Newton迭代法的收斂性Newton迭代法是求解非線性方程的一種重要方法，其基本思路是利用函數(shù)的導數(shù)信息，通過不斷迭代逼近方程的解。在實際應用中，Newton迭代法具有快速、高效、收斂性好等優(yōu)點，廣泛應用于科學計算領域。本文將詳細講解Newton迭代法的收斂性分析。一、Newton迭代法基本原理設$f(x)$是一個在區(qū)間$I=[a,b]$上有$n$階連續(xù)導數(shù)的函數(shù)，$x_0$是$I$中的一個點，且$f(x_0)\\cdotf^{(1)}(x_0)>0$。則由導數(shù)的定義得：$$f'(x_0)=\\lim_{\\Deltax\\to0}\\frac{f(x_0+\\Deltax)-f(x_0)}{\\Deltax}$$$$f(x_0+\\Deltax)=f(x_0)+f'(x_0)\\cdot\\Deltax+R_1(x_0,\\Deltax)$$其中$R_1(x_0,\\Deltax)$是$\\Deltax\\to0$時的余項，忽略二階及以上項，則有：$$f(x_0+\\Deltax)\\approxf(x_0)+f'(x_0)\\cdot\\Deltax$$令$f(x_0+\\Deltax)=0$，則有：$$f(x_0)+f'(x_0)\\cdot\\Deltax=0$$$$\\Deltax=-\\dfrac{f(x_0)}{f'(x_0)}$$因此，我們可以利用迭代公式：$$x_{k+1}=x_k-\\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$其中$k=0,1,2,\\cdots$，并且滿足$x_0$是$I$中的一個點，$f(x_0)\\cdotf^{(1)}(x_0)>0$。二、Newton迭代法收斂性分析1.收斂階Newton迭代法的收斂速度受到$f(x)$二階及以上導數(shù)的影響。對于一個二階可導函數(shù)$f(x)$，在距離其唯一實根$\\alpha$很近的時候，我們可以將其在$\\alpha$點做泰勒展開：$$f(x)=f(\\alpha)+f^{(1)}(\\alpha)(x-\\alpha)+\\dfrac{1}{2}f^{(2)}(\\xi)(x-\\alpha)^2$$其中$\\xi$介于$x$和$\\alpha$之間，代入Newton迭代法公式：$$x_{k+1}=x_k-\\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$得到$$e_{k+1}=\\alpha-x_{k+1}=\\alpha-x_k+\\dfrac{f(x_k)}{f'(x_k)}$$將$f(\\alpha)$和$f^{(1)}(\\alpha)=0$帶入上式得到：$$e_{k+1}=\\dfrac{1}{2}\\dfrac{f^{(2)}(\\xi)}{f'(x_k)}e^2_k$$即當$f(x)$在$\\alpha$附近二階可導，并且為單根問題時，Newton迭代法的收斂階為2。2.收斂域Newton迭代法的另一個重要性質是收斂域。假設$x^*$是函數(shù)$f(x)$的一個實根，且$f(x)$滿足在$x^*$處的二階導數(shù)連續(xù)，則當$x_0$足夠接近$x^*$時，Newton迭代法都能夠收斂。具體來說，如果設$M=\\sup\\limits_{x\\in[a,b]}|f''(x)|$和$K=\\dfrac{f'(x^*)}{f(x^*)}$，則當$x_0$滿足如下不等式時，Newton迭代法定能收斂，并且收斂速度越快：$$|x_0-x^*|<\\dfrac{2|f(x_0)|}{Mf'(x_0)}$$其中$2|f(x_0)|/Mf'(x_0)$稱為收斂半徑，如果$x_0$位于收斂半徑內(nèi)，則Newton迭代法都收斂。3.情況討論當$f^{(1)}(x_k)=0$時，由泰勒展開式得：$$f(x_{k+1})=f(x_k)+\\dfrac{f^{(2)}(x_k)}{2}(x_{k+1}-x_k)^2=f(x_k)$$這時候，$x_k$已經(jīng)是方程的解，因此迭代不再繼續(xù)。通常情況下，當$f^{(1)}(x)$接近0時，Newton迭代法可能會出現(xiàn)收斂緩慢，甚至出現(xiàn)發(fā)散的情況。當$f^{(2)}(x_k)=0$時，應用泰勒展開式可得：$$e_{k+1}=\\dfrac{f'''(\\xi)}{6f'(x_k)^2}f^2(x_k)e_k^3$$因此收斂速度變?yōu)槿A，稱為超線性收斂。當$f(x)s'\\leq0$時，Newton迭代法無法收斂，此時應該選擇其他迭代方法。三、總結Newton迭代法是一種