第三章

光纖傳輸?shù)牟▌永碚撝饕獌?nèi)容3.1光纖模式理論概述3.2波動光學基礎3.3圓柱坐標系中波動方程的建立3.4階躍光纖中縱向場分量滿足的波動方程的求解3.5階躍光纖中電磁場分量的具體表達式3.6三個重要參數(shù)3.7運用邊界條件得出本征方程3.8由本征方程出發(fā)討論模式的分類和性質(zhì)3.9由各類模式對應的本征方程討論其臨近截止和遠離截止條件3.10若干低階模式的色散曲線3.11階躍光纖中的線性偏振模3.12LP模的場分布形式（與下標l,m的關系）3.13導模縱向功率流3.14主模式號、模組、模群和模角3.15階躍光纖中導模電力線和磁力線的分布3.16階躍光纖中導模數(shù)量3.17波動光學結果與幾何光學結果的對照3.18漸變型折射率光纖波動方程的WKBJ解法3.19多模漸變型光纖的模式特性3.20單模光纖的模式特性光纖模式的激勵（光的入射）光纖中的模式分布（光線傳播軌跡）模式的傳播速度（光線的時延）模式沿光纖橫截面的場分布光信號的傳輸損耗光信號的畸變模式的偏振特性模式的耦合光波導要研究的主要問題3.1光纖模式理論概述模式——電磁場場形LED、白熾燈LD、點源經(jīng)準直透鏡的光束光源光纖

光斑初始端導波模、輻射模（泄漏模）導波模波導、導波的概念！導波：能量被局限在某個系統(tǒng)內(nèi)部或系統(tǒng)周圍并沿該系統(tǒng)導引的方向傳輸?shù)碾姶挪?。波導：凡是能引導和限制電磁波傳輸?shù)南到y(tǒng)。3.1光纖模式理論概述模式——電磁場場形模式：是波導結構的固有電磁共振屬性的表征。一給定光纖波導中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，而外界激勵源只能激勵起光纖中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質(zhì)。3.1光纖模式理論概述麥克斯韋方程組波動方程（亥姆霍茲方程）傳播常數(shù)相速度和群速度圖（缺）3.2波動光學基礎第二章已講過包含內(nèi)容傳播常數(shù)對于齊次亥姆霍茲方程，當取這些物理量的任一直角分量時，可有下式成立：此式的通解為于是可得其中相位常數(shù)（傳播常數(shù)）衰減常數(shù)傳播常數(shù)表示光波沿i方向傳播單位距離后的相位改變量3.2波動光學基礎相速度和群速度群速度就是指電磁波的包絡傳播的速度。實際上就是電磁波實際前進的速度。相速度就是電磁波相位傳播的速度。通俗地講，就是電磁波形狀向前變化的速度。在波導中，相速度往往比群速度要大。形象一點說，你拿電鉆在一個很堅固的墻上鉆洞，你會覺得電鉆的鉆頭的螺紋在旋轉(zhuǎn)時似乎以高速前進，但這只是你的錯覺，因為你看到的是螺紋的“相速度”，雖然很快，但是你的電鉆卻很慢很慢地向墻內(nèi)推進，也就是說電鉆的總的向前推進的速度就是“群速度”。如果墻壁很硬，你的電鉆根本就鉆不進去，電鉆向前推進的速度為“0”，但是你從電鉆的螺紋上看卻總是覺得電鉆是不斷鉆進去的。

3.2波動光學基礎9本征值問題如果算符作用于函數(shù)等于一個常數(shù)g乘以該函數(shù)，則該方程稱為本征方程。其中該函數(shù)稱為算符的本征函數(shù)，g是算符的對應于本征函數(shù)的本征值。波動理論的實質(zhì)：對于給定的邊界條件求本征方程的解——本征解及其對應的本征值，在數(shù)學上稱之為“本征值問題”。3.3圓柱坐標系中波動方程的建立光纖中電磁波的假設解假設波導中存在如下形式的模式解光纖波導中，電磁波在縱向（軸向）以“行波”的形式存在，在橫向上以“駐波”的形式存在。即：場分布在軸向的變化只體現(xiàn)在相位上，場的幅度不隨軸向傳播距離而變化（前提：光纖中無模式耦合，也不存在損耗和增益）3.3圓柱坐標系中波動方程的建立根據(jù)麥克斯韋方程組和物質(zhì)方程（無源、各向同性介質(zhì)中）可得出推導過程3.13.3圓柱坐標系中波動方程的建立直角坐標下光纖中電磁波橫向場分量與縱向場分量之間的關系推導過程3.23.3圓柱坐標系中波動方程的建立圓柱坐標下光纖中電磁波橫向場分量與縱向場分量之間的關系階躍光纖中的波導方程——求解過程簡化階躍光纖結構用分離變量法解耦在纖芯、包層界面運用邊界條件獲得本征方程3.4階躍光纖中縱向場分量滿足的波動方程的求解階躍光纖中的波導方程——簡化階躍光纖結構階躍光纖實際結構

