§2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布定義

設(shè)

X

是一隨機(jī)變量，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它分布函數(shù)，則稱

X

是連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)是它概率密度函數(shù)(p.d.f.

)，簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或概率密度．連續(xù)型隨機(jī)變量概念第1頁第1頁p.d.f.

f(x)性質(zhì)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢查一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)型隨機(jī)變量密度函數(shù)，或求其中未知參數(shù)．在f(x)

連續(xù)點(diǎn)處，f(x)描述了X在

x

附近單位長(zhǎng)度區(qū)間內(nèi)取值概率．

第2頁第2頁分布函數(shù)F(x)與密度函數(shù)f(x)幾何意義xf(x)xF(x)第3頁第3頁積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下積分，所得變上限函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)，因此幾乎處處可導(dǎo)．線段質(zhì)量長(zhǎng)度密度第4頁第4頁注意

對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X，P(X=a)=0這里a

能夠是隨機(jī)變量

X

一個(gè)也許取值．命題連續(xù)型隨機(jī)變量取任一常數(shù)概率為零．強(qiáng)調(diào)

概率為1(零)事件未必發(fā)生(不發(fā)生)．事實(shí)上第5頁第5頁對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量Xbxf(x)a第6頁第6頁xf(x)a第7頁第7頁例1

有一批晶體管，已知每只使用壽命X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為：(c為常數(shù))(1)求常數(shù)c．(2)已知一只收音機(jī)上裝有3只這樣晶體管，每只晶體管能否正常工作互相獨(dú)立，求在使用最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞概率.其它解(1)c=1000第8頁第8頁

設(shè)事件A

表示一只晶體管壽命小于1500小時(shí)

設(shè)在使用最初1500小時(shí)三只晶體管中損壞只數(shù)為Y

(2)已知一只收音機(jī)上裝有3只這樣晶體管，每只晶體管能否正常工作互相獨(dú)立，求在使用最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞概率.第9頁第9頁(1)均勻分布(a,b)上均勻分布,記作常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布若X密度函數(shù)為，則稱X服從區(qū)間其中X分布函數(shù)為其它第10頁第10頁xf(x)abxF(x)ba第11頁第11頁

即X取值在(a，b)內(nèi)任何長(zhǎng)為

d–c小區(qū)間概率與小區(qū)間位置無關(guān),只與其長(zhǎng)度成正比．這正是幾何概型情形．

在進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí)，假如在小數(shù)點(diǎn)后第

k位進(jìn)行四舍五入，則產(chǎn)生誤差能夠看作服從．應(yīng)用場(chǎng)合第12頁第12頁(2)指數(shù)分布若

X密度函數(shù)為則稱

X

服從參數(shù)為指數(shù)分布．記作：．X

分布函數(shù)為：>0為常數(shù)，第13頁第13頁1xF(x)0xf(x)0第14頁第14頁對(duì)于任意0<a<b,

應(yīng)用場(chǎng)合用指數(shù)分布描述實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中服務(wù)時(shí)間；電話問題中通話時(shí)間；無線電元件壽命；動(dòng)物壽命．指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布近似．第15頁第15頁若

X~Ｅ()，則因此，又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”分布．指數(shù)分布“無記憶性”事實(shí)上第16頁第16頁(3)正態(tài)分布若

X密度函數(shù)為則稱

X服從參數(shù)為，正態(tài)分布記作

X~N(，)為常數(shù)，第17頁第17頁N(-3,1.2)-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3第18頁第18頁f(x)性質(zhì)圖形關(guān)于直線x=對(duì)稱：

f(+x)=f(-x)在x=

時(shí),

f(x)取得最大值在x=±

時(shí),曲線

y=f(x)

在相應(yīng)點(diǎn)處有拐點(diǎn)．曲線

y=f(x)以x軸為漸近線．曲線

y=f(x)圖形呈單峰狀．

第19頁第19頁-6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.3第20頁第20頁f(x)兩個(gè)參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對(duì)于不同,對(duì)應(yīng)f(x)形狀不改變，只是位置不同．—形狀參數(shù)固定，對(duì)于不同，f(x)形狀不同．附近值概率更大.

x=1所相應(yīng)拐點(diǎn)比x=2所相應(yīng)拐點(diǎn)更靠近直線

x=．若

1<2

則前者取

第21頁第21頁大小第22頁第22頁應(yīng)用場(chǎng)合

若隨機(jī)變量X受到眾多互相獨(dú)立隨機(jī)原因影響，而每一個(gè)別原因影響都是微小，且這些影響能夠疊加，則X服從正態(tài)分布.可用正態(tài)變量描述實(shí)例非常之多：各種測(cè)量誤差；人生理特性；工廠產(chǎn)品尺寸；農(nóng)作物收獲量；海洋波浪高度；金屬線抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生們考試成績(jī)；第23頁第23頁一個(gè)主要正態(tài)分布：N(0,1)

—原則正態(tài)分布(x)

是偶函數(shù)，其圖形關(guān)于縱軸對(duì)稱它分布函數(shù)記為(x)，其值有專門表可查．第24頁第24頁5.0)0(=F-3-2-11230.10.20.30.4第25頁第25頁-xx0.10.20.30.4第26頁第26頁對(duì)普通正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換第27頁第27頁例2設(shè)

X~N(1，4)，求

P(0X1.6)解P380附表3第28頁第28頁例3已知且

P(2<X<4)=0.3，求

P(X<0)．解一第29頁第29頁解二圖解法由圖0.2-22460.050.10.150.20.3第30頁第30頁例43原理設(shè)

X~N(,2)，求解第31頁第31頁原則正態(tài)分布上

分位數(shù)z設(shè)

X~N(0