第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式?圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l2.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積?名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式間的聯(lián)系：S圓柱側(cè)＝2πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)lS圓錐側(cè)＝πrl.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式間的聯(lián)系：V柱體＝ShV臺(tái)體＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)heq\o(→,\s\up7(S′＝0),\s\do5())V錐體＝eq\f(1,3)Sh.[熟記常用結(jié)論]1．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球半徑r＝eq\f(a,2)，外接球半徑R＝eq\f(\r(3),2)a.2．設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R＝eq\f(\r(a2＋b2＋c2),2).3．設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則它的高為eq\f(\r(6),3)a，內(nèi)切球半徑r＝eq\f(\r(6),12)a，外接球半徑R＝eq\f(\r(6),4)a.4．直棱柱的外接球半徑可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對(duì)稱性，可知球心為上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑．[小題查驗(yàn)基礎(chǔ)]一、判斷題(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和．()(2)錐體的體積等于底面積與高之積．()(3)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差．()(4)圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.()答案：(1)√(2)×(3)√(4)×二、選填題1．一個(gè)球的表面積為16π，那么這個(gè)球的體積為()A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．24π解析：選B設(shè)球的半徑為R，則由4πR2＝16π，解得R＝2，所以這個(gè)球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.2．將一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)分別為4π，8π的矩形卷成一個(gè)圓柱，則這個(gè)圓柱的表面積是()A．40π22C．32π2或64π2 D．32π2＋8π或32π2＋32π解析：選D當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為4π時(shí)，底面圓的半徑為2，兩個(gè)底面的面積之和是8π；當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為8π時(shí)，底面圓的半徑為4，兩個(gè)底面的面積之和為32π.無論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積32π2.故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π.3．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π解析：選C由三視圖知該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為r，周長(zhǎng)為c，圓錐母線長(zhǎng)為l，圓柱高為h.由圖得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得l＝eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，S表＝πr2＋ch＋eq\f(1,2)cl＝4π＋16π＋8π＝28π.4．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．解析：由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直三棱柱，其底面為側(cè)視圖，該側(cè)視圖是底邊長(zhǎng)為2，高為eq\r(3)的三角形，正視圖的長(zhǎng)為三棱柱的高，故h＝3，所以該幾何體的體積V＝S·h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×\r(3)))×3＝3eq\r(3).答案：3eq\r(3)5.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．解析：設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)a×eq\f(1,2)b×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq\f(1,48)abc＝eq\f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.答案：1∶47eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一空間幾何體的表面積)eq\a\vs4\al([師生共研過關(guān)])[典例精析](1)(2019·武漢調(diào)研)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為()A．28 B．24＋2eq\r(5)C．20＋4eq\r(5) D．20＋2eq\r(5)(2)(2018·黃岡模擬)已知一幾何體的三視圖如圖所示，它的側(cè)視圖與正視圖相同，則該幾何體的表面積為()A．16＋12π B.32＋12πC．24＋12π D．32＋20π[解析](1)如圖所示，三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體是長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3的長(zhǎng)方體去掉一個(gè)三棱柱后的棱柱ABIE-DCMH，則該幾何體的表面積S＝(2×2)×5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×2＋2×1＋2×eq\r(5)＝24＋2eq\r(5).(2)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱柱與半球的組合體，且正四棱柱的高為eq\r(2)，底面對(duì)角線長(zhǎng)為4，球的半徑為2，所以該正四棱柱的底面正方形的邊長(zhǎng)為2eq\r(2)，該幾何體的表面積S＝eq\f(1,2)×4π×22＋π×22＋2eq\r(2)×eq\r(2)×4＝12π＋16.