（優(yōu)選）非線性系統(tǒng)線性化ppt講解現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三CompanyLogo條件苛刻，計(jì)算復(fù)雜基本思想：一階近似適用于工作點(diǎn)范圍不大情況基本思想：通過(guò)坐標(biāo)變換把強(qiáng)非線性系統(tǒng)變換成弱非線性系統(tǒng)或通過(guò)狀態(tài)反饋以保持線性系統(tǒng)的部分特點(diǎn)。傳統(tǒng)近似線性化精確線性化非線性系統(tǒng)線性化方法現(xiàn)代近似線性化現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三近似線性化傳統(tǒng)近似線性化最小二乘法泰勒展開傅里葉級(jí)數(shù)展開誤差最小忽略高階項(xiàng)忽略高次諧波雅可比矩陣忽略高階項(xiàng)傳統(tǒng)近似線性化方法現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三非線性系統(tǒng)反饋線性化_主要內(nèi)容4.0緒論4.1基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法4.2單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)線性定常系統(tǒng)設(shè)計(jì)—閉環(huán)極點(diǎn)配置一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計(jì)：逆系統(tǒng)方法4.3反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型輸入—狀態(tài)線性化輸入—輸出線性化線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)4.4數(shù)學(xué)知識(shí)微分同胚與狀態(tài)變換弗羅貝尼斯定理4.5非線性系統(tǒng)反饋線性化單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—狀態(tài)線性化單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—輸出線性化多輸入—多輸出系統(tǒng)的反饋線性化4.6近似線性化方法現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論

非線性系統(tǒng)的反饋線性化是近年來(lái)引起人們極大興趣的一種非線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。這種方法的思路是通過(guò)狀態(tài)或輸出的反饋，將一個(gè)非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性變成（全部或部分）線性的動(dòng)態(tài)特性，從而可以應(yīng)用熟知的線性控制的方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)與控制。反饋線性化通過(guò)嚴(yán)格的狀態(tài)變換與反饋?zhàn)儞Q來(lái)達(dá)到，線性化過(guò)程中沒有忽略任何高階非線性項(xiàng)，因而這種線性化是精確的。

目前反饋線性化的方法主要有兩種：1）精確線性化方法(exactlinearizationmethod)，如微分幾何方法，隱函數(shù)方法和逆系統(tǒng)方法等；2）基于參考模型的漸近線性化方法，如模型參考方法及模型參考自適應(yīng)方法等。而確切地說(shuō)，這兩種線性化方法都是模型參考方法，不過(guò)前者可稱為隱含模型參考方法（implicitmodelreferenceapproach），而后者為實(shí)際模型參考方法（realmodelrefernceapproach）。

精確線性化方法中，微分幾何方法和逆系統(tǒng)方法已形成各自的理論體系并在許多領(lǐng)域得到成功的應(yīng)用。相比之下基于隱函數(shù)方法的直接線性化方法由于其可應(yīng)用的范圍較窄，理論上又難以深入，被研究得要少得多?，F(xiàn)在是5頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

在非線性系統(tǒng)的模型參考方法中，基于李亞普諾夫直接方法的非線性系統(tǒng)反饋線性化方法是最重要和最有效的一種設(shè)計(jì)方法，這類方法稱為非線性系統(tǒng)反饋線性化的直接方法。

運(yùn)用控制系統(tǒng)動(dòng)平衡狀態(tài)的概念，提出一種建立在控制系統(tǒng)動(dòng)平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定概念上的新的設(shè)計(jì)方法。本方法認(rèn)為：控制系統(tǒng)的輸入直接控制的是系統(tǒng)的動(dòng)平衡狀態(tài)。系統(tǒng)的輸出和狀態(tài)是在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束下運(yùn)動(dòng)的。當(dāng)系統(tǒng)對(duì)其平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定時(shí)，其狀態(tài)將在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)約束下漸近收斂于系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。當(dāng)其平衡狀態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)亦將跟蹤其平衡狀態(tài)運(yùn)動(dòng)。因此控制系統(tǒng)平衡狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)，即可實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及輸出的控制。

模型參考方法在跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中是一種十分有效的方法。這一方法不僅在相對(duì)復(fù)雜的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)中得到應(yīng)用，即使在線性定常系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中同樣也得到大量的應(yīng)用。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論現(xiàn)在是6頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三按上述思想，提出如下的基于平衡狀態(tài)控制原理的非線性控制系統(tǒng)反饋線性化的直接方法：（1）按系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能要求設(shè)計(jì)一滿足希望特性的線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)作為模型參考系統(tǒng)。（2）以模型參考系統(tǒng)的狀態(tài)作為實(shí)際被控系統(tǒng)的被控平衡狀態(tài)。利用李亞普諾夫直接方法設(shè)計(jì)控制律使系統(tǒng)對(duì)動(dòng)平衡狀態(tài)漸進(jìn)穩(wěn)定。從而被控系統(tǒng)近似具有模型參考系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)的反饋線性化。

為此，控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)可分為兩步：首先，設(shè)計(jì)控制律使系統(tǒng)的平衡狀態(tài)按預(yù)定的方式運(yùn)動(dòng)。然后，按某一指標(biāo)設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使其狀態(tài)按最佳方式向平衡狀態(tài)收斂，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)狀態(tài)的控制。這一方法很好地解決了將僅適用于自由動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)的李亞普諾夫直接方法應(yīng)用于跟蹤控制問(wèn)題所帶來(lái)的理論沖突，將穩(wěn)定性問(wèn)題（調(diào)節(jié)問(wèn)題）與跟蹤問(wèn)題統(tǒng)一起來(lái)。為控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)提供了一條新的思路。非線性系統(tǒng)反饋線性化緒論現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三其中，

為狀態(tài)向量，

為控制向量，為向量函數(shù)。

其中

為狀態(tài)向量，

為控制向量，,

為常數(shù)矩陣，并且的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。則下述基于李雅普諾夫第二方法的設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)

