立體幾何要點回扣易錯警示查缺補漏要點回扣1.一個物體的三視圖的排列規(guī)則是俯視圖放在正(主)視圖下面，長度與正(主)視圖一樣，側(左)視圖放在正(主)視圖右面，高度與正(主)視圖一樣，寬度與俯視圖一樣，即“長對正，高平齊，寬相等”.在畫一個物體的三視圖時，一定注意實線與虛線要分明.[問題1]

如圖，若一個幾何體的正(主)視圖、側(左)視圖、俯視圖均為面積等于2的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為________.2.在斜二測畫法中，要確定關鍵點及關鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”[問題2]

如圖所示的等腰直角三角形表示一個水平放置的平面圖形的直觀圖，則這個平面圖形的面積是________.(4)圓柱、圓錐、圓臺的側面積公式S圓柱側＝2πrl(r為底面半徑，l為母線)，S圓錐側＝πrl(同上)，S圓臺側＝π(r′＋r)l(r′、r分別為上、下底的半徑，l為母線).(5)體積公式V柱＝S·h(S為底面面積，h為高)，[問題3]

如圖所示，一個空間幾何體的正(主)視圖和俯視圖都是邊長為1的正方形，側(左)視圖是一個直徑為1的圓，那么這個幾何體的表面積為(

)A.4π B.3πC.2π D.D4.空間直線的位置關系：①相交直線——有且只有一個公共點.②平行直線——在同一平面內(nèi)，沒有公共點.③異面直線——不在同一平面內(nèi)，也沒有公共點.[問題4]

在空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是四邊上的中點，則直線EG和FH的位置關系是________.相交5.空間直線與平面、平面與平面的位置關系(1)直線與平面①位置關系：平行、直線在平面內(nèi)、直線與平面相交.②直線與平面平行的判定定理和性質定理：判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.性質定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.③直線與平面垂直的判定定理和性質定理：判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直.性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行.(2)平面與平面①位置關系：平行、相交(垂直是相交的一種特殊情況).②平面與平面平行的判定定理和性質定理：判定定理：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.③平面與平面垂直的判定定理和性質定理：判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.[問題5]

已知b，c是平面α內(nèi)的兩條直線，則“直線a⊥α”是“直線a⊥b,直線a⊥c”的__________條件.充分不必要6.空間向量(1)用空間向量求角的方法步驟①異面直線所成的角若異面直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，它們所成的角為θ，則cosθ＝|cos〈v1，v2〉|.②直線和平面所成的角利用空間向量求直線與平面所成的角,可以有兩種方法：方法一分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉化為求兩條直線的方向向量的夾角(或其補角).方法二通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角.③利用空間向量求二面角也有兩種方法：方法一分別在二面角的兩個面內(nèi)找到一個與棱垂直且從垂足出發(fā)的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的平面角的大小.方法二通過平面的法向量來求，設二面角的兩個面的法向量分別為n1和n2，則二面角的大小等于〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉).易錯警示：①求線面角時，得到的是直線方向向量和平面法向量的夾角的余弦，容易誤以為是線面角的余弦.②求二面角時，兩法向量的夾角有可能是二面角的補角，要注意從圖中分析.(2)用空間向量求A到平面α的距離：可表示為d＝

.[問題6]

(1)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的側棱長與底面邊長相等，則AB1與側面ACC1A1所成角的正弦值等于________.解析方法一取A1C1的中點E，連接AE，B1E，如圖.由題意知B1E⊥平面ACC1A1，則∠B1AE為AB1與側面ACC1A1所成的角.設正三棱柱側棱長與底面邊長為1，方法二如圖，以A1C1中點E為原點建立空間直角坐標系E－xyz，(2)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，O是底面A1B1C1D1的中心，則點O到平面ABC1D1的距離為________.解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面ABC1D1的法向量為n＝(x，y，z)，則易錯點1三視圖認識不清致誤易錯點2對幾何概念理解不透致誤易錯點3對線面關系定理條件把握不準致誤易錯警示易錯點1三視圖認識不清致誤例1一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(

)錯解

由三視圖知，該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4，寬為2的矩形；兩個梯形側面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側面是正方形，邊長為4.所以表面積S＝42×3＋2×4＋2×(2＋4)×4＝48＋8＋24＝80.找準失分點不能準確把握三視圖和幾何體之間的數(shù)量關系，根據(jù)正視圖可知，側視圖中等腰梯形的高為4，而錯認為等腰梯形的腰為4.正解由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；答案C易錯點2對幾何概念理解不透致誤例2給出下列四個命題：①有兩個平面互相平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱；②若兩個過相對側棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；④底面是矩形的平行六面體是長方體.其中正確的命題是__________(寫出所有正確命題的序號).找準失分點錯解1

