2022屆江蘇省百校大聯(lián)考高三上學(xué)期12月第二次考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡集合，再利用交集的定義求解.【詳解】解：由題意得，，所以.故選：B2．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由復(fù)數(shù)的類型有且，求參數(shù)m，進(jìn)而寫出的共軛復(fù)數(shù).【詳解】由題意知：且，∴，即，故的共軛復(fù)數(shù)是.故選：A.3．設(shè)函數(shù)則，（

）A． B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】先求，再求【詳解】因?yàn)?，所?故選：C4．《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其外形由圓柱和長方體組合而成.已知某組合體由圓柱和長方體組成，如圖所示，圓柱的底面直徑為1寸，長方體的長、寬、高分別為3.8寸，3寸，1寸，該組合體的體積約為12.6立方寸，若取3.14，則圓柱的母線長約為（

）A．0.38寸 B．1.15寸 C．1.53寸 D．4.59寸【答案】C【分析】先求出長方體的體積，進(jìn)而求出圓柱的體積，利用求出的圓柱體體積和圓柱的底面半徑為0.5寸，求出圓柱的母線長【詳解】由題意得，長方體的體積為(立方寸)，故圓柱的體積為(立方寸).設(shè)圓柱的母線長為l，則由圓柱的底面半徑為0.5寸，得，計(jì)算得：(寸).故選：C5．已知函數(shù)，現(xiàn)有如下四個(gè)命題：甲：該函數(shù)的最大值為；乙：該函數(shù)圖象可以由的圖象平移得到；丙：該函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為；?。涸摵瘮?shù)圖象的一個(gè)對稱中心為.如果只有一個(gè)假命題，那么該命題是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B【分析】根據(jù)題意得到命題乙和命題丙矛盾，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，分類討論，結(jié)合命題丁進(jìn)行判定，即可求解.【詳解】由命題甲:該函數(shù)的最大值為，可得；由命題乙：由，可知，；由命題丙：該函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，可得，所以命題乙和命題丙矛盾；若假命題是乙，則，由命題?。涸摵瘮?shù)圖象的一個(gè)對稱中心為，可得，因?yàn)?，可得，符合題意；若假命題是丙，則，由命題?。涸摵瘮?shù)圖象的一個(gè)對稱中心為，可得，可得，不滿足條件，所以假命題是乙.故選：B.6．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】取判斷充分性，根據(jù)在的單調(diào)性判斷必要性，即可知題設(shè)條件間的充分必要關(guān)系.【詳解】當(dāng)，有，故充分性不成立.記，，則，∴在上單調(diào)遞增，則，又，，∴必要性成立.故選：B.7．已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別是為，，過的直線與C交于A，B兩點(diǎn).若，，則C的離心率為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】利用雙曲線的定義以及余弦定理便可求得曲線C的離心率.【詳解】解：由題意得過的直線與C的右支交于A，B兩點(diǎn).設(shè)，則，又由雙曲線的定義得.所以.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，解得所以故C的離心率為故選：A8．已知角與角的頂點(diǎn)均與原點(diǎn)O重合，始邊均與x軸的非負(fù)半軸重合，它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得，，（或），然后利用差角公式即得.【詳解】因?yàn)榕c關(guān)于y軸對稱，，所以，，則，，（或），所以.故.故選：A.二、多選題9．已知，且，則（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A、B、C的正誤，由題設(shè)得、，利用基本不等式求的最值(注意等號(hào)成立條件)判斷D.【詳解】由條件知：，可得，A錯(cuò)誤；由，則且，B正確，C錯(cuò)誤；由，可得，，故，注意到，所以，得，D正確.故選：BD.10．已知兩點(diǎn)，，曲線C上存在點(diǎn)P滿足，則曲線的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題意，知點(diǎn)一定在AB的垂直平分線上，求出直線，滿足條件的曲線要與有交點(diǎn).逐個(gè)判斷選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】由，知點(diǎn)一定在AB的垂直平分線上，，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的方程為.則滿足條件的曲線要與有交點(diǎn).與平行，故無交點(diǎn)，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；是圓心為，半徑的圓，圓心到直線的距離為，故直線與圓相交，故B正確；把直線與雙曲線進(jìn)行聯(lián)立，，得，，所以與雙曲線存在交點(diǎn).故選項(xiàng)C正確；將直線的方程代入，得，方程無實(shí)數(shù)解.故拋物線與直線無交點(diǎn).故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：BC.11．設(shè)和分別為數(shù)列和的前n項(xiàng)和.已知，，則（

