初中數(shù)學(xué)一題多變1．已知，如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD，垂足為E，BF⊥CD，垂足為F，求證：EC=DF.證明：根據(jù)垂徑定理可得CM=DM∵AE⊥ER，BF⊥EF∴AE∥BF∥OM∵AO=BO∴EM=FM∴EM-CM=FM-DM∴EC=DFM作OM⊥EF于點(diǎn)M變式一：如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，BF交⊙O于G，下面的結(jié)論：1.EC=DF；2.DE=CF；3.AE=GF；4.AE+BF=AB中，正確的有（

）A.1、4

B.2、3、4

C.1、2、3

D.1、2、3、4C變式二：把直線(xiàn)EF和直徑AB的相對(duì)位置加以變化，即圖形變化，條件和結(jié)論均不變，便得新題，變化后的圖形如下：證明：延長(zhǎng)AE交圓于M點(diǎn)，連接BM，過(guò)點(diǎn)O作OP垂直BM，交EF于點(diǎn)QMQ∵AB是直徑∴AM⊥BM∵點(diǎn)O為圓心∴OA=OB∴MP=BP∵AE⊥CD，BF⊥CD∴EF=MB∴EQ=FQ∵OP⊥CD∴CQ=DQ∴CE=DF變式三：把直線(xiàn)EF和圓的位置關(guān)系由一般的相交變?yōu)橄嗲?，即圖形特殊化處理，原題可以引申為：如圖，直線(xiàn)MN和⊙O切于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑，AC是弦，AE⊥MN于E，BF⊥MN于F，（1）求證：AC平分∠BAE；（2）求證：AB=AE+BF；（3）求證：證明：（1）連接OC，∵AE⊥MN，BF⊥MN，∴AE∥BF，而AB≠EF，∴四邊形ABFE為梯形，∵OC∥AE∥BF，∴EC=CF，∴OC為梯形ABFE的中位線(xiàn)，∴AE+BF=2OC，即：AE+BF=AB．（2）證明：連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ECA+∠FCB=90°，∵∠CBF+∠FCB=90°，∠CBF=∠ECA，∴△AEC∽△CFB，∴CF?EC=AE?BF，∵CF=EC=1/2EF∴EF2=4AE?BF．2、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，把三點(diǎn)分別代入得（1）9a-3b+c=0，（2）c=-3，（3）a+b+c=0，（1）（2）（3）聯(lián)立方程組解得a=1，b=2，c=-3，故這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+2x-3．變式一：已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)一次函數(shù)的圖像與軸、軸的交點(diǎn)A、C，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式。解：∵一次函數(shù)的圖像與軸、軸的交點(diǎn)A、C

∴、設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，把三點(diǎn)分別代入得（1）9a-3b+c=0，（2）c=-3，（3）a+b+c=0，（1）（2）（3）聯(lián)立方程組解得a=1，b=2，c=-3，故這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+2x-3。變式二：已知拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)B（1，0）、C（0，-3）。且對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-1，求這條拋物線(xiàn)的解析式。解：設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，∵對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x=-1∴b=2a（1）又∵拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)B（1，0）、C（0，-3）∴a+b+c=0（2），c=-3（3）∴（1）（2）（3）聯(lián)立方程組解得a=1，b=2，c=-3故這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+2x-3．變式三：已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸，上的截距是-1，它與二次函數(shù)的圖像相交于、兩點(diǎn)，又知二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，求這兩個(gè)函數(shù)的解析式。解：設(shè)一次函數(shù)解析式為∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在軸上的截距是-1∴又∵與二次函數(shù)的圖像相交于、∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c，將、分別代入得9a-3b+c=0，a+b+c=0，又∵b=-4a解得：a=1，b=2，c=-3，故這個(gè)二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x+2x-3．23、求證：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形．∵E、F為AD，AB中點(diǎn)，∴FEBD．證明：連接BD，又∵G、H為BC，CD中點(diǎn)，∴GHBD故GHFE．同理可證，EHFG∴四邊形FGHE是平行四邊形已知：如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD四邊的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH為菱形．變式一：求證：順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形．在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四邊形EFGH為菱形．證明：連接AC、BD，已知：如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD四邊的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH為菱形．變式二：求證：順次連接一個(gè)等腰梯形的各邊中點(diǎn)，所得到的四邊形是菱形．證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，且點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N，分別是四邊形的中點(diǎn)，∴EF=MN=BD,FN=EM=AC，∵梯形ABCD，AD=BC，∴AC=BD，∴EF=MN=FN=EM，∴四邊形EFMN是菱形．已知：梯形ABCD，AD=BC，且點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N，分別是四邊形的中點(diǎn)，求證：四邊形EFMN是菱形．變式三：求證：順次連接對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形∵AC=BD,∴EH=FG=FG=EF，∴四邊形EFGH是菱形．證明：如圖，AC=BD，E、F、G、H分別是線(xiàn)段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線(xiàn)，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線(xiàn).根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，證明：如圖，AC=BD，E、F、G、H分別是線(xiàn)段AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，則EH、FG分別是△ABD、△BCD的中位線(xiàn)，EF、HG分別是△ACD、△ABC的中位線(xiàn).根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)知，EH=FG=BD，EF=HG=AC，∵AC=BD∴EH=FG=FG=EF，∴四邊形EFGH是菱形．變式三：求證：順次連接對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形4、全等三角形變式練習(xí)已知△AOB≌△COD，則你可以得到哪些等量等量關(guān)系?