①②③錯解2

②③④①是錯誤的，因為棱柱的側棱要都平行且相等；④是錯誤的，因為長方體的側棱必須與底面垂直.正解②③易錯點3對線面關系定理條件把握不準致誤例3已知m、n是不同的直線，α、β、γ是不同的平面.給出下列命題：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α，或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n；③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內(nèi)的無數(shù)條直線；④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α，且n∥β；⑤若m、n為異面直線，則存在平面α過m且使n⊥α.其中正確的命題序號是________.找準失分點錯解

②③④⑤③是錯誤的；⑤是錯誤的.正解①是錯誤的.如正方體中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交線為AA′.直線AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同時AC也不垂直面ADD′A′.②正確.實質上是兩平面平行的性質定理.③是錯誤的.在上面的正方體中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但與B′D′垂直.這樣A′C就垂直于平面A′B′C′D′內(nèi)與直線B′D′平行的無數(shù)條直線.④正確.利用線面平行的判定定理即可.⑤錯誤.從結論考慮，若n⊥α且m?α，則必有m⊥n，事實上，條件并不能保證m⊥n.故錯誤.答案②④查缺補漏123456789101.已知三條不同直線m，n，l與三個不同平面α，β，γ，有下列命題：①若m∥α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，l?α，則l∥β；③α⊥γ，β⊥γ，則α∥β；④若m，n為異面直線，m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β.其中正確命題的個數(shù)是(

)A.0

B.1

C.2

D.3查缺補漏12345678910解析因為平行于同一平面的兩條直線除了平行，還可能相交或成異面直線，所以命題①錯誤；由直線與平面平行的定義知命題②正確；由于垂直于同一個平面的兩個平面可能平行還可能相交，因此命題③錯誤；過兩條異面直線分別作平面互相平行，這兩個平面是唯一存在的，因此命題④正確.故選C.答案C查缺補漏123456789102.設m，n是空間兩條直線，α，β是空間兩個平面，則下列選項中不正確的是(

)A.當m?α時，“n∥α”是“m∥n”的必要不充分條件B.當m?α時，“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要條件C.當n⊥α時，“n⊥β”是“α∥β”成立的充要條件D.當m?α時，“n⊥α”是“m⊥n”的充分不必要條件查缺補漏12345678910解析當m?α時，若n∥α可得m∥n或m，n異面；若m∥n可得n∥α或n?α，所以“n∥α”是“m∥n”的既不充分也不必要條件，答案選A.答案A查缺補漏123456789103.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(

)A.64 B.72 C.80 D.112查缺補漏12345678910解析根據(jù)三視圖，該幾何體為下面是一個立方體、上面兩個三棱錐，答案B查缺補漏123456789104.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結論：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面.其中不正確的結論是(

)A.① B.② C.③ D.④查缺補漏12345678910解析作出過M，N，P，Q四點的截面交C1D1于點S，交AB于點R，如圖所示中的六邊形MNSPQR，顯然點A1，C分別位于這個平面的兩側，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結論②不正確.答案B查缺補漏123456789105.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(

)查缺補漏12345678910解析由三視圖可知，該幾何體是一個四棱錐，如圖所示.該幾何體的底面是邊長為1的正方形，故S1＝12＝1.側棱PA⊥面ABCD，且PA＝1，查缺補漏12345678910答案A查缺補漏123456789106.如圖，已知六棱錐P—ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結論正確的是(

)A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直線BC∥平面PAED.直線PD與平面ABC所成的角為45°查缺補漏12345678910解析若PB⊥AD，則AD⊥AB，但AD與AB成60°角，A錯誤；平面PAB與平面ABD垂直，所以平面PAB一定不與平面PBC垂直，B錯誤；BC與AE是相交直線，所以BC一定不與平面PAE平行，C錯誤；查缺補漏12345678910直線PD與平面ABC所成角為∠PDA，在Rt△PAD中，AD＝PA，∴∠PDA＝45°，D正確.答案D查缺補漏123456789107.對于四面體ABCD，給出下列四個命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD.其中正確的是________.(填序號)查缺補漏12345678910解析取線段BC的中點E，連接AE，DE，∵AB＝AC，BD＝CD，∴BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面ADE，∵AD?平面ADE，∴BC⊥AD，故①正確.查缺補漏12345678910設點O為點A在平面BCD上的射影，連接OB，OC，OD，∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴OB⊥CD，OC⊥BD，∴點O為△BCD的垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