8.2.4三角恒等變換的應(yīng)用半角公式sineq\f(α,2)＝__±eq\r(\f(1－cosα,2))__，coseq\f(α,2)＝__±eq\r(\f(1＋cosα,2))__，taneq\f(α,2)＝__±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))__，其中根號(hào)前的正負(fù)號(hào)，由角eq\f(α,2)所在象限確定．推廣公式：taneq\f(α,2)＝__eq\f(sinα,1＋cosα)__＝__eq\f(1－cosα,sinα)__．積化和差與和差化積公式1．積化和差公式：sinαcosβ＝__eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]__，cosαsinβ＝__eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]__，cosαcosβ＝__eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]__，sinαsinβ＝__－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]__．2．和差化積公式：sinα＋sinβ＝__2sin__eq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)__，sinα－sinβ＝__2coseq\f(α＋β,2)sin__eq\f(α－β,2)__，cosα＋cosβ＝__2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)__，cosα－cosβ＝__－2sin__eq\f(α＋β,2)sin__eq\f(α－β,2)__．應(yīng)用半角公式求值1．已知α∈(－eq\f(π,2)，0)，cosα＝eq\f(4,5)，則taneq\f(α,2)＝eq\a\vs4\al(（D）)A．3B.－3C.eq\f(1,3)D．－eq\f(1,3)解析：由已知得sinα＝－eq\f(3,5)，故taneq\f(α,2)＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(－\f(3,5),1＋\f(4,5))＝－eq\f(1,3).故選D.2．若sin78°＝m，則sin6°＝eq\a\vs4\al(（B）)A.eq\r(\f(m＋1,2))B.eq\r(\f(1－m,2))C.eq\f(\r(m＋1),2)D.eq\f(\r(1－m),2)解析：∵sin78°＝m，∴sin(90°－12°)＝cos12°＝m，即1－2sin26°＝m，得2sin26°＝1－m，sin26°＝eq\f(1－m,2)，則sin6°＝eq\r(\f(1－m,2)).故選B.3．若sinθ＝eq\f(3,5)，sin2θ<0，則taneq\f(θ,2)的值為eq\a\vs4\al(（D）)A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3)D．3解析：∵sinθ＝eq\f(3,5)>0，sin2θ＝2sinθcosθ<0，∴cosθ＝－eq\f(4,5)<0，∴taneq\f(θ,2)＝eq\f(1－cosθ,sinθ)＝eq\f(1＋\f(4,5),\f(3,5))D.半角公式的化簡(jiǎn)與證明4．若|cosθ|＝eq\f(1,5)，eq\f(7π,2)<θ<4π，則coseq\f(θ,2)的值為eq\a\vs4\al(（C）)A.eq\f(\r(10),5)B．－eq\f(\r(10),5)C.eq\f(\r(15),5)D．－eq\f(\r(15),5)解析：∵|cosθ|＝eq\f(1,5)，eq\f(7π,2)<θ<4π，∴cosθ＝eq\f(1,5)，eq\f(θ,2)∈(eq\f(7π,4)，2π)，∴coseq\f(θ,2)>0，∴coseq\f(θ,2)＝eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝eq\r(\f(1＋\f(1,5),2))＝eq\f(\r(15),5).故選C.5．如果|cosθ|＝eq\f(1,5)，eq\f(5π,2)<θ<3π，那么sineq\f(θ,2)的值為eq\a\vs4\al(（C）)A．－eq\f(\r(10),5)B.eq\f(\r(10),5)C．－eq\f(\r(15),5)D.eq\f(\r(15),5)解析：由eq\f(5π,2)<θ<3π可知θ是第二象限角，∴cosθ＝－eq\f(1,5).∵eq\f(5π,4)<eq\f(θ,2)<eq\f(3π,2)，∴eq\f(θ,2)為第三象限角，∴sineq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1－cosθ,2))＝－eq\f(\r(15),5).故選C.6．已知cosθ＝－eq\f(7,25)，θ∈(π，2π)，則sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\a\vs4\al(（D）)A．－eq\f(7,5)B.eq\f(7,5)C．－eq\f(1,5)D.eq\f(1,5)解析：∵θ∈(π，2π)，∴eq\f(θ,2)∈(eq\f(π,2)，π)，∴sineq\f(θ,2)＝eq\r(\f(1－cosθ,2))＝eq\f(4,5)，coseq\f(θ,2)＝－eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝－eq\f(3,5)，∴sineq\f(θ,2)＋coseq\f(θ,2)＝eq\f(1,5).