對(duì)的漸近跟蹤，從而實(shí)現(xiàn)非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的線性化?；趧?dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法按上述方法，基本設(shè)計(jì)過(guò)程如下：考慮一般的非線性系統(tǒng)（1.1）設(shè)希望的線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性為（1.2）令狀態(tài)偏差為，則有

由式（1.1）和式（1.2）可得系統(tǒng)的狀態(tài)偏差方程為：（1.3）現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三其中

，且。則有的導(dǎo)數(shù)為：（1.5）

其中

，為標(biāo)量函數(shù)。基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù)（1.4）

因?yàn)楫?dāng)狀態(tài)偏差的歐幾里德范數(shù)時(shí)，，平衡狀態(tài)

是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的。從而有時(shí)，

。由上面的分析可直接給出如下定理：

定理1.1給定非線性時(shí)變系統(tǒng)（1.1）及模型參考系統(tǒng)（1.2）。設(shè)穩(wěn)定，是模型參考自由系統(tǒng)（對(duì)應(yīng)于）在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)。那么，若存在控制

使

由于的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，因此可找到正定矩陣

，使為一負(fù)定矩陣。若能選取控制向量（

為可能用到的

的各階導(dǎo)數(shù)），使

，則

為李雅普諾夫函數(shù)?，F(xiàn)在是9頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

若能選擇

使

在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時(shí)反饋線性化的魯棒性。若選取的

使，則稱非線性系統(tǒng)（1.1）被精確線性化。我們可給出定理1.1更一般的情況如下：基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法

（1.6）則偏差系統(tǒng)（1.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。證明：因?yàn)槭瞧钭杂上到y(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)，因此有

負(fù)定。

定理1.2考慮狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.3）。設(shè)其對(duì)應(yīng)的自由動(dòng)態(tài)系統(tǒng)在平衡狀態(tài)大范圍一致漸近穩(wěn)定，是自由系統(tǒng)在平衡狀態(tài)的李雅普諾夫函數(shù)。如果控制策略使

（1.7）則被控的狀態(tài)偏差系統(tǒng)（1.3）是大范圍一致漸近穩(wěn)定?，F(xiàn)在是10頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三基于動(dòng)平衡狀態(tài)理論的非線性系統(tǒng)反饋線性化直接方法將作為偏差控制系統(tǒng)（1.3）的可能的李亞普諾夫函數(shù)，有

由于上式右端第一項(xiàng)負(fù)定，顯然若式（1.7）成立，則負(fù)定。式（1.3）的被控狀態(tài)偏差系統(tǒng)大范圍一致漸近穩(wěn)定。

非線性系統(tǒng)的反饋線性化，確切地說(shuō)還可以分為輸入--狀態(tài)線性化和輸入--輸出線性化。對(duì)調(diào)節(jié)問(wèn)題（穩(wěn)定性問(wèn)題）采用輸入--狀態(tài)線性化通常即可滿足要求對(duì)系統(tǒng)的調(diào)節(jié)要求；但對(duì)跟蹤問(wèn)題通常必須采用輸入--輸出線性化設(shè)計(jì)才能滿足對(duì)系統(tǒng)的性能要求?，F(xiàn)在是11頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)設(shè)系統(tǒng)由下述微分方程表示（2.1）

其中為輸入，為輸出。取輸出及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，方程（2.1）可表示為如下的狀態(tài)空間表達(dá)形式：（2.1a）簡(jiǎn)記為（2.1b）現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)

其中為狀態(tài)向量，表示控制及其前m階導(dǎo)數(shù)。設(shè)上述系統(tǒng)的希望動(dòng)態(tài)特性可用下述線性定常模型系統(tǒng)表示：

（2.2）

其中為希望輸出，為模型的輸入，，為常數(shù)。同樣取及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，可得其對(duì)應(yīng)的可控型狀態(tài)空間表達(dá)式為：（2.2a）

其中為模型的狀態(tài)向量；，，為常數(shù)?，F(xiàn)在是13頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)

根據(jù)動(dòng)平衡狀態(tài)理論，我們可以將作為被控系統(tǒng)的動(dòng)平衡狀態(tài)，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制律，使所構(gòu)成的控制系統(tǒng)中被控狀態(tài)對(duì)動(dòng)平衡狀態(tài)在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定。從而實(shí)現(xiàn)對(duì)，亦即對(duì)的漸近逼近，使被控系統(tǒng)具有所希望的動(dòng)態(tài)特性。實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的一個(gè)直接方法便是利用李雅普諾夫第二方法。為此，以為動(dòng)平衡狀態(tài)，定義誤差向量（2.3）由式（2.1a）及式（2.2a）可得（2.4）取狀態(tài)偏差的二次型函數(shù)（2.5）其中

，且。則有的導(dǎo)數(shù)為：（2.6）現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)

其中：（2.7）（2.8）為標(biāo)量函數(shù)。

由于系統(tǒng)（2.1a）和系統(tǒng)（2.2a）均為可控型，的確定可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化。由式（2.8）我們有：（2.9）

其中：（2.10）（2.11）現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三單變量輸入輸出反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)

，為標(biāo)量，以后的計(jì)算中，只需根據(jù)式（2.10）和（2.11）便可確定控制規(guī)律。

因?yàn)楫?dāng)狀態(tài)偏差的歐幾里德范數(shù)時(shí)，，平衡狀態(tài)

是在大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定的，即為控制系統(tǒng)的大范圍漸近穩(wěn)定的動(dòng)平衡狀態(tài)。從而有時(shí)，

。由上面的分析可直接給出如下定理：

定理2.1

給定非線性時(shí)變系統(tǒng)（2.1）及模型參考系統(tǒng)（2.2）。設(shè)穩(wěn)定，為模型參考自由系統(tǒng)（）在原點(diǎn)平衡狀態(tài)的李亞普諾夫函數(shù)。那么，若存在控制使則偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時(shí)變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。

若能選擇

使

在所考慮的系統(tǒng)參數(shù)變化范圍內(nèi)非正，則可保證系統(tǒng)具有參數(shù)不確定時(shí)反饋線性化的魯棒性。在這一方法中，若令，即可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的精確線性化。若非線性系統(tǒng)是仿射非線性的，則其結(jié)果同微分幾何方法?，F(xiàn)在是16頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)考慮仿射非線性系統(tǒng)（2.12）