[答案](1)B(2)A[解題技法]求空間幾何體表面積的常見類型及思路求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積由三視圖求幾何體的表面積關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及度量大小，然后還原幾何體的直觀圖，套用公式求解[過關(guān)訓(xùn)練]ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2ABABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A．4π B.(4＋eq\r(2))πC．6π D．(5＋eq\r(2))π解析：選D∵在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∴將梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC＝2的圓柱減去一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐的組合體，∴幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋eq\f(1,2)×2π×1×eq\r(12＋12)＝(5＋eq\r(2))π.2．如圖所示的是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________．解析：該幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體從正上方挖去一個(gè)半圓柱剩下的部分，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,1,2，挖去半圓柱的底面半徑為1，高為1，所以表面積S＝S長(zhǎng)方體表－2S半圓柱底－S圓柱軸截面＋S半圓柱側(cè)＝2×4×1＋2×1×2＋2×4×2－π×12－2×1＋eq\f(1,2)×2π×1＝26.答案：26eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二空間幾何體的體積)eq\a\vs4\al([全析考法過關(guān)])[考法全析]考法(一)直接利用公式求體積[例1](2019·武漢調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A.eq\f(1,12) B.eq\f(9,4)C.eq\f(9,2) D．3[解析]如圖，三棱錐P-ABC為三視圖所對(duì)應(yīng)幾何體的直觀圖，由三視圖可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×2×3＝3，點(diǎn)P到平面ABC的距離h＝3，則VP-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\f(1,3)×3×3＝3，故選D.[答案]D考法(二)割補(bǔ)法求體積[例2](1)(2019·長(zhǎng)春監(jiān)測(cè))《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何？芻甍：底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w(網(wǎng)格紙中粗線部分為其三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1)，那么該芻甍的體積為()C．6 D．12(2)(2018·天津高考)如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1-BB1D1D的體積為________．[解析](1)如圖所示，由三視圖可還原得到幾何體ABCDEF，過E，F(xiàn)分別作垂直于底面的截面EGH和FMN，可將原幾何體切割成三棱柱EHG-FNM，四棱錐E-ADHG和四棱錐F-MBCN，易知三棱柱的體積為eq\f(1,2)×3×1×2＝3，兩個(gè)四棱錐的體積相同，都為eq\f(1,3)×1×3×1＝1，則原幾何體的體積為3＋1＋1＝5.(2)連接BD1，則四棱錐A1-BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐B-A1DD1與B-A1B1D1，所以VA1-BB1D1D＝VB-A1DD1＋VB-A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3).[答案](1)B(2)eq\f(1,3)考法(三)等體積法求體積[例3]如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為()A.eq\f(\r(3),12) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(6),12) D.eq\f(\r(6),4)[解析]易知三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1的體積，又三棱錐A-B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).[答案]A[技法點(diǎn)撥]求空間幾何體的體積的常用方法公式法對(duì)于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進(jìn)行求解割補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形分割成規(guī)則的圖形，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算其體積等體積法一個(gè)幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的．如果一個(gè)幾何體的底面面積和高較難求解時(shí)，我們可以采用等體積法進(jìn)行求解．等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形，它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法，多用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積[過關(guān)訓(xùn)練]1．[公式法]某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選C由三視圖易知該幾何體為錐體，所以V＝eq\f(1,3)Sh，其中S指的是錐體的底面積，即俯視圖中四邊形的面積，易知S＝1，h指的是錐體的高，從正視圖和側(cè)視圖易知h＝1，所以V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3).2．[割補(bǔ)法]已知某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積是()A．48cm3 B.78cm3C．88cm3 D．