理解與總結(jié)向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用──以人教版教科書為例摘要：向量的相關(guān)知識的探索和學(xué)習(xí)在中學(xué)教學(xué)中有著十分重要的意義和應(yīng)用價值。本文將以人教版教科書為例，根據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)中向量知識的相關(guān)數(shù)據(jù)，將向量分為平面向量和空間向量逐個研究它們在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，并結(jié)合相關(guān)資料在很多學(xué)者已有的研究基礎(chǔ)上對其進(jìn)行分析探索并找出問題所在，總結(jié)出來后再提出相應(yīng)的解決方法。 關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；向量應(yīng)用；平面向量；空間向量

Abstract:Itcontainsveryimportantmeaningandusingvaluetoexploreandstudytheknowledgeofvectorduringourmiddleschoolinstructions.Setanexampleofhumaneducationeditiontextbook,refertothedataofvectorknowledgeofmiddleschool,thisessaywilldividevectorastwopartswithplaneandspacetomakeresearchofapplicationduringmiddleschoolmathematics.Furthermore,findingoutwheretheproblemis,throughanalysisandexplorationonthebasisofcurrentresearchandrelatedmaterial.Toseethesolutionunderoursummaryatlast.Keywords:Mathematics;vectorapplication;planevector;spacevector大家都知道，在中學(xué)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中向量是必不可少的知識點。它在作為代數(shù)研討對象的同時也為探究幾何的學(xué)者視之珍寶，甚至被稱為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育重要標(biāo)志之一。在它被引入中學(xué)數(shù)學(xué)以后，中學(xué)數(shù)學(xué)知識教學(xué)充滿了無限生機(jī)[1]。它在幾何和代數(shù)的研究中起著重要的作用，甚至被稱為幾何和代數(shù)之間的橋梁。因此，仔細(xì)的、深入的分析研究向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用對每個數(shù)學(xué)教師來說都是很有必要的。 在整個高中數(shù)學(xué)知識體系中，向量這部分知識主要被分為兩部分：平面向量、空間向量。所以，本文接下來將分別從這兩部分內(nèi)容進(jìn)行深入分析探究。1中學(xué)數(shù)學(xué)中平面向量的應(yīng)用第1頁(共11頁)1.1平面向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位

平面矢量(即向量)是中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一個新內(nèi)容,它也是一個順應(yīng)國家新課標(biāo)要求而突出的新高考點。向量(矢量)的知識和思想不僅應(yīng)用在數(shù)學(xué)上，甚至在物理或者其他學(xué)科中也占據(jù)重要地位。它可以把數(shù)量與圖形連接成一個整體,也可以與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，從而找到相通點。高中學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識體系里解析幾何占據(jù)著一個非常重要的位置。其中，某些類型的問題如果用傳統(tǒng)方法來解決的話結(jié)果可能會發(fā)展的五花八門,在這里,不妨用矢量（即向量）的形和數(shù)量之間的變換去思考,就會大大簡化了操作過程。平面矢量的一些知識對學(xué)生來說可能比較抽象，所以中學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)活動中應(yīng)該注重幫助和教導(dǎo)學(xué)生提升自己對知識的理解能力[2]，從而可以更進(jìn)一步的理解和運用平面向量的運算法則。1.2平面向量在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中存在的問題