故選D.和差化積公式的應(yīng)用7．sinα＋sinβ＝eq\f(\r(3),3)(cosβ－cosα)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，則α－β等于eq\a\vs4\al(（D）)A．－eq\f(2π,3)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,3)D.eq\f(2π,3)解析：由已知得2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝－eq\f(\r(3),3)·(－2sineq\f(α＋β,2)sineq\f(α－β,2))，∵0＜eq\f(α＋β,2)＜π，－eq\f(π,2)＜eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，∴sineq\f(α＋β,2)＞0.∴taneq\f(α－β,2)＝eq\r(3)，∴eq\f(α－β,2)＝eq\f(π,3).∴α－β＝eq\f(2π,3).故選D.8．已知sinα＋sinβ＝eq\f(1,4)，cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，則tan(α＋β)的值為__eq\f(24,7)__．解析：由sinα＋sinβ＝eq\f(1,4)，得2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝eq\f(1,4)，由cosα＋cosβ＝eq\f(1,3)，得2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝eq\f(1,3)，兩式相除，得taneq\f(α＋β,2)＝eq\f(3,4)，則tan(α＋β)＝eq\f(2tan\f(α＋β,2),1－tan2\f(α＋β,2))＝eq\f(2×\f(3,4),1－（\f(3,4)）2)＝eq\f(24,7).9．已知sinα＋sinβ＝eq\f(21,65)，cosα＋cosβ＝eq\f(27,65)，則eq\f(sinβ－sinα,cosβ－cosα)＝__－eq\f(9,7)__．解：由sinα＋sinβ＝eq\f(21,65)，可得2sineq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝eq\f(21,65)，①由cosα＋cosβ＝eq\f(27,65)，可得2coseq\f(α＋β,2)coseq\f(α－β,2)＝eq\f(27,65)，②eq\f(①,②)可得eq\f(sin\f(α＋β,2),cos\f(α＋β,2))＝eq\f(21,27)＝eq\f(7,9).eq\f(sinβ－sinα,cosβ－cosα)＝eq\f(2cos\f(α＋β,2)sin\f(β－α,2),－2sin\f(α＋β,2)sin\f(β－α,2))＝－eq\f(cos\f(α＋β,2),sin\f(α＋β,2))＝－eq\f(9,7).10．若sinθ＋sinμ＝eq\f(\r(3),3)(cosμ－cosθ)，且θ∈(0，π)，μ∈(0，π)，計(jì)算θ－μ＝__eq\f(2π,3)__．解析：因?yàn)閟inθ＋sinμ＝2sineq\f(θ＋μ,2)coseq\f(θ－μ,2)，而cosμ－cosθ＝－2sineq\f(μ＋θ,2)sineq\f(μ－θ,2)，代入到等式sinθ＋sinμ＝eq\f(\r(3),3)(cosμ－cosθ)得2sineq\f(θ＋μ,2)coseq\f(θ－μ,2)＝－2×eq\f(\r(3),3)sineq\f(μ＋θ,2)·sineq\f(μ－θ,2)，所以taneq\f(θ－μ,2)＝eq\r(3).因?yàn)棣取?0，π)，μ∈(0，π)，所以eq\f(θ－μ,2)＝eq\f(π,3)，解得θ－μ＝eq\f(2π,3).積化和差公式的應(yīng)用11．sin220°＋cos250°＋sin20°·cos50°＝__eq\f(3,4)__．解析：原式＝eq\f(1,2)(1－cos40°)＋eq\f(1,2)(1＋cos100°)＋sin20°cos50°＝1＋eq\f(1,2)(cos100°－cos40°)＋eq\f(1,2)(sin70°－sin30°)＝eq\f(3,4)－sin70°sin30°＋eq\f(1,2)sin70°＝eq\f(3,4).12．在△ABC中，若sinAsinB＝cos2eq\f(C,2)，則△ABC是eq\a\vs4\al(（B）)A．等邊三角形B．等腰三角形C．不等邊三角形D．直角三角形解析：由已知得eq\f(1,2)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝eq\f(1,2)(1＋cosC)．又A＋B＝π－C，∴cos(A－B)－cos(π－C)＝1＋cosC.∴cos(A－B)＝1.又－π＜A－B＜π，∴A－B＝0.∴A＝B，故△ABC為等腰三角形．故選B.13．設(shè)直角三角形中兩銳角為A和B，則cosAcosB的取值范圍是eq\a\vs4\al(（A）)A．(0，eq\f(1,2)]B．(0，1)C．[eq\f(1,2)，1)D．[eq\f(\r(3),4)，1)解析：由題意得A＋B＝C＝eq\f(π,2)，則cosAcosB＝cosAsinA＝eq\f(1,2)sin2A.又∵0<A<eq\f(π,2)，∴0<2A<π，∴cosAcosB＝eq\f(1,2)sin2A∈(0，eq\f(1,2)]．故選A.14．已知α，β均為銳角，且sin2α＝2sin2β，則eq\a\vs4\al(（A）)A．tan(α＋β)＝3tan(α－β)B