98cm3解析：選D由三視圖可知幾何體為一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角后剩余的幾何體，所以其體積是6×3×6－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×5×3＝98(cm3)．3.[等體積法]如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐P-ABA1的體積為________．解析：三棱錐P-ABA1的體積為V三棱錐P-ABA1＝V三棱錐C-ABA1＝V三棱錐A1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4).答案：eq\f(9\r(3),4)eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三與球有關(guān)的切、接問題)eq\a\vs4\al([全析考法過關(guān)])[考法全析]考法(一)幾何體的外接球[例1](1)(2019·福州模擬)已知圓錐的高為3，底面半徑為eq\r(3)，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于()A.eq\f(8,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．32π(2)(2018·成都模擬)在三棱錐P-ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝60°，PA＝2，AB＝AC＝eq\r(3)，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(8\r(2)π,3)C．8π D．12π[解析](1)設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋(eq\r(3))2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32,3)π.(2)易知△ABC是等邊三角形．如圖，作OM⊥平面ABC，其中M為△ABC的中心，且點(diǎn)O滿足OM＝eq\f(1,2)PA＝1，則點(diǎn)O為三棱錐P-ABC外接球的球心．于是，該外接球的半徑R＝OA＝eq\r(AM2＋OM2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)×\r(3)×\f(2,3)))2＋12)＝eq\r(2).故該球的表面積S＝4πR2＝8π.[答案](1)B(2)C考法(二)幾何體的內(nèi)切球[例2](1)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是________．(2)已知正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為2eq\r(3)，內(nèi)有一個(gè)球與四個(gè)面都相切，則棱錐的內(nèi)切球的半徑為________．[解析](1)設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R，則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R，高為2R，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(2)如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于點(diǎn)D，連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接PE，∵△ABC是正三角形，∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的中心．∵AB＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝3eq\r(3)，DE＝1，PE＝eq\r(2).∴S表＝3×eq\f(1,2)×2eq\r(3)×eq\r(2)＋3eq\r(3)＝3eq\r(6)＋3eq\r(3).∵PD＝1，∴三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×3eq\r(3)×1＝eq\r(3).設(shè)球的半徑為r，以球心O為頂點(diǎn)，三棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，則r＝eq\f(3\r(3),3\r(6)＋3\r(3))＝eq\r(2)－1.[答案](1)eq\f(3,2)(2)eq\r(2)－1[規(guī)律探求]看個(gè)性考法(一)是幾何體的外接球一個(gè)多面體的頂點(diǎn)都在球面上即為球的外接問題，解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑.考法(二)是幾何體的內(nèi)切球求解多面體的內(nèi)切球問題，一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點(diǎn)，多面體的各側(cè)面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑找共性解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：[過關(guān)訓(xùn)練]1．(2019·南寧模擬)已知三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，則三棱錐P-ABC的外接球的體積為()A.eq\f(27,2)π B.eq\f(27\r(3),2)πC．27eq\r(3)π D．27π解析：選B∵三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC為過同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐P-ABC的外接球．∵正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(32＋32＋32)＝3eq\r(3)，∴其外接球半徑R＝eq\f(3\r(3),2).因此三棱錐P-ABC的外接球的體積V＝eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)))3＝eq\f(27\r(3),2)π.2.(2018·唐山模擬)把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)(皮球不變形)，則皮球的半徑為()A．10eq\r(3)cm B.10cmC．10eq\r(2)cm D．30cm解析：選B依題意，在四棱錐S-ABCD中，所有棱長(zhǎng)均為20cm，連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，則SO＝AO＝BO＝CO＝DO＝10eq\r(2)cm，易知點(diǎn)O到AB，BC，CD，AD的距離均為10cm，在等腰三角形OAS中，AO＝SO＝10eq\r(2)cm，SA＝20cm，所以O(shè)到SA的距離d＝10cm，同理可證O到SB，SC，SD的距離也為10cm，所以球心為四棱錐底面ABCD的中心O，所以皮球的半徑r＝10cm.eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、題點(diǎn)全面練1．