選取及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，可將其轉(zhuǎn)換為式（2.1）形式的狀態(tài)空間表達(dá)式，且其中（2.13）（2.14）

由定理2.1，令，可實(shí)現(xiàn)仿射非線性系統(tǒng)的精確線性化。由式（2.14）得精確線性化得控制策略為（2.15）1.精確線性化2.魯棒線性化設(shè)計(jì)現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)（1）設(shè)仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性

（2.16）其中，則控制策略

（2.17）將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明：將代入整理后有

由式（2.9）有：

由定理2.1，偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時(shí)變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出。（2）設(shè)仿射非線性系統(tǒng)具有不確定性

（2.18）現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三仿射非線性系統(tǒng)輸入輸出線性化及魯棒設(shè)計(jì)其中，。不失一般性，設(shè)則控制策略（2.19）將使系統(tǒng)魯棒線性化。證明：將代入整理后有由式（2.9）有：

由定理2.1，偏差系統(tǒng)（2.3）的原點(diǎn)平衡狀態(tài)是大范圍一致漸近穩(wěn)定的。非線性時(shí)變系統(tǒng)的輸出漸近跟蹤參考模型的輸出?，F(xiàn)在是19頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)考慮變系數(shù)線性系統(tǒng)

（2.20）對(duì)照式（2.1b）有（2.21）根據(jù)式（2.9）-（2.11），在保證非正（即非正）的前提下，至少有如下幾種選擇方式。1.精確抵消法選擇使，即。這時(shí)可取（2.22）現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)此時(shí)李雅普諾夫函數(shù)，，其中，。系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程直接由式（2.2）所示。2.非精確抵消法由式（2.9）-（2.11），我們有

（2.23）設(shè)不變號(hào)，?。?.24）

由于要使為李亞普諾夫函數(shù)，只需非正，這就為本方法中的選擇帶來(lái)了極大的便利，最簡(jiǎn)單直接的方法就是取絕對(duì)值加符號(hào)函數(shù)方法?，F(xiàn)在是21頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)代入式（2.23），并考慮到對(duì)任意函數(shù)有，我們有可見按式（2.24）確定的保證了為李雅普諾夫函數(shù)。3.魯棒控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三線性時(shí)變系統(tǒng)反饋線性化直接方法及魯棒設(shè)計(jì)

在上述非精確抵消方法中，如果可預(yù)先確定系統(tǒng)各參數(shù)取值的絕對(duì)值的最大值，則下述按參數(shù)絕對(duì)值最大值選取的控制律，不僅能保證為李雅普諾夫函數(shù)，同時(shí)還將使系統(tǒng)對(duì)區(qū)間內(nèi)變化的參數(shù)具有魯棒性。在式（2.24）中，除外，取各參數(shù)絕對(duì)值的最大值，有

（2.25）

其中，。

顯然，如果我們選擇，。則將使系統(tǒng)的魯棒性進(jìn)一步增加，同時(shí)還可使的收斂速度加快?，F(xiàn)在是23頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三線性定常系統(tǒng)設(shè)計(jì)—閉環(huán)極點(diǎn)配置考慮線性定常系統(tǒng)

（2.26）對(duì)照式（2.1b）有（2.27）設(shè)系統(tǒng)的希望動(dòng)態(tài)特性如式（2.2）所示。則由式（2.11）有

（2.28）其中（2.29）現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三線性定常系統(tǒng)設(shè)計(jì)—閉環(huán)極點(diǎn)配置

令，即。則有，為李亞普諾夫函數(shù)，其中，。當(dāng)，將有。這時(shí)由式（3.29）可解出（2.30）其中，。

這一結(jié)果同狀態(tài)反饋極點(diǎn)配置方法的結(jié)果是一致的。相當(dāng)于利用線性狀態(tài)反饋將原系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到了希望系統(tǒng)的極點(diǎn)位置。其具體實(shí)現(xiàn)形式為：

現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計(jì)：逆系統(tǒng)方法考慮非線性系統(tǒng)

（2.31）

將上式作為代數(shù)方程來(lái)看，如果從中可解出的顯式表示

（2.33）則式（2.33）即為系統(tǒng)（2.31）的逆系統(tǒng)。

選取及其前n-1階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，用表示及其前m階導(dǎo)數(shù)，則上式可記為

（2.32）

在方程（2.33）中，記，則得到系統(tǒng)（2.33）的n階積分逆系統(tǒng)，由下式表示：（2.34）現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三一般非線性系統(tǒng)的直接反饋線性化設(shè)計(jì)：逆系統(tǒng)方法將

代入可得：（2.35）

令，可得精確線性化控制策略為

（2.33）現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型

最簡(jiǎn)單形式的反饋線性化是將非線性系統(tǒng)中的非線性抵消掉，使閉環(huán)動(dòng)態(tài)特性變成線性形式。例3.1控制水箱液面高度考慮將水箱中液面的高度h，控制在指定的高度，控制輸入是進(jìn)入水箱的液體流量u，初始高度為。

其中是水箱的橫截面積，a是出水管的橫截面積。如果初始高度與期望高度相差懸殊，h的控制就是一個(gè)非線性調(diào)節(jié)問(wèn)題。動(dòng)態(tài)方程式（3.1）可重寫為:水箱的動(dòng)態(tài)模型為（3.1）現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型

若選為（3.2）式中

為待求的“等效輸入”，則得到線性的動(dòng)態(tài)方程選取為（3.3）其中為液面高度誤差，a為一嚴(yán)格正常數(shù)，則得到閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程為：（3.4）這說(shuō)明當(dāng)時(shí)，。根據(jù)式（3.2）和式（3.3），實(shí)際的輸入流量由下列非線性控制律確定：（3.5）式（3.5）中，右端第一項(xiàng)用來(lái)提供輸出流量，第二項(xiàng)則是用來(lái)根據(jù)期望的線性動(dòng)態(tài)特性式（3.4）去改變液面高度?，F(xiàn)在是29頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型