①∠A=∠C；②∠B=∠D；③AB=CD；④AO=CO；⑤BO=DO；⑥AD=CB變形一:已知AB=CD，∠A=∠C，請(qǐng)說(shuō)明AD=CB嗎?證明：在△AOB和△COD中，∵AB=CD，∠A=∠C，∠AOB=∠COD∴△AOB≌△COD∴AO=CO,BO=DO∵AD=AO+DO,CB=CO+BO∴AD=BC變形二:已知△ABC≌△CDA，你能得到△AOB≌△COD嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.證明：∵△ABC≌△CDA∴AB=CD∠B=∠D在△AOB和△COD中，AB=CD,∠B=∠D,∠BOA=∠DOC∴△AOB≌△COD變形三:已知∠1=∠2，，AO=CO，BO=DO，試說(shuō)明△ABD≌△CDB.證明：在△AOB和△COD中，AO=CO，BO=DO,∠BOA=∠DOC∴△AOB≌△COD∴∠ABO=∠CDO∵∠1=∠2∴∠ABD=∠CDB又∵BD=DB∴△ABD≌△CDB5、填空(在橫線(xiàn)內(nèi)填>、<或=)

變式一：變式二：變式三：MN40cm30cmABCD┐

6.如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在兩直角邊上，點(diǎn)C在斜邊上。(1).設(shè)矩形的一邊AB=xcm,那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？

(2).設(shè)矩形的面積為y,當(dāng)x取何值時(shí),y的最大值是多少?如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在兩直角邊上，點(diǎn)C在斜邊上。(1).設(shè)矩形的一邊AB=xcm,那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？

(2).設(shè)矩形的面積為y,當(dāng)x取何值時(shí),y的最大值是多少?變式一MN40cm30cmABCD┐

1.如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在兩直角邊上，點(diǎn)C在斜邊上。(1).設(shè)矩形的一邊AB=xcm,那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？

(2).設(shè)矩形的面積為y,當(dāng)x取何值時(shí),y的最大值是多少?變式二MN40cm30cmABCD┐

1.如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中點(diǎn)B和點(diǎn)D分別在兩直角邊上，點(diǎn)C在斜邊上。(1).設(shè)矩形的一邊AB=xcm,那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？

(2).設(shè)矩形的面積為y,當(dāng)x取何值時(shí),y的最大值是多少?變式三MN40cm30cmABCD┐7.如圖，AB//CD，在直線(xiàn)，AB和CD上分別任取一點(diǎn)E、F．

變式一：如圖（1），已知有一定點(diǎn)P在A(yíng)B、CD之間，試問(wèn)∠EPF=∠AEP+∠CFP嗎？為什么？

（1）解：∠EPF=∠AEP+∠CFP如圖（4）過(guò)點(diǎn)P作PH//AB∵AB//PH//CD∴∠1=∠2∠3=∠4又∵∠EPF=∠1+∠3∴∠EPF=∠2+∠4即∠EPF=∠AEP+∠CFP（4）變式二：如圖（2），如果AB、CD的外部有一定點(diǎn)P，試問(wèn)∠EPF=∠CFP－∠AEP嗎？為什么？（2）解：∠EPF=∠CFP－∠AEP

如圖（2）∵AB//CD∴∠CFP=∠AQP

又∵∠PQE=180°-∠AQP∠EPF+∠AEP+∠PQE=180°∴∠EPF+∠AEP+180°-∠AQP=180°

即∠EPF+∠AEP+180°-∠CFP=180°∴∠EPF=∠CFP－∠AEP變式三：如圖（3），AB//CD，BEFGD是折線(xiàn)，那么∠B+∠F+∠D=∠E+∠G嗎？簡(jiǎn)述你的理由．（3）（3）∠B+∠F+∠D=∠E+∠G

如圖（5）分別作E、F、G作EM//ABFN//ABGT//AB

則∠1=∠2∠3=∠4∠5=∠6∠7=∠8∴∠1+∠4+∠5+∠8=∠2+∠3+∠6+∠7即∠B+∠F+∠D=∠E+∠G（5）圖48.如圖4，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-1，2）、N（1，-2）的拋物線(xiàn)y=a+bx+c與x軸交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)(1)求b的值