(2019·沈陽質(zhì)檢)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是()A．4＋4eq\r(2) B．4eq\r(2)＋2C．8＋4eq\r(2) D.eq\f(8,3)解析：選A由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，記為四棱錐P-ABCD，如圖所示，其中PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且PA＝2，AB＝2，PB＝2eq\r(2)，所以該四棱錐的側(cè)面積S是四個(gè)直角三角形的面積和，即S＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2＋\f(1,2)×2×2\r(2)))＝4＋4eq\r(2).2．(2019·開封模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()C.eq\f(4π,3) D．π解析：選B由題意知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體為圓柱的一部分，設(shè)底面扇形的圓心角為α，由tanα＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3)，得α＝eq\f(π,3)，故底面面積為eq\f(1,2)×eq\f(π,3)×22＝eq\f(2π,3)，則該幾何體的體積為eq\f(2π,3)×3＝2π.3．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為()A．72＋6π B．72＋4πC．48＋6π D．48＋4π解析：選A由三視圖知，該幾何體由一個(gè)正方體的eq\f(3,4)部分與一個(gè)圓柱的eq\f(1,4)部分組合而成(如圖所示)，其表面積為16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.4．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為()A．64－eq\f(16π,3) B.64－eq\f(32π,3)C．64－16π D．64－eq\f(64π,3)解析：選A由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)正方體中間挖去兩個(gè)頂點(diǎn)相接的圓錐，其中，兩個(gè)圓錐的體積和是V錐＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×22×4＝eq\f(16π,3)，∴V＝V正方體－V錐＝43－eq\f(16π,3)＝64－eq\f(16π,3).5.(2018·廣州調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1，圖中粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的外接球的表面積為()A.eq\f(11,2)C．11π D．12π解析：選C根據(jù)三視圖知，可將該三棱錐放在長(zhǎng)方體中，如圖中三棱錐S-ABC所示，取線段AC的中點(diǎn)O1，過O1作直線垂直于平面ABC交長(zhǎng)方體的上底面于點(diǎn)P，因?yàn)椤鰽BC是直角三角形，所以外接球的球心O必在直線PO1上，連接SO，SP，OC，設(shè)OO1＝x，球的半徑為R，易得SP＝eq\f(\r(10),2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝x2＋\f(1,2)，,R2＝1－x2＋\f(5,2)，))解得R2＝eq\f(11,4)，所以該三棱錐外接球的表面積S＝4πR2＝11π，故選C.6.如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，C1的平面截正方體所得的截面為M，則截面M的面積為________．解析：如圖，取A1D1，AD的中點(diǎn)分別為F，G.連接AF，AP，PC1，C1F，PG，D1G，AC1，PF.∵F為A1D1的中點(diǎn)，P為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，∴AF＝FC1＝AP＝PC1＝eq\f(\r(5),2)，PG綊CD，AF綊D1G.由題意易知CD綊C1D1，∴PG綊C1D1，∴四邊形C1D1GP為平行四邊形，∴PC1綊D1G，∴PC1綊AF，∴A，P，C1，F(xiàn)四點(diǎn)共面，∴四邊形APC1F為菱形．∵AC1＝eq\r(3)，PF＝eq\r(2)，過點(diǎn)A，P，C1的平面截正方體所得的截面M為菱形APC1F，∴截面M的面積S＝eq\f(1,2)AC1·PF＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(2)＝eq\f(\r(6),2).答案：eq\f(\r(6),2)7．(2019·合肥質(zhì)量檢測(cè))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為________．解析：由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)半圓柱與兩個(gè)半球構(gòu)成，故其表面積為4π×12＋eq\f(1,2)×2×π×1×3＋2×eq\f(1,2)×π×12＋3×2＝8π＋6.答案：8π＋68．已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________．解析：如圖，取SC的中點(diǎn)O，連接OA，OB.∵SA＝AC，SB＝BC，∴OA⊥SC，OB⊥SC，∵平面SAC⊥平面SBC，∴OA⊥平面SBC.設(shè)OA＝r，則VS-ABC＝VA-SBC＝eq\f(1,3)S△SBC×OA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2r×r×r＝eq\f(1,3)r3＝9.∴r＝3.∴球O的表面積為4πr2＝36π.答案：36π9．已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接圓柱，這個(gè)圓柱的底面半徑與高為何值時(shí)，它的側(cè)面積最大？側(cè)面積的最大值是多少？解：如圖為其軸截面，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側(cè)面積為S，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2＝R2，即h＝2eq\r(R2－r2).因?yàn)镾＝2πrh＝4πr·eq\r(R2－r2)＝4πeq\r(r2·R2－r2)≤4πeq\r(\f(r2＋R2－r22,4))＝2πR2，當(dāng)且僅當(dāng)r2＝R2－r2，即r＝eq\f(\r(2),2)R時(shí)，取等號(hào)，所以當(dāng)內(nèi)接圓柱底面半徑為eq\f(\r(2),2)R，高為eq\r(2)R時(shí)，其側(cè)面積的值最大，最大值為2πR2.10.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.