類似地，如果期望高度是一個(gè)已知的時(shí)變函數(shù)，則等效輸入

可選為：

從而仍得到時(shí)的結(jié)果。

反饋線性化的想法，即抵消非線性并施加一個(gè)期望的線性動(dòng)態(tài)特性，可以直接應(yīng)用于一類由所謂伴隨型或能控標(biāo)準(zhǔn)形所描述的非線性系統(tǒng)。

所謂一個(gè)系統(tǒng)是伴隨型的，是指其動(dòng)態(tài)方程可以表示為（3.6）其中u是標(biāo)量控制輸入，x是所關(guān)注的標(biāo)量輸出，而是狀態(tài)矢量，與是狀態(tài)的非線性函數(shù)。這種形式的特點(diǎn)是盡管方程中出現(xiàn)x的各階導(dǎo)數(shù)，但是不出現(xiàn)輸入u的導(dǎo)數(shù)。若用狀態(tài)空間表示，式（3.6）可寫為：現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

可以表示為這種能控標(biāo)準(zhǔn)形的系統(tǒng)，若使用控制輸入（假定不為零）（3.7）就能抵消掉非線性特性而獲得一個(gè)簡(jiǎn)單的輸入—輸出關(guān)系（多重積分形式）因此控制可選為其中選擇使得多項(xiàng)式的所有根均嚴(yán)格位于左半平面從而導(dǎo)致指數(shù)穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)特性反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

即。對(duì)于跟蹤期望軌跡的任務(wù)，控制律可選為：（3.8）其中為跟蹤誤差，該控制律導(dǎo)致指數(shù)收斂跟蹤。若標(biāo)量x換成矢量，標(biāo)量b換成可逆方陣，亦可獲得類似的結(jié)果。在式（3.6）中曾假定動(dòng)態(tài)方程對(duì)于控制輸入是線性的（但對(duì)狀態(tài)是非線性的），然而這一方法不能推廣到把u換成一個(gè)可逆函數(shù)的情形。例如，通過(guò)閥門控制流量的系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)特性可能是依賴于而不是直接依賴于u，這里u是閥門開啟的直徑。這時(shí)只要定義，即可以容易地根據(jù)上述步驟首先設(shè)計(jì)出，然后利用來(lái)計(jì)算輸入u。這種方法實(shí)際上避免了在控制計(jì)算中出現(xiàn)非線性。當(dāng)非線性動(dòng)態(tài)方程不是能控標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)，可以首先利用代數(shù)變換將方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)形，然后再使用上述的反饋線性化設(shè)計(jì)，或者借助于原動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的部分線性化，而不要求總體的線性化。

反饋線性化與標(biāo)準(zhǔn)型現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

考慮單輸入非線性系統(tǒng)中控制輸入的設(shè)計(jì)問(wèn)題。輸入-狀態(tài)線性化方法通過(guò)兩步來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。首先找出一個(gè)狀態(tài)變換與一個(gè)輸入變換使非線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程化成一個(gè)等效的線性定常系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程，并表示成熟知的形式。其次，再利用標(biāo)準(zhǔn)的線性控制方法（例如極點(diǎn)配置）來(lái)設(shè)計(jì)。以一個(gè)簡(jiǎn)單的二階系統(tǒng)為例來(lái)說(shuō)明這個(gè)方法?？紤]系統(tǒng)（3.9）雖然線性控制設(shè)計(jì)也能使這個(gè)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)（0,0）附近的一個(gè)小范圍內(nèi)穩(wěn)定，然而采用什么控制器能使它在更大的范圍內(nèi)穩(wěn)定卻不是一目了然的。尤其是方程中的非線性更增加了控制上的困難，因?yàn)樗荒苤苯佑每刂戚斎雭?lái)抵消。輸入—狀態(tài)線性化現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

如果考慮一組新的狀態(tài)變量（3.10）則新的狀態(tài)方程為（3.11）可以看到，新的狀態(tài)方程平衡點(diǎn)依然為（0,0）。同時(shí)可以看出，下列控制律

（3.12）可用來(lái)抵消上式中的非線性。其中

是待設(shè)計(jì)的等效輸入，于是可得到線性的輸入—狀態(tài)關(guān)系為（3.13）輸入—狀態(tài)線性化現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

因此，通過(guò)狀態(tài)變換式（3.10）和輸入變換式（3.12），就將用原來(lái)的輸入去穩(wěn)定原來(lái)的非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式（3.9）這樣一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成了用新的輸入去穩(wěn)定新的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)式（3.13）的問(wèn)題。由于新的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性和能控的，采用熟知的線性狀態(tài)反饋控制律并適當(dāng)選擇反饋增益，就能對(duì)極點(diǎn)任意地進(jìn)行配置。例如可以選擇（3.14）而得到穩(wěn)定的閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)它的兩個(gè)極點(diǎn)都在-2處。輸入—狀態(tài)線性化現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

用原來(lái)的狀態(tài)和表示，與此控制律相應(yīng)的原控制輸入為

（3.15）原來(lái)的狀態(tài)由給出為（3.16）由于和

兩者均收斂于零，故原來(lái)的狀態(tài)亦收斂于零。輸入—狀態(tài)線性化

采用上述控制后的閉環(huán)系統(tǒng)如右圖所示。這個(gè)控制系統(tǒng)中存在兩個(gè)環(huán)：內(nèi)環(huán)實(shí)現(xiàn)輸入-狀態(tài)關(guān)系的線性化，外環(huán)實(shí)現(xiàn)閉環(huán)動(dòng)態(tài)特性的穩(wěn)定性?，F(xiàn)在是36頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