求解時建立的對應物理模型為什么使用包層光纖而不用裸光纖？3.4階躍光纖中縱向場分量滿足的波動方程的求解階躍光纖中的波導方程——用分離變量法解耦典型的貝塞爾方程利用分離變量法得到簡諧振動方程3.4階躍光纖中縱向場分量滿足的波動方程的求解階躍光纖中的波導方程——用分離變量解耦其中？3.4階躍光纖中縱向場分量滿足的波動方程的求解圓柱坐標系中階躍光纖電磁場分量的表達式——纖芯中3.5階躍光纖中電磁場分量的具體表達式圓柱坐標系中階躍光纖電磁場分量的表達式——包層中3.5階躍光纖中電磁場分量的具體表達式3.6三個重要參量纖芯、包層界面的邊界條件3.7運用邊界條件得出本征方程本征方程推導過程3.33.7運用邊界條件得出本征方程模式及其基本性質(zhì)TEM模TE模TM模HE或EH模光纖中的模式：HE（EH）模，TE（TM）模3.8由本征方程出發(fā)討論模式的分類及性質(zhì)光纖中模式的偏振特性、場強關系和相位關系3.4T:TransverseE:ElectricfieldM:Magneticfield階躍光纖中的模式分析——模式分類討論本征方程光纖中各類模式對應的本征方程3.53.8由本征方程出發(fā)討論模式的分類及性質(zhì)3.9由各類模式對應的本征方程討論其臨近截止和遠離截止條件模式臨近截止條件和遠離截止條件關注包層中電磁場分量表達式

3.9由各類模式對應的本征方程討論其臨近截止和遠離截止條件由各類模式對應的本征方程討論其臨近截止和遠離截止條件導出過程3.6各類模式（精確模）對應的本征方程和截止、遠離截止條件模式本征方程截止條件遠離截止條件3.9由各類模式對應的本征方程討論其臨近截止和遠離截止條件若干低階模式有效折射率隨歸一化頻率變化的曲線

3.10若干低階模式的色散曲線上圖左縱坐標表示各導模的有效折射率右縱坐標表示歸一化變量1.對b的范圍的討論（光能量是否被良好地閉鎖在纖芯中）2.模式出現(xiàn)的先后順序?qū)ι⑶€圖的說明

3.10若干低階模式的色散曲線弱導近似弱導近似——weaklyguidingapproximation前面討論了本征方程的精確解，直觀意義不明確并且比較復雜。下面討論弱導近似下的本征方程。此時，本征方程可簡化為3.11階躍光纖中的線性偏振模弱導近似下本征方程的統(tǒng)一形式統(tǒng)一形式：推導過程3.73.11階躍光纖中的線性偏振模

模截止值和遠離截止值（U值）LP模截止條件遠離截止條件截止、遠離截止值

03.83177.015610.17313.322.40485.52018.653711.7914.932.40485.52018.653711.7914.933.83177.015610.17313.323.83177.015610.17313.325.13568.41711.6214.793.11階躍光纖中的線性偏振模3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系推導過程3.8（書上P35－37）

LP模的含義及具體表達式

簡并度3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系LP模橫截面場分布形式與下標l,m的關系

推導過程3.9（書上P41-42頁）幾種低階LP模橫截面上的光斑圖（線性偏振模）3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系幾種低階LP模橫截面上的光斑圖（線性偏振模）3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系幾種低階LP模橫截面上的光斑圖（線性偏振模）3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系

3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系幾種低階精確模橫截面上的光斑圖（精確模）3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系幾種低階精確模橫截面上的光斑圖（精確模）3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系幾種低階精確模橫截面上的光斑圖（精確模）3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系幾種低階精確模橫截面上的光斑圖3.12LP模的場分布形式及與下標l,m的關系幾種低階精確模橫截面上的光斑圖（精確模）3.13導?？v向功率流幾種低階模的歸一化光功率分布左邊b=0.9，右邊b=0.1書P42－433.14主模式號、模組、模群和模角書P43－44四個低階模式的電磁場矢量結構圖（橫截面上）3.15階躍光纖中導模電力線和磁力線的分布電力線、磁力線方程的推導3.103.15階躍光纖中導模電力線和磁力線的分布幾個低階模式的電磁場矢量結構圖3.15階躍光纖中導模電力線和磁力線的分布由電力線和磁力線分布圖看精確模合成線性偏振模3.15階躍光纖中導模電力線和磁力線的分布由電力線和磁力線分布圖看精確模合成線性偏振模3.16階躍光纖中的導模數(shù)量

TE/TM子午光線EH/HE偏斜光線3.17波動光學結果與幾何光學結果的對照3.18漸變型折射率光纖波動方程的WKBJ解法漸變型折射率光纖的折射率分布3.18漸變型折射率光纖波動方程的WKBJ解法漸變型折射率光纖的波動方程