了解高中數(shù)學(xué)知識理論體系的總體框架，再結(jié)合新課標(biāo)的要求會發(fā)現(xiàn)平面向量知識的學(xué)習(xí)是課本必修四，必修四是被許多學(xué)校安排在高一學(xué)習(xí)的，而包括解析幾何的必修二則放到后面再學(xué)。最關(guān)鍵的問題是在高中課本里將這兩方面知識放在一起的地方并不多，所以學(xué)生在大多學(xué)習(xí)活動中就只會用“平面向量”的相關(guān)知識來處理平面向量的問題，而不會想到用平面向量的知識來處理解析幾何問題。如果遇到解析幾何的問題時選擇采用向量法的話會使學(xué)生的思路更加清晰，過程簡便，還可能會有意想不到的神奇效果。向量在中學(xué)數(shù)學(xué)甚至高等數(shù)學(xué)中都占據(jù)“要塞”地位，有很多學(xué)者都對它做過各種總結(jié)概述，但是大家對中學(xué)課程中向量內(nèi)容發(fā)展的整體把握就比較缺乏[3]。本人在大學(xué)生活中曾經(jīng)擔(dān)任過一些中學(xué)生的兼職數(shù)學(xué)輔導(dǎo)老師，也在學(xué)校安排的統(tǒng)一實習(xí)期間給璧山來鳳中學(xué)校高一的學(xué)生上過三個月的課，其中就有涉及到部分進(jìn)行平面向量知識的學(xué)習(xí)。在此以該校高一二班和九班的123名學(xué)生為研究對象，結(jié)合教學(xué)期間批改作業(yè)等方面累積總結(jié)的經(jīng)驗得出以下問題。1.2.1教師在教授過程中容易出現(xiàn)的問題

發(fā)現(xiàn)的問題：不注重講明基礎(chǔ)知識點和易錯點。事實上，書籍中平面向量上的一些基本概念、基本定理和性質(zhì)、基本運算等相關(guān)知識點都是非常簡單的，所以有時候老師們就可能不會注重和學(xué)生講明這些或者沒有在課堂上提出易錯點，從而導(dǎo)致許多學(xué)生在課堂上不愿意和不耐煩地去聽老師的講解。因為簡單，大部第2頁(共11頁)分的知識內(nèi)容和普通代數(shù)的知識很相似，所以學(xué)生們上課不聽講，放學(xué)后也很少看到他們能做到主動去看教材課本或者教輔資料書。但是，學(xué)生往往會在越是簡單的地方越容易出錯，相對應(yīng)的陷阱也越多。例1.1已知下列命題： r

(m（1）若rr rrmn×=×且r

m1r

0，則rn=r

p;（2）若rr

mn×=0，則r

mr=0或r rn=0;（3）mr和nr是平面內(nèi)兩個非零向量，而且互不平行，又滿足urm=r

n，則r+n r

)(×-rn)r=0;（4）現(xiàn)在有mr和nr平行，于是urr

mn×=urmr×n.其中真命題的個數(shù)是（）.A0B1C3D2解析本題考查的是學(xué)生對平面矢量(即向量)的基礎(chǔ)知識的一些有所了解。若rr rrmn×=×且r

m1r

0可以得到r

m r

×-(r

p)=0,則r

m^r(n-r

p)或rn=r

p,故（1）錯；若rnrr

mn×=0,則r

m^rn,故（2）錯；若r

m=則 r(mr+n r)(m-rn) r=m2-rn2=r

m2-rn2=0,故（3）錯；rn=r

p,故（1）錯；若mr與nr平行，夾角為0o或180o,則故（4）錯，從而選A.易錯點在于很多學(xué)生表現(xiàn)出的問題是通常會忘記或者不清楚向量乘向量的結(jié)果分析出來應(yīng)該是常數(shù)；向量平行是有正反兩個方向的，這與普通的線段平行不一樣；等式兩邊的相同向量不可以像常數(shù)一樣直接消去。正是因為平時不在意，才會導(dǎo)致很多基礎(chǔ)理論知識沒有掌握好，才會在不經(jīng)意間落入這些看似簡單的陷阱。1.2.2學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)的問題

