里葉變換的學(xué)習(xí)一直以來對傅里葉變換的理解不夠深入，對于用計算機(jī)實(shí)現(xiàn)采集到的離散信號進(jìn)行頻譜分析也沒有實(shí)際操作過。信號采集的硬件部分我已經(jīng)基本掌握，在上課所做的ppi中也有所體現(xiàn)，而對采集到的信號進(jìn)行軟件處理，我卻做得很少，所以希望利用本次課的機(jī)會把離散傅里葉變換學(xué)會。下而首先根據(jù)閱讀的書籍闡述對傅里葉變換的理解，然后利用matlab和LabVIEW對一個信號進(jìn)行了FFT變換。對于信號處理我們是做傅里葉變換，對于系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型處理我們是做拉普拉斯變換，將S換成j3就是系統(tǒng)的頻率特性，頻率特性我們用Bode圖可以研究系統(tǒng)的穩(wěn)左性。這些都已經(jīng)學(xué)過。那么系統(tǒng)進(jìn)行時域向復(fù)數(shù)域或者頻域變換的目的是研究系統(tǒng)的穩(wěn)左性等特性，信號的傅里葉變換的目的是在變換之后能夠看到該信號由哪些頻率的信號組成，而對于機(jī)械系統(tǒng)都有其固有頻率，所以對分辨系統(tǒng)組成等問題提供了很好的解決方法。傅里葉提出：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。這是傅里葉變換的根本所在，這句話揭示了信號的本質(zhì)組成，也可以說級數(shù)（如泰勒級數(shù)和傅里葉級數(shù)等）可以近似或者說在無窮的情況下等于某種函數(shù)。諧波信號是我們研究和認(rèn)識最清楚的一類信號，從諧波信號的表達(dá)式中我們可以很清楚的看到頻率、相位和幅值信息。所以傅里葉的想法實(shí)在是非常的絕，這是偉大的創(chuàng)造。此處需指出一個問題，就是傅里葉變換跟函數(shù)變換是不同的，通常意義上的函數(shù)變換是映射，而傅里葉變換不是映射，是無窮序列的和與函數(shù)值的近似。連續(xù)周期信號用傅里葉級數(shù)展開，連續(xù)非周期信號用傅里葉變換，離散周期信號用離散傅里葉變換，離散非周期信號用離散時域傅里葉變換，如圖1所示。這些我們都知道，而且在本科階段就已經(jīng)學(xué)習(xí)過。但機(jī)械冷業(yè)的學(xué)生很多學(xué)校都沒有開設(shè)實(shí)驗(yàn)課或者沒有講解離散傅里葉變換，導(dǎo)致像我這樣的學(xué)生就一直沒有理解離散傅里葉變換，也不會用軟件在工程實(shí)際中去實(shí)現(xiàn)離散信號的頻譜分析。1vpeolilanbfoim￥AExample1vpeolilanbfoim￥AExampleSignalFouiiei心ixgCwrz?'*2睥TinjeFoibTiaiisfcni;圖1信號與傅里葉變換方法對應(yīng)關(guān)系傅里葉級數(shù)表達(dá)式:/(/)+咐cosnco0t+bnSYdneo^dt\n/(/)/r=l傅里葉變換表達(dá)式:F(?=￡/(rKA從以上兩個表達(dá)式我們可以看到兩個問題：第一，連續(xù)周期信號的頻譜是離散的，連續(xù)非周期信號的頻譜是連續(xù)的，這是因?yàn)橐陨蟽蓚€il算公式的原因，一個是離散的和，一個是積分，這很容易理解；第二，他們在時間上都是無窮大的。離散傅里葉變換表達(dá)式：N-1X伙)=工兀(舁)比化《=0±，〃一1上式中k相當(dāng)于3,但并不等于，有一個換算關(guān)系，后面再詳細(xì)敘述。N是采樣點(diǎn)的個_-j2n/N數(shù)，=e,也就是相當(dāng)于e,求和相當(dāng)于積分。我們很容易發(fā)現(xiàn)離散傅里葉變換與連續(xù)傅里葉變換的一個不同之處，那就是積分區(qū)間不是無窮大的。原因是離散傅里葉變換是在計算機(jī)上去做，il算機(jī)無法處理無窮的數(shù)據(jù)，只能是有限的數(shù)據(jù)。那么這就相當(dāng)于給原始信號加了矩形窗，而加窗處理不可避免的帶來能量的泄漏，使得頻譜幅值變小，精度降低。這就導(dǎo)致很多人研究離散傅里葉變換的校正問題。此處我們先不談這個問題。由于DFT(DiscreteFourierTransform,DFT存在對復(fù)數(shù)計算量大的問題，人們就提出了快速傅里葉變換FFT(FastFourierTransform,FFT)。至于快速傅里葉變換的算法有很多種，在此不要敘述，因?yàn)槲也皇且パ芯靠焖俑道锶~變換的方法，我是要用FFT。下而對Matlab中傅里葉變換函數(shù)的具體用法作介紹，這也就是我學(xué)習(xí)FFT的重點(diǎn)所在。采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FFT變換了。