2017屆遼寧省鞍山市高三下學期第一次質量檢測數(shù)學（文）試題一、選擇題1．已知全集，集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為，所以，又因為，所以，故選B.2．若復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則復數(shù)對應的點在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】,化為，復數(shù)在復平面內所對應的點在第三象限，故選C.3．下列四個函數(shù)中，在區(qū)間上是減函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】A.在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，故錯；B.在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，故對；C.在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，故錯；D.在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，故錯；故選B.4．已知向量，滿足，，，則向量，的夾角為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設向量，的夾角為，因為，，，，所以①②，由①②可得，，故選D.5．在明朝程大位所著《算法統(tǒng)宗》中，有這樣的一首歌謠，叫做浮屠增級歌．“遠看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”這首古詩描述的這個寶塔其古稱浮屠，它一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，全塔總共有381盞燈，問塔頂有幾盞燈？據(jù)此，你算出頂層懸掛的紅燈的盞數(shù)為（）A.5B.4C.3D.4【答案】C【解析】則由題意知第一層至第七層的燈的盞數(shù)構成一個以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，解得，所以頂層有盞燈，故選C.6．執(zhí)行下圖程序框圖，如果輸入的，均為2，則輸出的（）A.7B.6C.5D.4【答案】A【解析】若，則第一次循環(huán)，成立，則；第二次循環(huán)，成立，則，此時不成立，輸出，故選A.【方法點睛】本題主要考查程序框圖的循環(huán)結構流程圖，屬于中檔題.解決程序框圖問題時一定注意以下幾點：(1)不要混淆處理框和輸入框；(2)注意區(qū)分程序框圖是條件分支結構還是循環(huán)結構；(3)注意區(qū)分當型循環(huán)結構和直到型循環(huán)結構；(4)處理循環(huán)結構的問題時一定要正確控制循環(huán)次數(shù)；(5)要注意各個框的順序；（6）在給出程序框圖求解輸出結果的試題中只要按照程序框圖規(guī)定的運算方法逐次計算，直到達到輸出條件即可.7．已知函數(shù)，則函數(shù)滿足（）A.最小正周期為B.圖象關于點對稱C.在區(qū)間上為減函數(shù)D.圖象關于直線對稱【答案】D【解析】試題分析：，所以函數(shù)最小正周期為，將代入，為故直線為函數(shù)的對稱軸，選D.【考點】三角函數(shù)圖象與性質.8．一空間幾何體的三視圖如下圖所示，該幾何體的體積為，則正視圖與側視圖中的值為（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體是由圓柱和一個四棱錐的組合體，根據(jù)組合體的體積的值得到等式，解得，綜上所述，故選B.9．已知（且）恒過定點，且點在直線（，）上，則的最小值為（）A.B.8C.D.4【答案】A【解析】因為（且）恒過定點，所以在直線上，可得，，的最小值為，故選A.10．已知點在拋物線上，則當點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】因為點到拋物線焦點距離等于點到拋物線的準線的距離，所以到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小等價于到點的距離與點到拋物線準線距離之和取得最小，如圖，由幾何性質可得，從向準線作垂線，其與拋物線交點就是所求點，將代入，可得，點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為，故選D.【方法點晴】本題主要考查拋物線的標準方程和拋物線的簡單性質及利用拋物線的定義求最值，屬于難題.與拋物線的定義有關的最值問題常常實現(xiàn)由點到點的距離與點到直線的距離的轉化：(1)將拋物線上的點到準線的距化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解；(2)將拋物線上的點到焦點的距離轉化為到準線的距離，利用“點與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.本題是將到焦點的距離轉化為到準線的距離，再根據(jù)幾何意義解題的.11．已知函數(shù)的定義域為，當時，若，，，則有的值（）A.恒小于零B.恒等于零C.