根據(jù)表1.1數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)一些問題，發(fā)現(xiàn)的第一個問題：邏輯推理能力較差。中學(xué)階段就是培育學(xué)生邏輯推理能力的黃金階段，這個階段在心理學(xué)叫做關(guān)鍵期，高中階段是初等教育過度至高等教育的階段，所以更為重要。由于學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)的內(nèi)容較之高中的內(nèi)容更簡單，部分學(xué)生在數(shù)學(xué)邏輯推理能力方面沒有打好基礎(chǔ)，上了高中后難度大大增加[4]，這就導(dǎo)致他們對新學(xué)的較深層次的數(shù)學(xué)知識無法理解透徹，從而造成學(xué)習(xí)矢量的數(shù)學(xué)知識更加困難。第3頁(共11頁)表1.1學(xué)生各項能力統(tǒng)計表較強(qiáng)一般很差邏輯推理能力8人26人89人

77人

20人數(shù)學(xué)運算能力21人25人向量表示能力42人61人例1.2已知點N(1,2),且原點O分uuuurMN的比為-3,又r

a=(2,2),計算出a在uuuurMN上的投影。=-uuur3ON,從而得到解析設(shè)Mx,y,由題意可知uuuurMO

uuur

ON=-3即uuuurMO(-x,-y)=-31,2(),由此解出x=3,y=6,故uuuur

MN=(-2,4),則uuuur

MN=20,所以a在uuuurMN上的投影為ruuuuraMN

uuuur

MN=20.5這個問題的目的是測試學(xué)生自己對平面向量的坐標(biāo)運算以及投影方面相關(guān)知識的掌握情況和學(xué)生是否能夠靈活應(yīng)用。很多學(xué)生無法自己進(jìn)行解答或者解答錯誤是因為他們沒有推導(dǎo)出uuuur

MN=-(2,4),這體現(xiàn)了學(xué)生們在邏輯推理能力方面的不足。發(fā)現(xiàn)的第二個問題：數(shù)學(xué)計算能力不足。向量的運算可以類比學(xué)生之前學(xué)習(xí)的數(shù)量、某些多項式的運算規(guī)律一樣來進(jìn)行運算，這是高中生在數(shù)學(xué)運算思維方面理解上的一次有質(zhì)跨越，對他們建立自己獨特的數(shù)學(xué)思維體系有很大的幫助[5]。許多學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的過程中會經(jīng)常出現(xiàn)混淆運算對象的錯誤，從而導(dǎo)致計算過程的思路不明確，沒有正確遵循用矢量的運算法則來解決平面向量的問題，卻把它們當(dāng)作是普通的常數(shù)來運算。再有就是許多同學(xué)會認(rèn)為向量的運算都很簡單，所以學(xué)生平時課堂上進(jìn)行練習(xí)或者課下寫作業(yè)時就懶得計算，直接抄答案。這導(dǎo)致學(xué)生的計算能力并沒有得到鍛煉，到了考試必須要寫的時候就出現(xiàn)了各種各樣的失誤。例1.3如圖所示，在ABO中,uuurOC=1uuuruuurOAOD=1uuurOBAD與BC相交于點M42,,設(shè)uuurOAuruuur=mOBr=n試著用mr和nr來表示uuuurOM.第4頁(共11頁)圖1-1解析由DMA三點共線,可得存在實數(shù)p使得下式成立uuuurOM=uuurpOD+-( uuurpOA)=-( rpm)+prn.2同理可得uuuurOMuuur=qOB+-( uuurqOC) 1=-qr

mr+qn,根據(jù)向量相等的條件可求出p和q4的值，從而可用向量mr和nr來表示uuuurOM.本題研究主要考查了共線向量的基本概念定理:若點G在直線AB上，O為直線AB外任意一點，則存在實數(shù)k使得uuurOGuuur=kOA+-( uuurkOB)的應(yīng)用，屬于平面向量的基礎(chǔ)理論知識的應(yīng)用。很多學(xué)生回答錯誤或者答不上來是因為他們?nèi)狈ο嚓P(guān)的計算能力，數(shù)學(xué)邏輯思維不夠強(qiáng)，不知道如何把數(shù)學(xué)的各個知識點聯(lián)系起來再運用到解題里面。1.3平面向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略

