線性代數(shù)講義第一章演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有46頁\編輯于星期三（優(yōu)選）線性代數(shù)講義第一章現(xiàn)在是2頁\一共有46頁\編輯于星期三用消元法解二元線性方程組1、二階行列式§1.二階與三階行列式現(xiàn)在是3頁\一共有46頁\編輯于星期三方程組的解為由方程組的四個系數(shù)確定.現(xiàn)在是4頁\一共有46頁\編輯于星期三為便于記憶，引入記號

其中，數(shù)稱為行列式的元素。該記號為一個數(shù)表，橫排稱為行，豎排稱為列，共有兩行兩列，故稱之為二階行列式。每一元素有兩個下標，第一個下標i稱為行標，表明該元素位于行列式的第i行；第二個下標j稱為列標，表明該元素位于行列式的第j列；現(xiàn)在是5頁\一共有46頁\編輯于星期三主對角線輔對角線若記對于二元線性方程組現(xiàn)在是6頁\一共有46頁\編輯于星期三則二元線性方程組的解為現(xiàn)在是7頁\一共有46頁\編輯于星期三三階行列式的計算:對角線法則現(xiàn)在是8頁\一共有46頁\編輯于星期三§2n階行列式的定義1.全排列與逆序數(shù)定義1

如，1234和4312都是4階排列，而53142為一個5階排列。顯然，n階全排列的個數(shù)為n！個。定義2

現(xiàn)在是9頁\一共有46頁\編輯于星期三例1求下列排列的逆序數(shù)逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.2.n階行列式的定義考察三階行列式的定義現(xiàn)在是10頁\一共有46頁\編輯于星期三（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積，其中，行標均按自然順序排列，列標為3階排列，當(dāng)列標取遍所有的3階排列后，就得到三階行列式代數(shù)和中的所有項；

（3）每項的正負號都取決于三個元素的列標排列的奇偶性．（1）三階行列式共有6項，即3階排列的個數(shù)；故現(xiàn)在是11頁\一共有46頁\編輯于星期三定義3現(xiàn)在是12頁\一共有46頁\編輯于星期三例2

計算下三角形行列式解展開式的一般項為不為零的項只有現(xiàn)在是13頁\一共有46頁\編輯于星期三定義4

將一個排列中的兩個數(shù)位置對調(diào)稱為對換，將相鄰兩個數(shù)位置對調(diào)稱為相鄰對換。

定理1一次對換改變排列的奇偶性。

定理2

定理3現(xiàn)在是14頁\一共有46頁\編輯于星期三§3行列式的性質(zhì)稱之為D的轉(zhuǎn)置行列式。記性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.現(xiàn)在是15頁\一共有46頁\編輯于星期三性質(zhì)2

交換行列式的兩行（列）,行列式變號.說明行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立.例如推論1如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明現(xiàn)在是16頁\一共有46頁\編輯于星期三性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.推論2

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面．現(xiàn)在是17頁\一共有46頁\編輯于星期三推論3

行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零．證明現(xiàn)在是18頁\一共有46頁\編輯于星期三性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則D等于下列兩個行列式之和：例如現(xiàn)在是19頁\一共有46頁\編輯于星期三例3

現(xiàn)在是20頁\一共有46頁\編輯于星期三解現(xiàn)在是21頁\一共有46頁\編輯于星期三現(xiàn)在是22頁\一共有46頁\編輯于星期三性質(zhì)5

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如現(xiàn)在是23頁\一共有46頁\編輯于星期三1、行列式與其轉(zhuǎn)置行列式的值相等;2、交換行列式的兩行或兩列,行列式的值變號;3、用數(shù)k乘行列式的某一行(列),等于以數(shù)k乘此行列式;5、將行列式某一行（列）的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行的對應(yīng)元素上，行列式的值不變.行列式的性質(zhì)4、如果行列式的某一列(行)的每一個元素都可寫成兩個數(shù)的和，則此行列式可以寫成兩個行列式的和;現(xiàn)在是24頁\一共有46頁\編輯于星期三計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值．例4

現(xiàn)在是25頁\一共有46頁\編輯于星期三解將第列都加到第一列得例5

計算n階行列式

現(xiàn)在是26頁\一共有46頁\編輯于星期三現(xiàn)在是27頁\一共有46頁\編輯于星期三§4行列式按行(列)展開余子式與代數(shù)余子式行列式按行（列）展開法則現(xiàn)在是28頁\一共有46頁\編輯于星期三在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，余下來的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如1、

余子式與代數(shù)余子式現(xiàn)在是29頁\一共有46頁\編輯于星期三現(xiàn)在是30頁\一共有46頁\編輯于星期三2、行列式按行（列）展開法則

現(xiàn)在是31頁\一共有46頁\編輯于星期三例6定理4行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即現(xiàn)在是32頁\一共有46頁\編輯于星期三現(xiàn)在是33頁\一共有46頁\編輯于星期三推論

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即證相同考察下述行列式現(xiàn)在是34頁\一共有46頁\編輯于星期三同理現(xiàn)在是35頁\一共有46頁\編輯于星期三關(guān)于代數(shù)余子式的重要性質(zhì)現(xiàn)在是36頁\一共有46頁\編輯于星期三

證用數(shù)學(xué)歸納法例7證明范德蒙德(Vandermonde)行列式現(xiàn)在是37頁\一共有46頁\編輯于星期三現(xiàn)在是38頁\一共有46頁\編輯于星期三n-1階范德蒙德行列式現(xiàn)在是39頁\一共有46頁\編輯于星期三例8

計算n+1階行列式現(xiàn)在是40頁\一共有46頁\編輯于星期三練習(xí)：計算n階行列式現(xiàn)在是41頁\一共有46頁\編輯于星期三§5

Cramer法則

非齊次與齊次線性方程組的概念Cramer法則齊次線性方程組的相關(guān)定理現(xiàn)在是42頁\一共有46頁\編輯于星期三設(shè)線性方程組則稱此方程組為n元非

齊次線性方程組;則稱方程組為n元齊次線性方程組.1、非齊次與齊次線性方程組的概念現(xiàn)在是43頁\一共有46頁\編輯于星期三2、Cramer法則定理5

如果n元線性方程組的系數(shù)行列式現(xiàn)在是44頁\一共有46