關(guān)于上述控制律，有以下幾點(diǎn)進(jìn)一步的說(shuō)明：1.雖然在狀態(tài)空間中一個(gè)相當(dāng)大的區(qū)域內(nèi)上面的結(jié)論均成立，但它不是全局性的?？刂坡稍跁r(shí)沒有定義。顯然，當(dāng)初始狀態(tài)位于這些奇點(diǎn)處時(shí)，控制器不能使系統(tǒng)達(dá)到平衡點(diǎn)。2.輸入—狀態(tài)線性化是通過(guò)狀態(tài)變換與輸入變換相結(jié)合而實(shí)現(xiàn)的，而在兩種變換中都用到了狀態(tài)反饋。因此它是通過(guò)反饋來(lái)進(jìn)行線性化，簡(jiǎn)稱為反饋線性化。這一點(diǎn)與基于線性控制的小范圍雅可比線性化有著本質(zhì)的區(qū)別。3.為了實(shí)現(xiàn)這個(gè)控制律，需要用到新的狀態(tài)變量（,）。若它們?cè)谖锢砩蠜]有意義，或不能直接測(cè)量，則必須測(cè)量原來(lái)的狀態(tài)并用式（3.10）來(lái)計(jì)算新的狀態(tài)變量。

輸入—狀態(tài)線性化現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三4.一般說(shuō)來(lái)，控制器設(shè)計(jì)和的計(jì)算都須用到系統(tǒng)模型。如果模型存在不確定性，即參數(shù)有不確定性，則從式（3.10）和式（3.12）可見，這種不確定性對(duì)于計(jì)算新狀態(tài)變量和計(jì)算控制輸入都會(huì)引起誤差。5.利用這種方法也能考慮跟蹤控制的問(wèn)題，但是這時(shí)應(yīng)將期望的運(yùn)動(dòng)用新的狀態(tài)矢量來(lái)表示，還可能需要進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算，將期望運(yùn)動(dòng)的特性指標(biāo)由原來(lái)的物理上有意義的輸出變量表示變換成現(xiàn)在的新的狀態(tài)變量表示。6.上述設(shè)計(jì)的成功使人們對(duì)將輸入—狀態(tài)線性化的思想推廣到一般的非線性系統(tǒng)感到興趣。在考慮這種推廣的時(shí)候，將產(chǎn)生以下兩個(gè)問(wèn)題：（1）哪些非線性系統(tǒng)能夠變換成線性系統(tǒng)？（2）如果能夠進(jìn)行這種變換，如何找到這個(gè)變換？

輸入—狀態(tài)線性化現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

考慮下列系統(tǒng)的跟蹤控制問(wèn)題（3.17）假定設(shè)計(jì)的目標(biāo)是使輸出跟蹤期望的軌跡，同時(shí)保持所有狀態(tài)有界，其中及其足夠高階的時(shí)間導(dǎo)數(shù)均假定已知且有界。使用這個(gè)模型的明顯困難在于輸出只是通過(guò)狀態(tài)及非線性狀態(tài)方程式（3.17）間接地與輸入發(fā)生聯(lián)系，所以不易看出應(yīng)如何設(shè)計(jì)輸入來(lái)控制輸出的跟蹤性能。假如能夠找到系統(tǒng)輸出與控制輸入之間的一個(gè)直接而簡(jiǎn)單的關(guān)系，則跟蹤控制設(shè)計(jì)的困難就會(huì)大大降低。事實(shí)上，由此想法構(gòu)成了非線性系統(tǒng)控制設(shè)計(jì)中的所謂輸入—輸出線性化方法的基礎(chǔ)。用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這一方法。輸入—輸出線性化現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

考慮三階系統(tǒng)

（3.18）為了得到輸出與輸入之間的直接關(guān)系，將輸出微分由于仍然與

沒有直接聯(lián)系，對(duì)上式再微分一次，得到（3.19）其中是狀態(tài)的函數(shù)，定義為（3.20）輸入—輸出線性化現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三式（3.19）代表與之間的一個(gè)顯式關(guān)系。如果選擇輸入為下列形式（3.21）其中為待定的新輸入，則式（3.19）中的非線性便被抵消了，從而得到一個(gè)輸出與新輸入之間的簡(jiǎn)單的二重積分關(guān)系利用線性控制方法很容易對(duì)這個(gè)二重積分關(guān)系設(shè)計(jì)跟蹤控制器。例如，定義跟蹤誤碼差為，選取新的輸入為（3.22）其中，為正常數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差滿足（3.23）它代表一個(gè)指數(shù)穩(wěn)定的誤差動(dòng)態(tài)特性。因此，如果開始時(shí)，則，，即獲得了理想跟蹤；否則指數(shù)地收斂于零。輸入—輸出線性化現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

這里需要注意兩點(diǎn)：（1）除了奇異點(diǎn)處之外，控制律處處有定義。（2）為了實(shí)現(xiàn)這一控制律，要求全部狀態(tài)都能測(cè)量，因?yàn)橛?jì)算導(dǎo)數(shù)和輸入變換式（3.21）均要求的數(shù)值。上面這種首先產(chǎn)生一個(gè)線性的輸入—輸出關(guān)系，然后再利用線性控制方法來(lái)構(gòu)造控制器的設(shè)計(jì)策略稱為輸入-輸出線性化方法，它適用于許多系統(tǒng)，如果需要將系統(tǒng)的輸出微分次才能得到一個(gè)輸出與輸入之間的顯式關(guān)系，則稱該系統(tǒng)的相對(duì)度為。因此，上述例子中的系統(tǒng)相對(duì)度為2。這個(gè)術(shù)語(yǔ)同線性系統(tǒng)中所用的相對(duì)度的概念（極點(diǎn)超過(guò)零點(diǎn)的數(shù)目）是一致的?？梢試?yán)格地證明，任何階能控系統(tǒng)，對(duì)于任一輸出，最多只需要微分次就一定能使控制輸入在表達(dá)式中出現(xiàn)，亦即。如果對(duì)微分永遠(yuǎn)不出現(xiàn)控制輸入，則這個(gè)系統(tǒng)就是不可控的。輸入—輸出線性化現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