首先，要注重培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識學(xué)習(xí)。南朝范曄曾經(jīng)說過：墻高基下，雖得必失。不管做什么事情，打好基礎(chǔ)是最重要的，再聰明的人也兜不住知識性的漏洞。掌握的專業(yè)知識基礎(chǔ)很好,在學(xué)習(xí)新知識的發(fā)展基礎(chǔ)上就會更容易,也可以對學(xué)習(xí)新知識產(chǎn)生一種強(qiáng)烈的好奇心和濃厚的興趣?；局R如果不堅定,就不會有絕對靈活運用專業(yè)知識解決相應(yīng)的問題,也不會有興趣去學(xué)習(xí)新的知識。更甚的，學(xué)生的主動性也不會可以得到一個很好的發(fā)揮,使其無法培養(yǎng)和提高創(chuàng)新思維能力。其次，注重培養(yǎng)學(xué)生的各項能力。應(yīng)國家新課標(biāo)的教育要求，再結(jié)合我國的教育現(xiàn)狀發(fā)現(xiàn)以學(xué)生為主是中學(xué)數(shù)學(xué)老師在教學(xué)設(shè)計中必須包含的。作為教師要做到把主體放在學(xué)生身上，保證明確他們的主體地位，多放一些注意力在他們身上。老師必須要會教導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)矢量知識時，結(jié)合自身的數(shù)學(xué)知識及其學(xué)習(xí)的第5頁(共11頁)經(jīng)驗，從而提高學(xué)生的各種學(xué)習(xí)能力。以老師的角度去看矢量（即向量）這部分知識的話和學(xué)生是大不相同的，所以就更要注意它在知識的連續(xù)性和系統(tǒng)性方面的教學(xué)，還要引導(dǎo)學(xué)生對自己學(xué)過的知識進(jìn)行總結(jié)，從而培養(yǎng)學(xué)生思維能力和邏輯推理能力。要是能把握好以上幾點，就能讓學(xué)生在學(xué)到知識的時候也拓展了思路，進(jìn)一步養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的良好習(xí)慣[6]。2中學(xué)數(shù)學(xué)中空間向量的應(yīng)用空間矢量(即向量)是平面向量的拓展擴(kuò)大，也就是從原先的二維平面到后面的三維空間。因此，它的表示方法的研究以及很多基礎(chǔ)理論知識都要發(fā)生一些從二維到三維的變化。2.1空間向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的地位和作用

隨著學(xué)生年齡的增長，要學(xué)的知識也與之劇增，高中的知識學(xué)習(xí)也會越來越復(fù)雜和困難。在整個高中數(shù)學(xué)里，立體幾何知識是必不可少的重要組成部分。它作為平面幾何的拓展為中學(xué)數(shù)學(xué)的知識體系增添了一番別樣的、特殊的色彩。說到這里，學(xué)習(xí)用空間向量的知識去處理一些立體結(jié)構(gòu)幾何的問題，就又為中學(xué)生們提供了嶄新的視角。空間矢量知識也是高考的重點考查點，像證明空間線與面之間的關(guān)系、求二面角的大題等。其中最難的地方是在建立空間直角坐標(biāo)和該系統(tǒng)的精確計算方面。例如運用空間矢量的知識去求解二面角的問題，這里就全面考察了空間向量的建系、求法向量、求角等知識點[7],也經(jīng)常作為高考出題的重點和熱點。巧妙利用空間矢量的知識可以很方便地搞定空間幾何關(guān)系，包括形狀，大小和位置情況等等?？臻g向量它作為解決代數(shù)問題中增加的理想工具，提高了學(xué)生對學(xué)習(xí)進(jìn)行立體幾何的喜歡的興趣和學(xué)習(xí)工作效率。2.2空間向量在中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用中存在的問題