(1)求證：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積．解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BE⊥AC.因?yàn)锽D∩BE＝B，BD?平面BED，BE?平面BED，所以AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱錐E-ACD的體積V三棱錐E-ACD＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq\r(5).故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2eq\r(5).二、專項(xiàng)培優(yōu)練(一)易錯(cuò)專練——不丟怨枉分1．(2018·衡水二模)如圖是某個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體的表面積是()A．π＋4eq\r(2)＋4 B.2π＋4eq\r(2)＋4C．2π＋4eq\r(2)＋2 D．2π＋2eq\r(2)＋4解析：選B由三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)半圓柱與一個(gè)三棱柱組成的幾何體，其直觀圖如圖所示，其表面積S＝2×eq\f(1,2)π×12＋2×eq\f(1,2)×2×1＋eq\f(1,2)π×2×1＋(eq\r(2)＋eq\r(2)＋2)×2－2×1＝2π＋4eq\r(2)＋4.2．(2019·石家莊質(zhì)檢)如圖是某四棱錐的三視圖，其中正視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)視圖是底邊分別為2和1的直角梯形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(8,3) B.eq\f(4,3)C.eq\f(8\r(2),3) D.eq\f(4\r(2),3)解析：選A記由三視圖還原后的幾何體為四棱錐A-BCDE，如圖，將其放入棱長(zhǎng)為2的正方體中，其中點(diǎn)D，E分別為所在棱的中點(diǎn)，分析知平面ABE⊥平面BCDE，點(diǎn)A到直線BE的距離即棱錐的高，設(shè)為h，在△ABE中，易知AE＝BE＝eq\r(5)，cos∠ABE＝eq\f(\r(5),5)，則sin∠ABE＝eq\f(2\r(5),5)，所以h＝eq\f(4\r(5),5)，故四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)×2×eq\r(5)×eq\f(4\r(5),5)＝eq\f(8,3).3．三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為eq\r(3)的正三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，若球O與三棱柱ABC-A1B1C1各側(cè)面、底面均相切，則側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C．1 D.eq\r(3)解析：選C因?yàn)榍騉與直三棱柱的側(cè)面、底面均相切，所以側(cè)棱AA1的長(zhǎng)等于球的直徑．設(shè)球的半徑為R，則球心在底面上的射影是底面正三角形ABC的中心，如圖所示．因?yàn)锳C＝eq\r(3)，所以AD＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(3),2).因?yàn)閠aneq\f(π,6)＝eq\f(MD,AD)，所以球的半徑R＝MD＝ADtaneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＝eq\f(1,2)，所以AA1＝2R＝2×eq\f(1,2)＝1.4．(2018·洛陽聯(lián)考)已知球O與棱長(zhǎng)為4的正四面體的各棱相切，則球O的體積為()A.eq\f(8\r(2),3)π B.eq\f(8\r(3),3)πC.eq\f(8\r(6),3)π D.eq\f(16\r(2),3)π解析：選A將正四面體補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對(duì)角線，因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為4，所以正方體的棱長(zhǎng)為2eq\r(2).因?yàn)榍騉與正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑為正方體的棱長(zhǎng)2eq\r(2)，則球O的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(8\r(2),3)π.(二)技法專練——活用快得分5．[構(gòu)造法]某幾何體的三視圖如圖所示(粗實(shí)線部分)，正方形網(wǎng)格的邊長(zhǎng)為1，該幾何體的頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為()C．17π D．18π解析：選C由題中的三視圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐D1-BCD，將其放在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，則該幾何體的外接球即長(zhǎng)方體的外接球，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2,2,3，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為eq\r(4＋4＋9)＝eq\r(17)，球O的直徑為eq\r(17)，所以球O的表面積S＝17π.6．[補(bǔ)形法]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()A.eq\f(3,2) B.eq\f(13,6)C．2 D.eq\f(11,6)解析：選D由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)底面為等腰直角三角形，高為2的直三棱柱，截去一個(gè)小三棱錐的組合體，直觀圖如圖所示．直三棱柱的體積為eq\f(1,2)×2×1×2＝2，而截去的三棱錐的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，故所求幾何體的體積為2－eq\f(1,6)＝eq\f(11,6).7．[等體積法]在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AD＝1，AB＝2，AA1＝2，點(diǎn)M在平面ACB1內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則線段BM的最小值為()A.eq\f(\r(6),2) B.eq\r(6)C.eq\f(\r(6),3) D．3解析：選C線段BM的最小值即點(diǎn)B到平面ACB1的距離h.在△ACB1中，AC＝B1C＝eq\r(5)，AB1＝2eq\r(2)，所以AB1邊上的高為eq\r(5－2)＝eq\r(3)，所以S△ACB1＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6).又三棱錐