值得注意的是，式（3.23）僅說(shuō)明了閉環(huán)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的一部分，因?yàn)樗挥卸A，而整個(gè)系統(tǒng)是三階的。因此，系統(tǒng)中有一部分（由一個(gè)狀態(tài)分量描述）經(jīng)由輸入—輸出線性化變成了“不能觀”的子系統(tǒng)。這一部分子系統(tǒng)稱為內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。若此內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定（這里穩(wěn)定的意思實(shí)際上是指在跟蹤過(guò)程中狀態(tài)維持有界，即在BIBO意義上的穩(wěn)定性），跟蹤控制設(shè)計(jì)的問(wèn)題就真正地解決了。否則，上面的跟蹤控制器事實(shí)上沒有意義，因?yàn)閮?nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定性可能會(huì)產(chǎn)生一些不希望出現(xiàn)的現(xiàn)象。因此，上面這種基于降階模型式（3.19）的控制器設(shè)計(jì)，其適用性依內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性而定。最后還要指出，輸入—輸出線性化方法雖然是在研究輸出跟蹤問(wèn)題時(shí)提出來(lái)的，但它同樣可應(yīng)用于穩(wěn)定問(wèn)題。此外，關(guān)于用輸入—輸出線性化來(lái)進(jìn)行穩(wěn)定設(shè)計(jì)，還有必要作兩點(diǎn)說(shuō)明。

輸入—輸出線性化現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

首先在穩(wěn)定問(wèn)題中，不一定要選擇具有明顯的物理意義（在跟蹤設(shè)計(jì)中，輸出的選擇是由具體任務(wù)確定的）。的任意函數(shù)均可為了設(shè)計(jì)的目的而用來(lái)作為人為的輸出，從而產(chǎn)生一個(gè)以穩(wěn)定設(shè)計(jì)為目的的線性輸入—輸出關(guān)系。其次，不同的輸出函數(shù)選擇將產(chǎn)生不同的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。有可能一種輸出選擇產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)（或者不存在內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)），而另一種輸出選擇卻產(chǎn)生不穩(wěn)定的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。因此，只要可能，就應(yīng)該選擇使相應(yīng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定的那種輸出函數(shù)。特殊情況下，當(dāng)系統(tǒng)的相對(duì)度等于其階數(shù)時(shí)，即當(dāng)輸出必須微分次（為系統(tǒng)階數(shù)）時(shí)，變量可作為系統(tǒng)的一組新狀態(tài)變量，這時(shí)不會(huì)產(chǎn)生與該輸入—輸出線性化有關(guān)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。故在這種情況下，輸入—輸出線性化實(shí)際上變成了輸入—狀態(tài)線性化，從而對(duì)于所指定的輸出很容易實(shí)際狀態(tài)調(diào)節(jié)和輸出跟蹤。輸入—輸出線性化現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

一般情況下，直接確定內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性是非常困難的，因?yàn)樗话闶欠蔷€性、非自治的，而且與外表的動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)之間有耦合。雖然對(duì)某些系統(tǒng)而言，也許可以利用李雅普諾夫或類似李雅普諾夫的分析方法，然而尋找李雅普諾夫函數(shù)并非易事，因而限制了這種方法的普遍應(yīng)用，所以很自然地想到需要尋找更為簡(jiǎn)單的方法來(lái)確定內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為此，從熟知的線性系統(tǒng)入手，來(lái)考察內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)這個(gè)概念。例3.2兩個(gè)線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)考慮下列簡(jiǎn)單的能控、能觀線性系統(tǒng)（3.24）線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

要求

跟蹤期望輸出，將輸出微分一次就得到第一個(gè)狀態(tài)方程其中顯含，故采用控制律（3.25）可產(chǎn)生跟蹤誤差方程（其中）及內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)從這些方程可以看出，當(dāng)趨近（同時(shí)趨近）時(shí)保持有界，從而也有界。因此式（3.25）是系統(tǒng)式（3.24）的一個(gè)滿意的跟蹤控制器。線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

再來(lái)看一個(gè)稍微不同的系統(tǒng)：（3.26）采用與前面一樣的控制器可產(chǎn)生同樣的跟蹤誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，然而卻產(chǎn)生不同的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)由上式可見，當(dāng)時(shí)，以及相應(yīng)地都趨向無(wú)窮大。因此，式（3.25）對(duì)系統(tǒng)式（3.26）便不是一個(gè)合適的跟蹤器。為了搞清楚這兩個(gè)系統(tǒng)之間的本質(zhì)差別，可以來(lái)看看它們的傳遞函數(shù)。線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

系統(tǒng)式（3.24）的傳遞函數(shù)為而系統(tǒng)式（3.26）的傳遞函數(shù)為可以看到，這兩個(gè)系統(tǒng)的極點(diǎn)相同而零點(diǎn)不同。具體地說(shuō)，設(shè)計(jì)成功的系統(tǒng)式（3.24）具有一個(gè)左半平面的零點(diǎn)-1，而設(shè)計(jì)失敗的系統(tǒng)式（3.26）卻包含一個(gè)右半平面零點(diǎn)1?？梢宰C明，上述結(jié)果（即如果對(duì)象的零點(diǎn)在左半平面，也就是說(shuō)對(duì)象是最小相位的，則內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定）對(duì)于所有的線性系統(tǒng)都是正確的。

線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)現(xiàn)在是48頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

既然在線性系統(tǒng)中內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性簡(jiǎn)單地由零點(diǎn)的位置確定，因此人們自然會(huì)有興趣想知道這個(gè)關(guān)系能否推廣到非線性系統(tǒng)。為此首先要將零點(diǎn)的概念推廣到非線性系統(tǒng)，然后再確定內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性與這種推廣了的零點(diǎn)概念之間的關(guān)系。將零點(diǎn)的概念推廣到非線性系統(tǒng)并不是一個(gè)十分簡(jiǎn)單的問(wèn)題。線性系統(tǒng)是在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上定義零點(diǎn)的，但傳遞函數(shù)不能推廣到非線性系統(tǒng)。此外，零點(diǎn)是線性對(duì)象的一個(gè)內(nèi)在特性，而對(duì)非線性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性可能與特定的輸入有關(guān)?？朔@一困難的一個(gè)途徑是對(duì)非線性系統(tǒng)定義一個(gè)所謂的零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)定義為當(dāng)系統(tǒng)的輸出被輸入強(qiáng)制為零時(shí)它的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)。零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)現(xiàn)在是49頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

