流體的運動華南理工大學詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有64頁\編輯于星期日優(yōu)選流體的運動華南理工大學現(xiàn)在是2頁\一共有64頁\編輯于星期日拉格朗日法圖3-1跡線示意圖3.1流體運動描述方法

跡線即軌跡線，是某一流體質點在一個時間序列占據(jù)空間位置的連線，如圖3-1所示的s線。跡線直觀地反映質點所經(jīng)歷的空間位置和路程?，F(xiàn)在是3頁\一共有64頁\編輯于星期日

跡線方程是描述跡線上流體質點位置與時間關系的式子，例如質點位置的矢矩式：R=R(a,b,c,t)

若給出質點的速度(實際中質點的速度有時比位置更易測量)，則容易根據(jù)跡線定義得到跡線微分方程。在直角坐標系，跡線微分方程為注意拉各朗日變量對于選定的流體質點為不變量，因此因變量的時間變化率只對時間t進行求導數(shù)。3.1流體運動描述方法現(xiàn)在是4頁\一共有64頁\編輯于星期日3.1.2歐拉法

歐拉法通過研究流體參數(shù)在不同時刻、在流體運動空間所有點的變化來得到整個流動的情況。連續(xù)介質的流動一般用歐拉法描述。

場在物理學中是指量的空間分布，其狀態(tài)由場參數(shù)(空間位置上質點的宏觀參數(shù))來確定。流體流動的空間稱為流場，其狀態(tài)參數(shù)包括壓強、密度、溫度、速度。

流體參數(shù)的表示

歐拉法采用空間坐標x1,x2,x3和時間t作為獨立自變量來確定流場參數(shù)，即將流場的任一參數(shù)B表示為B=B(x1,x2,x3,t)3.1流體運動描述方法現(xiàn)在是5頁\一共有64頁\編輯于星期日在直角坐標系，流速和壓強的歐拉法表示為u=u(x,y,z,t)，p=p(x,y,z,t)

流線是流場中這樣的曲線：在任意時刻，曲線上任何一點的切線方向都與占據(jù)該點的流體質點的速度方向相同，如圖3-2所示的s線。歐拉法3.1流體運動描述方法圖3-2流線示意圖現(xiàn)在是6頁\一共有64頁\編輯于星期日

流線的幾點性質：

1)定常流動的流線不變化，且與跡線重合。

2)除在個別點外，流線即不相交也不轉折。

3)流線相交的點，流速必定為零(稱為駐點)或無窮大(稱為奇點)。

流線微分方程根據(jù)流線的定義，在直角坐標系，有歐拉法3.1流體運動描述方法整合以上三式，即得流線的微分方程為現(xiàn)在是7頁\一共有64頁\編輯于星期日3.1.3拉各朗日描述和歐拉描述的變換

設流體流動的某參數(shù)用拉各朗日法和歐拉法可分別表示為B=B(a,b,c,t)和B=B(x,y,z,t)，因該參數(shù)不應隨描述方法的不同而相異，而有

B(a,b,c,t)=B(x,y,z,t)

3.1流體運動描述方法現(xiàn)在是8頁\一共有64頁\編輯于星期日3.1.3拉各朗日描述和歐拉描述的變換拉各朗日描述變換為歐拉描述設流體流動的某參數(shù)在時刻t的拉各朗日描述為B=B(a,b,c,t)，且隨體坐標為(a,b,c)的流體質點因運動恰好與空間坐標點(x,y,z)重合；則顯然有x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t)，z=z(a,b,c,t)對以上三式聯(lián)立求反解，設解得a=a(x,y,z,t)，b=b(x,y,z,t)，c=c(x,y,z,t)又設在所有時刻整個流場都存在上述一一對應變換關系，則將此變換代入流體參數(shù)B的拉各朗日表述就得相應的歐拉表述。3.1流體運動描述方法現(xiàn)在是9頁\一共有64頁\編輯于星期日3.1.3拉各朗日描述和歐拉描述的變換歐拉描述變換為拉各朗日描述設流體流動的某參數(shù)B及流速u在時刻t的歐拉法描述分別為B=B(x,y,z,t)，u=u(x,y,z,t)然后對dxi/dt=ui(x,y,z,t)積分求解，設解得x=x(c1,t)，y=y(c2,t)，z=z(c3,t)應用初始條件t=t0：R0=R(x0,y0,z0)=(a,b,c)確定出上面三式中積分常數(shù)，即c1=c1(a,b,c)，c2=c2(a,b,c)，c3=c3(a,b,c)進而得流體質點的位置坐標：x=x(a,b,c,t)，y=y(a,b,c,t)，z=z(a,b,c,t)