恒大于零D.可能大于零，也可能小于零【答案】C【解析】因為，所以，由于在上遞增，在上遞減，所以在上遞增，由得，同理可得，三式相加，化簡可得，>0，則有的值恒大于零，故選C.12．過雙曲線（，）的右焦點作圓的切線，切點為.直線交拋物線于點，若（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如圖，由得是的中點，設拋物線的焦點為，則為，也是雙曲線的焦點，連接分別是和的中點，為的中位線，于是可得，設，則由拋物線定義得，于是有代入拋物線方程，過點作軸的垂線，由拋物線定義知點到該垂線的距離為，由勾股定理得，即，變形可得，兩邊同除以，有，所以（負值已經舍去），故選B.【方法點晴】本題主要考查利用拋物線及雙曲線的定義、雙曲線的簡單性質求雙曲線的離心率，屬于中檔題.求解與雙曲線性質有關的問題時要結合圖形進行分析，既使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形，當涉及頂點、焦點、實軸、虛軸、漸近線等雙曲線的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內在聯(lián)系.求離心率問題應先將用有關的一些量表示出來，再利用其中的一些關系構造出關于的等式，從而求出的值.本題是利用點到直線的距離等于圓半徑構造出關于的等式，最后解出的值.二、填空題13．若，滿足約束條件，則的最小值為__________．【答案】【解析】畫出約束條件表示的可行域，如圖，由得，，由圖可知當直線過時有最小值，故答案為.14．已知三棱錐的四個頂點均在半徑為2的球面上，且、、兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積的最大值為__________．【答案】8【解析】兩兩垂直，又因為三棱錐的四個頂點均在半徑為2的球面上，所以以為棱的長方體的對角線即為球的一條直徑，，則由基本不等式可得，，即，則三棱錐的側面積，則三棱錐的側面積的最大值為，故答案為.15．已知等差數(shù)列中，，，設為數(shù)列的前項和，則__________．【答案】【解析】由題意得：，，故答案為.16．給出下列四個命題：①“若，則或”是假命題；②已知在中，“”是“”成立的充要條件；③若函數(shù)，對任意的都有＜0，則實數(shù)的取值范圍是；④若實數(shù),，則滿足的概率為.其中正確的命題的序號是__________（請把正確命題的序號填在橫線上）．【答案】②④【解析】因為“若，則或”的逆否命題“若且，則”是真命題，所以①是錯誤；因為，所以②正確；若函數(shù)，對任意的都有可得函數(shù)為減函數(shù)，即，，因此③錯誤；根據(jù)幾何概型概率公式可得實數(shù),，則滿足的概率為，④正確，故答案為②④.【方法點睛】本題通過判斷命題的真假綜合考查四種命題及其關系以及充分條件與必要條件、分段函數(shù)的解析式及單調性，屬于難題，判斷命題的真假應注意以下幾個方面：(l)首先要分清命題的條件與結論，再比較每個命題的條件與結論之間的關系；(2)要注意四種命題關系的相對性，一旦一個命題定為原命題，也就相應地確定了它的“逆命題”“否命題”“逆否命題”，注意利用“原命題”與“逆否命題”同真假；(3)判斷命題真假時，可直接依據(jù)定義、定理、性質直接判斷，也可使用特值進行排除.三、解答題17．已知銳角的內角、、的對邊分別為、、，且，，的面積為，又，記.（Ⅰ）求，，的值；（Ⅱ）求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由已知利用三角形面積公式可求的值，結合為銳角，可求，再由余弦定理可解得，從而由余弦定理即可求得的值；（2）由已知可求，利用同角三角函數(shù)基本關系式可求，利用兩角差的余弦函數(shù)公式可求，利用二倍角的余弦函數(shù)公式即可解得的值.試題解析：（1）由的面積為，有，即，得，又為銳角，故再由余弦定理：，得，.（2）由，知，由為正三角形，即，且，所以，所以.18．上周某校高三年級學生參加了數(shù)學測試，年部組織任課教師對這次考試進行成績分析.現(xiàn)從中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，已知這40名學生的成績全部在40分至100分之間（滿分100分，成績不低于40分），現(xiàn)將成績按如下方式分成6組：第一組；第二組；……；第六組，并據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.（Ⅰ）估計這次月考數(shù)學成績的平均分和眾數(shù)；（Ⅱ）從成績大于等于80分的學生中隨機選2名，求至少有1名學生的成績在區(qū)間內的概率.【答案】（1）65分（2）【解析】試題分析：（1）個矩形中點橫坐標與縱坐標的積求和即可求平均數(shù)，最高矩形中點橫坐標即為眾數(shù)；（2）用列舉法求出從成績大于等于分的學生中隨機選名學生的事件個數(shù)，查出至少有名學生成績在的事件個數(shù)，然后直接利用古典概型概率計算公式求解.試題解析：（1）因各組的頻率之和為1，所以成績在區(qū)間內的頻率為，所以平均分分，眾數(shù)的估計值是65分（2）設表示事件“在成績大于等于80分的學生中隨機選2名，至少有1名學生的成績在區(qū)間內”，由題意可知成績在區(qū)間內的學生所選取的有：，記這4名學生分別為，，，，成績在區(qū)間內的學生有（人），記這2名學生分別為，，則從這6人中任選2人的基本事件事件空間為：共15種，事件“至少有1名學生的成績在區(qū)間內”的可能結果為：，共九種，所以.