對(duì)于線性系統(tǒng)，零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性意味著內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性；然而，對(duì)于非線性系統(tǒng)卻沒有如此明顯的關(guān)系。對(duì)于穩(wěn)定問(wèn)題，可以證明，零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性足可保證內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定性，這個(gè)結(jié)論也可以推廣到跟蹤問(wèn)題。然而，與線性系統(tǒng)的情形不同，對(duì)于非線性系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)不能得到關(guān)于全局穩(wěn)定性的結(jié)論，甚至連大范圍穩(wěn)定性的結(jié)論也不能得到。換言之，即使零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)是全局指數(shù)穩(wěn)定的，也只能保證內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性。關(guān)于非線性系統(tǒng)的零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)，可作如下兩點(diǎn)說(shuō)明。首先，零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的特性是一個(gè)非線性系統(tǒng)的內(nèi)在特征，它與控制律及期望軌跡的選擇無(wú)關(guān)。其次，考察零動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定性比考察內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性要容易得多，因?yàn)榱銊?dòng)態(tài)子系統(tǒng)僅涉及內(nèi)部狀態(tài)。零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)現(xiàn)在是50頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

歸結(jié)起來(lái)，基于輸入—輸出線性化的控制設(shè)計(jì)可循以下三步來(lái)進(jìn)行：（1）微分輸出直至出現(xiàn)輸入；（2）選取來(lái)抵消非線性并保證跟蹤收斂；（3）研究?jī)?nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若與輸入—輸出線性化有關(guān)的相對(duì)度等于系統(tǒng)的階數(shù)，則非線性系統(tǒng)可完全地線性化，因而這一過(guò)程確實(shí)能得到一個(gè)滿意的控制器（假定模型是精確的）。若相對(duì)度小于系統(tǒng)的階數(shù)，則非線性系統(tǒng)只是部分地線性化，由此得到控制器是否真能使用取決于內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性。對(duì)內(nèi)動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究可以通過(guò)轉(zhuǎn)而研究零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性而局部地簡(jiǎn)化。若零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)不穩(wěn)定，則必須尋找新的控制策略，這時(shí)輸入—輸出線性化所提供的簡(jiǎn)化僅在于變換后的動(dòng)態(tài)方程是部分線性化的。零動(dòng)態(tài)子系統(tǒng)現(xiàn)在是51頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

在描述這些數(shù)學(xué)工具的時(shí)候，將把矢量函數(shù)稱為上的一個(gè)矢量場(chǎng)，矢量場(chǎng)的平滑性是指函數(shù)具有要求的任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，以下將只關(guān)心平滑的矢量場(chǎng)。給定一個(gè)狀態(tài)的平滑的標(biāo)量函數(shù)，的梯度記為它是以為元素的一個(gè)行矢量。類似地，給定一個(gè)矢量場(chǎng)，其雅可比矩陣記為，它是一個(gè)以為元素的的矩陣。

數(shù)學(xué)知識(shí)現(xiàn)在是52頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

定義4.1令為一個(gè)平滑的標(biāo)量函數(shù)，為上的一個(gè)平滑的矢量場(chǎng)，則對(duì)的李導(dǎo)數(shù)是一個(gè)定義為的標(biāo)量函數(shù)。李導(dǎo)數(shù)其實(shí)就是沿矢量方向?qū)?shù)。多重李導(dǎo)數(shù)可以遞歸地定義為類似地，如果是另一個(gè)矢量場(chǎng)，則標(biāo)量函數(shù)為考慮下列單輸出動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，不難看出李導(dǎo)數(shù)與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)之間的聯(lián)系

李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)現(xiàn)在是53頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三輸出的時(shí)間導(dǎo)數(shù)為類似地，如果

是一個(gè)備選的李雅普諾夫函數(shù)，則它的時(shí)間導(dǎo)數(shù)可以寫為?，F(xiàn)在再看矢量場(chǎng)的另一個(gè)重要數(shù)學(xué)算符——李括號(hào)。定義4.2令與為上的兩個(gè)矢量場(chǎng)，與的李括號(hào)是第三個(gè)矢量場(chǎng)，定義為。李括號(hào)通常寫為。多重李括號(hào)可以遞歸地定義為李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)現(xiàn)在是54頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

引理4.1李括號(hào)具有下列性質(zhì)（1）雙線性：其中、、、、、都是平滑的矢量場(chǎng)，而和為常標(biāo)量。（2）斜交換性（或反對(duì)稱性）：

（3）雅可比（Jacobi）恒等式：其中是的平滑標(biāo)量函數(shù)。李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)現(xiàn)在是55頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

可以遞歸地應(yīng)用雅可比恒等式來(lái)獲得一些有用的專門性恒等式。使用它兩次得到對(duì)于高階的李括號(hào)亦可以獲得類似的一些恒等式。李導(dǎo)數(shù)和李括號(hào)現(xiàn)在是56頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

可以微分同胚的概念可看成是熟知的坐標(biāo)變換概念的推廣，其定義如下：定義4.3定義在區(qū)域上的函數(shù)：如果它是平滑的，它的逆存在并且平滑，則稱之為微分同胚。如果區(qū)域是整個(gè)空間，則稱為全局的微分同胚。全局的微分同胚很少見，因此常常要尋找局部的微分同胚，即僅在一個(gè)給定點(diǎn)的鄰域內(nèi)定義的變換。

引理4.2令為在中的區(qū)域內(nèi)定義的一個(gè)平滑函數(shù)，如果雅可比矩陣在內(nèi)一點(diǎn)非奇異，則在的一個(gè)子區(qū)域內(nèi)為一個(gè)局部的微分同胚。微分同胚可用來(lái)將一個(gè)非線性系統(tǒng)變換成另一個(gè)用新的狀態(tài)表示的非線性系統(tǒng)，它類似于在線性系統(tǒng)分析中通常所做的那樣。微分同胚與狀態(tài)變換現(xiàn)在是57頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

考慮下列方程所描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：定義新的狀態(tài)為求的微分得由此不難得到新的狀態(tài)方程其中用到了，而函數(shù)，，的定義是顯然的。微分同胚與狀態(tài)變換現(xiàn)在是58頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