）A．是等比數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】ACD【分析】由已知結(jié)合的關(guān)系及等比數(shù)列的定義判斷數(shù)列即可確定A、C正誤，應(yīng)用作差法比較的大小關(guān)系判斷B正誤，利用錯(cuò)位相減法求，再由作差法判斷的大小判斷D.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，即，又，∴，即，∴是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，A正確；由，則，即是遞減數(shù)列，B錯(cuò)誤；又，則，C正確；①，②，①-②得：，∴，則，∴，D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用及等比數(shù)列的定義求的通項(xiàng)公式，綜合運(yùn)用作差法、錯(cuò)位相減法比較大小判斷數(shù)列單調(diào)性、求前n項(xiàng)和，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)的正誤.12．如圖，在矩形ABCD中，，，將沿直線AC翻折，形成三棱錐.下列說法正確的是（

）A．在翻折過程中，三棱錐外接球的體積為定值B．在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得C．當(dāng)平面平面ABC時(shí)，D．當(dāng)平面平面ABC時(shí)，三棱錐的體積為【答案】ACD【分析】設(shè)O為AC的中點(diǎn)，三棱錐外接球的半徑為5，所以三棱錐外接球的體積為定值，故A正確；在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得，從而斜邊CD的長大于直角邊BC，這與，矛盾，故B錯(cuò)誤；當(dāng)平面平面ABC時(shí)，過D作AC的垂線DE，垂足為E，在平面ABC上，過B作AC的垂線BF，垂足為F，所以，故C正確；當(dāng)平面平面ABC時(shí)，平面DBC，三棱錐的體積為，故D正確.【詳解】解：設(shè)O為AC的中點(diǎn)，則，所以三棱錐外接球的半徑為5，所以三棱錐外接球的體積為定值，故A正確；若在翻折過程中，存在某個(gè)位置，使得，又，則平面ABD，而平面ABD，所以，從而斜邊CD的長大于直角邊BC，這與，矛盾，故B錯(cuò)誤；當(dāng)平面平面ABC時(shí)，過D作AC的垂線DE，垂足為E，則平面ABC，，，在平面ABC上，過B作AC的垂線BF，垂足為F，則平面DAC，，，所以，故C正確；當(dāng)平面平面ABC時(shí)，平面平面.又，平面ABC，所以平面DBC，計(jì)算得，因?yàn)椋?，所以，所以三棱錐的體積為，故D正確.故選：ACD三、填空題13．已知向量，滿足，，，則______.【答案】5【分析】由，得，再將兩邊平方可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所?故答案為：14．寫出一個(gè)能說明“若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)，則也是周期函數(shù)”為假命題的函數(shù)：______.【答案】，答案不唯一【分析】根據(jù)要求寫出例如的函數(shù)即可.【詳解】形如即可.(答案不唯一)故答案為：15．已知是過拋物線焦點(diǎn)的弦，為該拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】0【分析】由題意設(shè)AB為且、、，聯(lián)立拋物線方程應(yīng)用韋達(dá)定理求得，，再利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得，即可求最值.【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，∴直線AB的方程可設(shè)為，代入拋物線方程得，設(shè)，，則，，又為該拋物線準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，則，，∴.故答案為：0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)、、及直線方程，聯(lián)立拋物線應(yīng)用韋達(dá)定理得到，關(guān)于參數(shù)的關(guān)系式，再應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求的最值.四、雙空題16．函數(shù)的最小值為______；若存在，使得，則a的取值范圍為_______.【答案】