故所求事件的概率為：.【方法點睛】本題主要考查古典概型概率公式，以及根據(jù)直方圖求平均數(shù)和眾數(shù)，屬于中檔題，利用古典概型概率公式,求概率時，找準基本事件個數(shù)是解題的關鍵，在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.19．如圖，在四棱錐中，底面的平行四邊形，，，面，為的中點.（Ⅰ）求證：（Ⅱ）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】試題分析：（1）由余弦定理結合勾股定理可得，再由線面垂直的判定定理可得平面，從而可得結果；（2）根據(jù)“等積變換”可得，進而直接用棱錐的體積公式求解.試題解析：（1）證明：因為面，又平面所以，又因為，，在中，由余弦定理有：所以，即：，又因為，又平面，平面，所以平面，又平面，所以.（2）由已知有：，所以，,因為面且為的中點，所以點到平面的距離為，所以20．已知函數(shù)，.（Ⅰ）當時，求函數(shù)在處的切線方程；（Ⅱ）令，求函數(shù)的極值；（Ⅲ）若，正實數(shù)，滿足，證明：.【答案】（1）0；（2）詳見解析；（3）證明詳見解析.【解析】試題分析：（1）由導數(shù)幾何意義得切線斜率，所以先求導數(shù)得，即，又，再根據(jù)點斜式得切線方程（2）先求導數(shù)，再分類討論導函數(shù)在定義區(qū)間上符號變化規(guī)律，確定極值取法：當時，，函數(shù)無極值點．當時，一個零點，導函數(shù)在其左右符號變化，先增后減，所以有極大值，無極小值（3）先化簡為，轉化為關于函數(shù)關系式：，研究函數(shù)，其中，得，因此，解不等式得試題解析：（1）當時，，則，所以切點為，又，則切線斜率，故切線方程為，即．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2），則，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分當時，∵，∴．∴在上是遞增函數(shù)，函數(shù)無極值點．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分當時，，令得，∴當時，；當時，，因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴時，有極大值，綜上，當時，函數(shù)無極值；當時，函數(shù)有極大值，無極小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）證明：當時，，由，即，從而，令，則由得：，可知，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，∴，∴，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分【考點】導數(shù)幾何意義，利用導數(shù)求函數(shù)極值，利用導數(shù)證不等式【思路點睛】(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.(2)利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數(shù)聯(lián)系起來求解.21．過橢圓：上一點向軸作垂線，垂足為右焦點，、分別為橢圓的左頂點和上頂點，且，.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若動直線與橢圓交于、兩點，且以為直徑的圓恒過坐標原點.問是否存在一個定圓與動直線總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）存在【解析】試題分析：（1）由得，解得，，，結合，即可求橢圓的方程；（2）先求得直線的斜率不存在及斜率為零時圓的方程，由此可得兩圓所過公共點為原點，當直線的斜率存在且不為零時，設直線的方程為代入橢圓方程消掉得的二次方程，設，由韋達定理、向量數(shù)量積可得的表達式，再根據(jù)線圓相切可得的關系式，代入上述表達式可求得，由此可得結論.試題解析：（1）由題意得，所以，.由得，解得，，由，得，，橢圓的方程為.（2）假設存在這樣的圓.設，.由已知，以為直徑的圓恒過原點，即，所以.當直線垂直于軸時，，，所以，又，解得，不妨設，或，，即直線的方程為或，此時原點到直線的距離為.當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，解消去得方程：，因為直線與橢圓交于，兩點，所以方程的判別式，即，且，.由，得，所以，整理得（滿足）.所以原點到直線的距離.綜上所述，原點到直線的距離為定值，即存在定圓總與直線相切.【方法點睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法橢圓標準方程方程、圓錐曲線的定值問題以及存在性上問題，屬于難題.存在性問題解題思路：先假設存在，推證滿足條件的結論，若結論正確則存在，若結論不正確則不存在.①當條件和結論不唯一時要分類討論.