和平面矢量一樣，空間向量在教學(xué)活動過程中也存在著許多不同的問題。因為筆者曾于安徽六安市舒州中學(xué)代課，在此以該校高二八班和十一班的180名學(xué)生為研究對象，結(jié)合教學(xué)期間批改作業(yè)等方面累積總結(jié)的經(jīng)驗得出以下問題。第6頁(共11頁)2.2.1教師在教授過程中容易出現(xiàn)的問題發(fā)現(xiàn)的問題：忽視教學(xué)生建坐標(biāo)系的重要性?？焖俚胤治霾⒔鉀Q這些立體幾何問題的最基本方法步驟是建立一個正確的空間直角坐標(biāo)系，也是最關(guān)鍵的部分。所以如果學(xué)生在這里遇到困難，那么后就根本不能繼續(xù)下去了，也就無法處理與立體幾何相關(guān)的許多問題。很多教師可能覺得這是基礎(chǔ)性技能，所以就不是很注重教學(xué)生如何建系。但是對那些基礎(chǔ)不太好的學(xué)生來說，如果老師不仔細(xì)講解，那么正確快速建立坐標(biāo)系就是個很大的問題。例2.1如圖所示，五面體ABC- ABC1 1 1是個直三棱柱，在等腰直角三角形VABC中有AB=AA1且DBAC=90o,又分別有點DEF作為BACCBC1 1 的中點．①證明：DE//平面ABC;②證明：1BF^平面AEF.圖2-1證明根據(jù)題意以A為原點，分別以ABACAA1所在直線的方向為空間直角坐標(biāo)系的 x軸,y軸,z軸得到結(jié)果如下圖，再令 AB=AA1=2,則有A(0,0,0,)E(0,2,1,)F(1,1,0,)B1(2,0,2,)D(1,0,1,) A1(0,0,2).第7頁(共11頁)圖2-2①uuur

DE=(1,2,0),平面ABC的法向量為AA=1 (0,0,2),QuuuruuurDEAA1=0,DE?平面ABC,\有DE//平面ABC.②uuuur

BF=-1 (1,1,2),uuur

EF=(1,1,1)TuuuuruuurBFEF1=0,\uuuur1BF^uuurEFT1BF^EF,又uuuuruuurBFAF1=0Tuuuur1BF^uuurAF,\1BF^AF,QAF?EF=F,從而1BF^平面AEF.本題目的主要目的在于建立空間直角坐標(biāo)系與線和面垂直的相關(guān)性質(zhì)定理。該題的建系方法十分簡單明了，直接以A點為原點，AB為x軸,AC為y軸,AA1為z軸建立一個空間直角坐標(biāo)系。解答發(fā)生錯誤的同學(xué)是因為沒有分清x和y軸之間的順序關(guān)系，把它們搞反了，然后各個點對應(yīng)的坐標(biāo)就全錯了。這種錯誤的出現(xiàn)通常是學(xué)生空間中的想象力不夠?qū)е碌?。還有的同學(xué)不會找點的空間位置，這是基于因為他們沒有充分理解空間幾何圖形中的點是如何通過確定的，對空間向量的坐標(biāo)分解知識學(xué)習(xí)掌握不牢固，由于點表示錯誤進(jìn)而影響導(dǎo)致向量表示錯誤，最終使得算出來的答案錯誤。2.2.2學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中容易出現(xiàn)的問題根據(jù)表2.1數(shù)據(jù)可發(fā)現(xiàn)以下問題，發(fā)現(xiàn)的第一個問題：無法聯(lián)想到空間向量解決幾何問題。許多學(xué)生缺乏空間想象和數(shù)學(xué)邏輯思維能力，因此當(dāng)遇到一些幾何問題時，他們壓根就想不到要利用這方面的知識來解決，這也是中學(xué)矢量（即向量）教學(xué)和幾何教學(xué)中的一大難點。第8頁(共11頁)表2.1學(xué)生各項能力統(tǒng)計表較強(qiáng)一般很差熟練使用空間向量法132人29人19人聯(lián)想到空間向量法36人71人73人只用向量法解幾何題117人33人70人例2.2在右圖所示的正方體中，E點平分AB.請計算出直線AD和直線B1C所夾角的正弦值。圖2-3解設(shè)正方體的棱長為2個單位長度，分別以DADCDD1的方向為空間直角坐標(biāo)系的x軸、y軸和z軸，結(jié)果如下圖所示圖2-4則由題意可得D(0,0,0,)A(2,0,0,)B(2,2,0,)C(0,2,0,)B1(2,2,2).又QDA(2,0,0),uuur