2

【分析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的最小值就是在上的最小值，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性計(jì)算即可求得最小值；存在，使得等價(jià)于存在，成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論及時(shí)，的函數(shù)值正負(fù)及單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的最小值就是在上的最小值，，，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以的最小值為.等價(jià)于，即.令，則，，.當(dāng)時(shí)，，，，注意到，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，，不合題意.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以存在，使得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，于是有，即存在，使得，即.綜上所述，a的取值范圍為.故答案為：2，【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：結(jié)合不等式特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)不等式問題，要利用導(dǎo)函數(shù)研究其單調(diào)性、最值處理能成立問題.五、解答題17．已知數(shù)列滿足，，，，且是，的等比中項(xiàng).(1)求的值；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)及，表達(dá)出，，利用等比中項(xiàng)性質(zhì)求出的值；（2）結(jié)合第一問所求，分n為偶數(shù)和奇數(shù)，分組求和進(jìn)行求解(1)由，可得：，，，，所以，，，.因?yàn)槭?，的等比中?xiàng)，所以，則，又，所以.(2)由（1）知.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，，.18．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且___________.(1)求角C的大??；(2)若，，求的面積.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，變成三邊關(guān)系，再利用余弦定理進(jìn)行求解；選②，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，變成三內(nèi)角的關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式進(jìn)行求解；選③，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，變成三內(nèi)角的關(guān)系，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式式進(jìn)行求解；（2）先由正弦定理得到，進(jìn)而得出的值，再利用三角形的面積公式進(jìn)行求解.(1)解：選擇條件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得；因?yàn)?，所?選擇條件②：由及正弦定理，得：，即.即.在中，，所以，即，因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，所?選擇條件③：由及正弦定理，得:，因?yàn)?，所?在中，，則，故.因?yàn)?，所以，則，故.(2)解：由正弦定理，得，所以，所以的面積為.19．一個(gè)完美均勻且靈活的平衡鏈被它的兩端懸掛，且只受重力的影響，這個(gè)鏈子形成的曲線形狀被稱為懸鏈線（如圖所示）.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系后，懸鏈線對應(yīng)的函數(shù)近似是一個(gè)雙曲余弦函數(shù)，其解析式可以為，其中，是常數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，判斷的奇偶性；(2)當(dāng)時(shí)，若的最小值為，求的最小值.【答案】(1)偶函數(shù)；(2)10.【分析】（1）利用奇偶性定義判斷的奇偶性；（2）由已知可得，即有、，將目標(biāo)式化為，再應(yīng)用“1”的代換，原式可得，最后應(yīng)用基本不等式求其最值，注意等號(hào)成立條件.(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)?對任意的，都有且，∴為偶函數(shù).(2)當(dāng)時(shí)，的最小值為，∴，即，∴，則，可知，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，∴的最小值為10.20．如圖，三棱柱的底面ABC為正三角形，D是AB的中點(diǎn)，，，平面底面.(1)證明：平面平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）找到圖中三條兩兩垂直的直線，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出相應(yīng)的向量坐標(biāo)，接著求平面的法向量和平面的法向量，用向量的夾角公式求得答案.(1)證明：因?yàn)槿庵牡酌鍭BC為正三角形，D是AB的中點(diǎn)，所以.又在三棱柱中，，，連接,則是等邊三角形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?因?yàn)槠矫?，所以平面平?(2)因?yàn)槠矫娴酌鍭BC，平面底面，，所以底面ABC，故以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DB，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，，則，，.設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為.由，得，取，；由，得，取，得.所以，由圖知二面角是鈍二面角，所以二面角的余弦值為.21．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足直線AE與BE的斜率之積為，記E的軌跡為曲線C．(1)求C的方程，并說明C是什么曲線．(2)過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為G，過點(diǎn)O作，垂足為M．證明：存在定點(diǎn)N，使得為定值．【答案】(1)，C是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，不含左、右頂點(diǎn)的橢圓(2)證明見解析【分析】（1）直譯法即可求得曲線C的軌跡方程，由方程可知道曲線C是橢圓的一部分；（2）直線與橢圓聯(lián)立方程組，以設(shè)而不求的方法簡化運(yùn)算，找到直線所過定點(diǎn)是本題關(guān)鍵入手點(diǎn)，簡化了證明過程，是一條捷徑.(1)由，，可得，由題意得，，化簡得，所以曲線C是中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上不含左、右頂點(diǎn)的橢圓．(2)由（1）知直線與x軸不重合，可設(shè)：，，，聯(lián)立得．則，，故有．因?yàn)?，，所以直線QG的斜率為，則直線QG的方程為，即故直線QG過定點(diǎn)．因?yàn)?，所以△為直角三角形，取OH的中點(diǎn)，則，即為定值．綜上，存在定點(diǎn)，使得為定值．【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．(2)涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．22．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再對分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意在上恒成立，令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再由二次函數(shù)的性質(zhì)，可得二次函數(shù)必有一正一負(fù)兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)其中一個(gè)零點(diǎn)，則，再利用導(dǎo)數(shù)求出的范圍，從而求出的取值范圍；(1)解：因?yàn)槎x域?yàn)?，?①若，