(2)若O=OA·OB，試求拋物線(xiàn)的解析式(3)在該拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)將M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)解析式，得a-b+c=2①a+b+c=-2②②—①，得2b=-4，∴b=-2；（2）由（1）b=-2，a+c=0,∴拋物線(xiàn)解析式可寫(xiě)為y=a-2x-a則C（0，-a）。設(shè)A（,0）B(,0)，則,是方程a-2x-a=0的兩根，從而=-1由所給圖形可知OC=a,OA=-,OB=.∵O=OA·OB,∴=-,∴=1,∴a=1(a>0)∴拋物線(xiàn)解析式為y=-2x-1圖5(3)如圖5，在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P，使△PAC的周長(zhǎng)最小?！逜C為定值，∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小，只需PA+PC最小。誰(shuí)是那條“河”呢？由題意可知對(duì)稱(chēng)軸x=1是那條“河”?！唿c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B，由上述例題可知，連結(jié)BC交x=1于一點(diǎn)，這一點(diǎn)即為P點(diǎn)（PA+PC=PB+PC）。由（2）知B(+1，0)、C(0,-1),經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(+1，0)、C(0,-1)的直線(xiàn)為y=(-1)x-1.當(dāng)x=1時(shí)，y=-2.即P(1,-2).

已知:如圖6，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，2），有兩動(dòng)點(diǎn)C、D，C在x軸移動(dòng)，D在y軸上移動(dòng)。當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最短時(shí)，求C、D的坐標(biāo)。變式二分析：連結(jié)AB，∵AB為定值，∴要使四邊形ABCD周長(zhǎng)最小，只需BC+CD+DA最小。如何才能把BC、CD、DA放在同一條直線(xiàn)上呢？由例題可知，需要找出對(duì)稱(chēng)軸，只有x軸和y軸才能是對(duì)稱(chēng)軸。解：做A（-1，3）點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A’(1,3)，做B（-4，2）點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B’(-4,-2)，連結(jié)A’B’，交y軸、x軸于兩點(diǎn)D、C，連結(jié)AD，BC。

∴此時(shí)四邊形ABCD周長(zhǎng)最小設(shè)A’B’的解析式為：y=kx+b,把A’(1,3)、B（-4，-2）代入到解析式中，3=k+b,-2=-4k+b,∴k=1,b=2,∴A’B’的解析式為：y=x+2.令x=0,∴y=2;令y=0,∴x=-2.即C的坐標(biāo)（-2，0），

D的坐標(biāo)（0，2）。變式三已知拋物線(xiàn)y=a+bx+c與y軸交于點(diǎn)A（0，3），與x軸分別交于B(1,0)、C(5,0)兩點(diǎn)。（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；（2）若點(diǎn)D為線(xiàn)段OA的一個(gè)三等分點(diǎn)，求直線(xiàn)DC的解析式；（3）若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P自O(shè)A的中點(diǎn)M出發(fā)，先到達(dá)x軸上的某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)E），再到達(dá)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上某點(diǎn)（設(shè)為點(diǎn)F），最后運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A。求使點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的總路徑最短的點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)，并求出這個(gè)最短總路徑的長(zhǎng)。解：(1)根據(jù)題意得c=3,把B(1,0)、C(5,0)兩點(diǎn)代入到拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c中，得a+b+3=0,25a+5b+3=0,

解之得a=b=∴拋物線(xiàn)的解析式為y=-x+3

(2)依題意可得OA的三等分點(diǎn)分別為（0，1），（0，2）設(shè)直線(xiàn)CD的解析式為y=kx+b

當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，1）時(shí)，

直線(xiàn)CD的解析式為y=-x+1

當(dāng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）時(shí)，

直線(xiàn)CD的解析式為y=-x+2(3)如圖8，由題意，可得M（0，），點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M’（0，-），點(diǎn)A關(guān)于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸x=3的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A’（6，3）。連結(jié)A’M’，A’M’的長(zhǎng)就是所求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑的長(zhǎng)。所以A’M’與x軸的交點(diǎn)為所求E點(diǎn)與直線(xiàn)x=3的交點(diǎn)為所求F點(diǎn)?？汕蟮弥本€(xiàn)A’M’的解析式為y=X-可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），

F點(diǎn)坐標(biāo)為（3，），由勾股定理可求出A’M’=。所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最短總路徑（ME+EF+FA）的長(zhǎng)為15/2。

9.已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，延長(zhǎng)CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE、DE，

求證：DE·AB=AE·BE證明：

=BD·AB

因EB=CB

∴=BD·AB∴EB：BD=AB：BE

又∠EBD=∠ABE∴△EBD∽△ABE

∴EB：AB=DE：AE∴DE·AB=AE·BE變式二已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，延長(zhǎng)CB到E，使EB=CB，連結(jié)AE交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，如果此時(shí)AC=EC，

求證：AF=2FE證明：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥CF，M為垂足，則AD：DB=：=4：1

又DB：EM=1：2

所以，AD：EM=2：1

△ADF∽△EMF

∴AF：EF=AD：EM=2：1

∴AF=2EF變式三已知，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D為垂足，延長(zhǎng)CB到E，使EB=C