CB=1 (2,0,2).\cosuuuruuurDACB1=uuuruuurDACB

uuur uuurDACB1=2.2第9頁(共11頁)故有sinuuuruuurDADB=1-?2??è22?÷÷?=2.即夾角的正弦值為2.22這個問題的目的是測試學(xué)生的知識整合能力以及空間坐標(biāo)的計算、向量的數(shù)量積等知識掌握情況。很多學(xué)生寫不出來是因為他們自己不會聯(lián)想到要用空間向量的知識來解決這些問題。發(fā)現(xiàn)的另一個問題：亂用空間向量解決問題。最后一個問題是關(guān)于普遍存在的向量法或坐標(biāo)法的選擇問題，很多學(xué)生不會選擇。有些同學(xué)不論什么情況都想使用坐標(biāo)法去解題，這樣雖然可以得出結(jié)果，但有時會出現(xiàn)步驟計算過于復(fù)雜的現(xiàn)象。而且很容易讓學(xué)生形成一種思維定勢[8]，不利于他們空間想象能力的培養(yǎng)。2.3空間向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用策略

首先，教師教學(xué)過程中要注意細(xì)節(jié)問題，注重基礎(chǔ)知識的講解和基本技能的教授。作為教師，教學(xué)設(shè)計中應(yīng)該同時注重學(xué)習(xí)優(yōu)秀和基礎(chǔ)不好的學(xué)生，針對他們的不同情況設(shè)計不同的教學(xué)方案。其次，注重教學(xué)方式的不斷改變。教師一定要做到教學(xué)內(nèi)容設(shè)計的直觀性。這里的“直觀”主要指老師在教學(xué)時要盡力地引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生從直觀的角度去挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)和數(shù)學(xué)活動現(xiàn)象的一些基本發(fā)展規(guī)律。教師在進(jìn)行空間向量教學(xué)時，應(yīng)該把空間向量的概念與立體幾何中的三個基礎(chǔ)性命題相結(jié)合，以此為解決問題的基礎(chǔ)，通過對這三種基礎(chǔ)性命題證明的省略，使空間向量的邏輯性更加嚴(yán)密，也更加符合常理[9]。這樣做能夠有效的避開學(xué)生對相關(guān)概念的混淆，從而可以幫助學(xué)生去學(xué)習(xí)知識并理解其一系列的概念。 我國的教育現(xiàn)狀要求教師要隨著學(xué)生的情況來改變教學(xué)方式，因為時代在發(fā)展，學(xué)生也在發(fā)生改變，一成不變的教學(xué)方式只會讓我們在教育方面停滯不前。最后，注重培養(yǎng)學(xué)生知識聯(lián)系的思維。中學(xué)數(shù)學(xué)的知識有很多分類,所以有的知識就顯得很孤立。但是它們彼此之間又有著密切的聯(lián)系。作為一名合格的數(shù)學(xué)老師，是不能孤立任何數(shù)學(xué)知識的,并且，要注意引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識之間的相關(guān)性,這樣就能幫助學(xué)生建立一個更加全面的知識系統(tǒng),也更加需要符合新課改要求下的教育方針。矢量（即向量）似乎沒有與其他知識的聯(lián)系的知識，但是深入研究就可以發(fā)現(xiàn)向量知識與很多知識還是存在著某些聯(lián)系。教師除