x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設f(x)為隔熱層建3x＋5

造費用與20年的能源消耗費用之和．(1)求k的值及f(x)的表達式；

(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值．[審題視點]用基本不等式求最值，注意等號成立的條件．解(1)由已知條件C(0)＝8則k＝40，

800

因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10)．

3x＋5800

(2)f(x)＝6x＋10－10

3x＋5≥2

6x＋10800

－10＝70(萬元)，3x＋5

800

當且僅當6x＋10＝即x＝5時等號成立．

3x＋5

所以當隔熱層為5cm時，總費用f(x)達到最小值，最小值為70萬元．

求函數解析式同時要注意確定函數的定義域，對于y＝x＋(a>0)類型的函數最值

問題，特別要注意定義域問題，可考慮用均值不等式求最值，否則要考慮使用函數的單調性．【訓練3】某村計劃建造一個室內面積為800m的矩形蔬菜溫室，在溫室內，沿左、右兩側與后側內墻各保留1m寬的通道，沿前側內墻保留3m寬的空地，當矩形溫室的邊長各為多少時，蔬菜的種植面積最大？最大面積是多少？800

解設溫室的左側邊長為xm，則后側邊長為2

ax

x

∴蔬菜種植面積

y＝(x－4)

8002＝808－2x＋1600(4<x<400)．

xx

x·

1600

80，

1600∵x＋xx

∴y≤808－2×80＝648(m).1600當且僅當x＝，即x＝40，

2

x

8002

此時＝20m，y最大＝648(m)．

x

∴當矩形溫室的左側邊長為40m，后側邊長為20m

時，蔬菜的種植面積最大，為648m.

2

規(guī)范解答5——應用題中的函數建模問題

(【問題研究】解決應用問題的關鍵是建立恰當的函數模型，因此，首先要熟悉和掌握幾類常用的函數模型.求解中容易在以下兩個地方出現失誤：,1列函數關系式時，會出現由

于理不清楚各個量之間的關系，而導致列出錯誤的關系式.這一點在求解應用題時是常出現的錯誤；,2列出解析式，在求最優(yōu)解的過程中，由于方法使用不當而出現求解上的錯誤.,【解決方案】1閱讀理解，審清題意.讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字敘述，理解敘述部分所反映的實際背景，在此基礎上，分析出已知是什么，求什么，從中提煉出相應的數學問題.,2根據所給模型，列出函數關系式.根據已知條件和數量關系，建立函數關系式，在此基礎上將實際問題轉化為一個函數問題.,3利用數學的方法將得到的常規(guī)函

數問題即數學模型予以解答，并求得結果.,4將所得結果代入原問題中，對具體問題進行解答.)

【示例】?(本題滿分12分)(2011·湖北)提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數．(1)當0≤x≤200時，求函數v(x)的表達式；

(2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確