例4.1一個(gè)非全局性微分同胚考慮非線性矢量函數(shù)（4.1）它對(duì)所有的和都有定義，其雅可比矩陣為它在x=(0,0)的秩為2，根據(jù)引理4.2函數(shù)式(4.1)在原點(diǎn)周圍定義了一個(gè)局部的微分同胚。事實(shí)上，這個(gè)微分同胚成立的區(qū)域?yàn)橐驗(yàn)樵诖藚^(qū)域內(nèi)存在且關(guān)于平滑。然而，在此區(qū)域之外，因?yàn)椴晃ㄒ唬荒芏x一個(gè)微分同胚。微分同胚與狀態(tài)變換現(xiàn)在是59頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

考慮一階偏微分方程組（4.2）

其中與，為的已知標(biāo)量函數(shù)，是一個(gè)未知函數(shù)。很明顯，兩個(gè)矢量和唯一地定義了這個(gè)偏微分方程組，如果它的解存在，則稱這組矢量場(chǎng)為完全可積的?，F(xiàn)在的問(wèn)題是要確定這些方程在什么條件下可解，這個(gè)問(wèn)題并不是事先就能一眼看出的，弗羅貝尼斯定理提供了一個(gè)比較簡(jiǎn)單的條件。弗羅貝尼斯定理現(xiàn)在是60頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

方程式（4.2）有解的條件是當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量函數(shù)與使得即與的李括號(hào)可以表示成與的線性組合，這個(gè)條件稱為矢量場(chǎng)的對(duì)合條件，幾何上這個(gè)條件就是說(shuō)矢量在由矢量與所確定的平面內(nèi)。弗羅貝尼斯定理斷言一組矢量場(chǎng)當(dāng)且僅當(dāng)它滿足對(duì)合條件時(shí)是完全可積的。由于對(duì)合條件比較容易驗(yàn)證，故可用它來(lái)確定式（4.2）的可解性。定義4.4上的一組線性無(wú)關(guān)的矢量場(chǎng)是完全可積的，當(dāng)且僅當(dāng)存在n-m個(gè)標(biāo)量函數(shù)滿足一組偏微分方程（4.3）其中，而梯度是線性無(wú)關(guān)的。弗羅貝尼斯定理現(xiàn)在是61頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

定義4.5線性無(wú)關(guān)的矢量場(chǎng)集合是對(duì)合的，當(dāng)且僅當(dāng)存在標(biāo)量函數(shù)使（4.4）對(duì)合的意思就是如果從矢量場(chǎng)集合中任取一對(duì)來(lái)組成李括號(hào)，得到的矢量場(chǎng)可以表為原先集合中的矢量場(chǎng)的線性組合。需要說(shuō)明的是：1.恒矢量場(chǎng)總是對(duì)合的。2.由單獨(dú)一個(gè)矢量f組成的集合總是對(duì)合的。3.由定義4.5，檢驗(yàn)矢量場(chǎng)集合是否對(duì)合等于就是檢驗(yàn)下式是否對(duì)于全體和全體、都成立定理4.1(弗貝尼斯定理)令為一組線性無(wú)關(guān)的矢量場(chǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)集合為對(duì)合時(shí)它是完全可積的。弗羅貝尼斯定理現(xiàn)在是62頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

討論用下列狀態(tài)方程描寫的單輸入非線性系統(tǒng)的輸入—狀態(tài)線性化問(wèn)題（5.1）其中和為平滑矢量場(chǎng)。研究的問(wèn)題包括：這種系統(tǒng)在什么條件下能夠通過(guò)狀態(tài)與輸入的變換來(lái)實(shí)現(xiàn)線性化，如何求出這種變換，以及如何基于這種反饋線性化來(lái)設(shè)計(jì)控制器。形如式（5.1）的系統(tǒng)稱為對(duì)控制是線性的，或仿射的。如果非線性系統(tǒng)具有如下形式其中為可逆的標(biāo)量函數(shù)，為任意函數(shù)，則簡(jiǎn)單的代換就能將上述動(dòng)態(tài)方程變成式（5.1）的形式。于是可以先對(duì)

設(shè)計(jì)控制律，再對(duì)求逆來(lái)計(jì)算，即。單輸入單輸出系統(tǒng)的輸入—狀態(tài)線性化現(xiàn)在是63頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三

定義5.1一個(gè)形如式（5.1）的單輸入非線性系統(tǒng)，其中與為上的平滑矢量場(chǎng)，如果在中存在一個(gè)區(qū)域，一個(gè)微分同胚，以及一個(gè)反饋控制律（5.2）使得新的狀態(tài)變量和新的輸入滿足線性定常關(guān)系（5.3）其中輸入—狀態(tài)線性化定義現(xiàn)在是64頁(yè)\一共有111頁(yè)\編輯于星期三則稱該系統(tǒng)是輸入—狀態(tài)可線性化的。新狀態(tài)稱為線性化狀態(tài)，新控制律式（5.2）稱為線性化控制律。為了簡(jiǎn)化記號(hào)，不僅用來(lái)表示變換狀態(tài)，而且表示微分同胚本身，即寫為。變換后的動(dòng)態(tài)方程中，矩陣與矢量具有特殊的形式，對(duì)應(yīng)于線性伴隨型。不過(guò)，局限于這種特殊的等效線性系統(tǒng)并不失一般性，因?yàn)槿魏尉€性能控系統(tǒng)均可通過(guò)狀態(tài)變換而與伴隨型式（5.3）等價(jià)。

從式（5.3）的標(biāo)準(zhǔn)形式容易看出，輸入—狀態(tài)線性化是輸入—輸出線性化當(dāng)輸出函數(shù)導(dǎo)致相對(duì)度為時(shí)的一種特殊情況，因此，輸入—狀態(tài)線性化與輸入—輸出線性化二者之間的關(guān)系可以總結(jié)如下：引理5.1一個(gè)階非線性系統(tǒng)，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，使以為輸出函數(shù)的輸入—輸出線性化具有相對(duì)度時(shí)是輸入—狀態(tài)可線性化的。