3.18漸變型折射率光纖波動方程的WKBJ解法用WKBJ法求解漸變折射率光纖的波動方程定態(tài)薛定諤方程波函數(shù)的位置分量勢能質(zhì)點能量漸變折射率光纖波動方程可演變?yōu)槿缦滦问窖葑冞^程3.113.18漸變型折射率光纖波動方程的WKBJ解法結合薛定諤方程看漸變折射率光纖中的傳導模、泄漏模和輻射模傳輸常數(shù)

多模漸變型光纖傳輸常數(shù)的普遍公式為式中，n1、Δ、g和k前面已經(jīng)定義了，M是模式總數(shù)，m(β)是傳輸常數(shù)大于β的模式數(shù)。經(jīng)計算多模漸變型光纖的模式特性——傳播常數(shù)3.19漸變型折射率光纖模式特性

對于突變型光纖，g→∞，M=V2/2；對于平方律漸變型光纖，g=2，M=V2/4。根據(jù)計算分析，在漸變型光纖中，凡是徑向模數(shù)l和方位角模數(shù)m的組合滿足

q=2m+l的模式，都具有相同的傳輸常數(shù)，這些簡并模式稱為模式群。q稱為主模數(shù)，表示模式群的階數(shù)，第q個模式群有2q個模式，把各模式群的簡并度加起來，就得到模式數(shù)m(β)=q2。模式總數(shù)M=Q2，Q稱為最大主模數(shù)，表示模式群總數(shù)。用q和Q代替m(β)和M，得到第q個模式群的傳輸常數(shù)多模漸變型光纖的模式特性——模式數(shù)量3.19漸變型折射率光纖模式特性

光強分布

多模漸變型光纖端面的光強分布(又稱為近場)P(r)主要由折射率分布n(r)決定，式中P(0)為纖芯中心(r=0)的光強，C為修正因子。多模漸變型光纖的模式特性——光強分布3.19漸變型折射率光纖模式特性

光強分布和模場半徑通常認為單模光纖基模HE11的電磁場分布近似為高斯分布式中，A為場的幅度，r為徑向坐標，w0為高斯分布1/e點的半寬度，稱為模場半徑。實際單模光纖的模場半徑w0是用測量確定的，常規(guī)單模光纖用纖芯半徑a歸一化的模場半徑的經(jīng)驗公式為Ψ(r)=Aexp0.65+1.619V-1.5+2.879V-6=0.65+0.434

+0.0149單模光纖的模式特性——模場半徑3.20單模光纖模式特性單模光纖的模式特性——模場半徑與纖芯半徑的關系3.20單模光纖模式特性單模光纖的模式特性——模場分布3.20單模光纖模式特性1.某種階躍折射率分布的光纖，相對折射率差為0.01，纖芯折射率為1.5，纖芯直徑２a為50μm，工作波長在1.31μm處（1）求其是單模光纖還是多模光纖？（2）若為多模光纖光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)量M是多少？（3）如欲制成單模光纖，在保持λ、Δ、n1不變的前提下，纖芯直徑應是多少？（4）若2a=10μm，則在保持Δ、n1不變的前提下，入射光波長應為多少？2.在階躍型光纖中，已知纖芯半徑a=4μm，纖芯折射率n1=1.49，相對折射率差Δ=0.0024，工作波長λ=1.31μm，并且已求出導波歸一化徑向相位常數(shù)u=1.529。求：（1）歸一化徑向衰減常數(shù)w

（2）軸向傳輸常數(shù)β習題圓柱坐標系中的波動方程——坐標變換

貝塞爾函數(shù)是數(shù)學上的一類特殊函數(shù)的總稱。利用柱坐標求解涉及圓、球與圓柱內(nèi)的勢場的物理問題時出現(xiàn)的一類特殊函數(shù)。貝塞爾函數(shù)的幾個正整數(shù)階特例早在18世紀中葉就由瑞士數(shù)學家丹尼爾·伯努利在研究懸鏈振動時提出了，當時引起了數(shù)學界的興趣。丹尼爾的叔叔雅各布·伯努利，歐拉、拉格朗日等數(shù)學大師對貝塞爾函數(shù)的研究作出過重要貢獻。1817年，德國數(shù)學家貝塞爾在研究開普勒提出的三體引力系統(tǒng)的運動問題時，第一次系統(tǒng)地提出了貝塞爾函數(shù)的總體理論框架，后人以他的名字來命名了這種函數(shù)。

補充：關于貝塞爾函數(shù)(besselfunctions)——歷史貝塞爾方程是在柱坐標或球坐標下使用分離變量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍茲方程時得到的（在圓柱域問題中得到的是整階形式；在球形域問題中得到的是半奇數(shù)階形式），因此貝塞爾函數(shù)在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中占有非常重要的地位，最典型的問