N個采樣點(diǎn)，經(jīng)過FFT之后，就可以得到N個點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算，通常N取2的整數(shù)次方。假設(shè)采樣頻率為Fs/信號頻率F,采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個點(diǎn)就對應(yīng)著一個頻率點(diǎn)。這個點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關(guān)系呢？假設(shè)原始信號的峰值為代那么FFT的結(jié)果的每個點(diǎn)(除了第一個點(diǎn)直流分量之外)的模值就是A的N/2倍。而第一個點(diǎn)就是宜流分量，它的模值就是直流分量的N倍。而每個點(diǎn)的相位呢，就是在該頻率下的信號的相位。第一個點(diǎn)表示直流分量(即0Hz),而最后一個點(diǎn)N的再下一個點(diǎn)(實(shí)際上這個點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+1個點(diǎn)，也可以看做是將第一個點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后)則表示采樣頻率Fs,這中間被N-1個點(diǎn)平均分成N等份，每個點(diǎn)的頻率依次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)Ts/N?由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N,如果采樣頻率Fs為1024H乙采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hzo1024HZ的采樣率采樣1024點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并做FFT,則結(jié)果可以分析到1H乙如果采樣2秒時間的信號并做FFT,則結(jié)果可以分析到0.5Hz。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數(shù)關(guān)系。下而以一個實(shí)際的信號來做說明。假設(shè)我們有一個信號，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為75Hz、相位為90度、幅度為1.5V的交流信號。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：x(t)=2+3sin(100nt-30)+1.5sin(150irt+90式中cos參數(shù)為弧度，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對這個信號進(jìn)行采樣，總共采樣256點(diǎn)。按照我們上而的分析，F(xiàn)n=(n-l)*Fs/N,我們可以知道，每兩個點(diǎn)之間的間距就是1Hz,第n個點(diǎn)的頻率就是n-1。我們的信號有3個頻率：0Hz、50Hz、75Hz應(yīng)該分別在第1個點(diǎn)、第51個點(diǎn)、第76個點(diǎn)上出現(xiàn)11矗值，苴它各點(diǎn)應(yīng)該接近0°實(shí)際情況如何呢？我們來看看FFT的結(jié)果如圖2所示。圖3為幅頻譜匚程序?yàn)椋?=0:1/256:1;x=2+3*sin(2*pi*50%30*pi/180)+l5*sin(2冬pi*75h+90*p”180)；xfft=fft(x?257);absxfft=abs(xfft);figureplot(t,x);gridon;figureplot(0:256,xfft)；gridon;figureplot(0:256,absxfft);gridon;從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將這三個點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來細(xì)看：1點(diǎn):514+0i51點(diǎn):32.9-358.5i76點(diǎn)：98.8+135.5i分別計算這三個點(diǎn)的模值，結(jié)果如下：1點(diǎn):514點(diǎn)：57.42點(diǎn)：360點(diǎn)：89.59點(diǎn)：39.6點(diǎn)：167點(diǎn):67.5

按照公式，可以汁算出直流分量為：514/N=514/256=2.008：50Hz信號的幅度為：360