最后將以上三式代入流體參數(shù)B的歐拉表述就得相應的拉各朗日表述。3.1流體運動描述方法現(xiàn)在是10頁\一共有64頁\編輯于星期日質點導數(shù)表示跟隨流體質點運動時所觀測到的流體參數(shù)的時間變化率。

設流體流動某參數(shù)的拉各朗日描述和歐拉描述分別為B=B(a,b,c,t)和B=B(x1,x2,x3,t)，則對應于拉各朗日描述，B的質點導數(shù)為3.1流體運動描述方法對應于歐拉描述，B的質點導數(shù)則為現(xiàn)在是11頁\一共有64頁\編輯于星期日3.1流體運動描述方法

加速度

在直角坐標系，加速度的歐拉法表述為將上式展開為三個分量式，就是現(xiàn)在是12頁\一共有64頁\編輯于星期日3.1.4系統(tǒng)和控制體反映流體運動規(guī)律的基本方程，其最初形式都是針對質點或質點系建立的，這些拉格朗日型的基本方程有時難以直接應用于解決流體流動問題。因此在流體力學中經(jīng)常是應用拉格朗日的觀點而采用歐拉的方法。引入系統(tǒng)和控制體概念，二者之間就可以方便地進行變換。

系統(tǒng)是指流體質點始終保持不變的部分或全部流場。系統(tǒng)以外的全部稱為外界，系統(tǒng)與外界之間的封閉界面稱為系統(tǒng)的邊界。系統(tǒng)的邊界一般隨流體的流動而變化，系統(tǒng)的體積和形狀也隨之改變，但系統(tǒng)所包含的流體質點始終不變。3.1流體運動描述方法現(xiàn)在是13頁\一共有64頁\編輯于星期日

控制體是指流場中相對于選定的坐標系固定并且體積保持不變的一個區(qū)域空間?？刂企w的封閉周界稱為控制面，控制面將流場分為控制體及其周圍流場。流體質點隨時間不斷地通過控制面流入和流出控制體。系統(tǒng)的邊界上和控制體的控制面上一般都與外界和周圍流場進行能量和動量交換，同時發(fā)生表面力作用。在流體力學分析中，拉各朗日描述采用的是質點系方法，歐拉描述采用的則是場的方法；它們的研究對象分別是系統(tǒng)和控制體。3.1流體運動描述方法現(xiàn)在是14頁\一共有64頁\編輯于星期日第3章流體的運動

3.1流體運動描述方法

3.2流體微元運動分析

3.2.1速度分解公式

3.2.2速度分解公式中各項的物理意義

3.3流體運動的邊界條件和物理約束

3.4流體運動若干形式現(xiàn)在是15頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析3.2.1速度分解公式如圖3-3所示。設在時刻t，流體質點在毗鄰位置M(x,y,z)和M'(x+dx,y+dy,z+dz)的速度為圖3-3流體微元速度分解現(xiàn)在是16頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析對ux'在點M(x,y,z)相對ux進行泰勒級數(shù)展開，有依次對應簡記各有關項，則上式成為將它改寫成同理平移速度現(xiàn)在是17頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析以上即為速度分解公式的三個分式，將其寫成矢量形式，就是式中u為流速；R為矢徑；w為瞬時旋轉角速度；d為應變率張量(線變形和角變形)；在直角坐標系它們的表示為

速度分解公式現(xiàn)在是18頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析3.2.2速度分解公式中各項的物理意義

線應變率

如圖3-4所示,在時刻t，xOy平面上長方體流體微元頂點A、B的速度分別為經(jīng)dt時間后，dx增長了(?ux/?x)dxdt，其單位長度單位時間的增長即x方向的線應變率為?ux/?x。

同理?uy/?y、?uz/?z為y、z方向的線應變率。流體微元在x,y,z三個方向的線應變率之和就反映該微元的體積變化率，對應于物理學場論中速度的散度，記為divu或?u?，F(xiàn)在是19頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析圖3-4流體微元的線應變速度的散度的數(shù)學定義式為顯然，不可壓流體的體積不變，即div

u=?u≡0?，F(xiàn)在是20頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析

切應變率

如圖3-5所示,在時刻t，xOy平面上長方體流體微元頂點A、B的速度分別為經(jīng)dt時間后，以A點為頂?shù)脑苯且蛑苯沁叺那邢蜻\動而變化了dg=dg1+dg2,其中所以現(xiàn)在是21頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析可見gxy為流體微元在xOy平面上角變形率的一半，稱為切應變率。同理可類推gyz和gzx，即圖3-5流體微元的切應變速度公式中各項的意義現(xiàn)在是22頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析

旋轉角速度

wx，wy，wz

如圖3-6所示，平面流體微元在t時刻產(chǎn)生切應變的同時，一般地也發(fā)生旋轉，即其對角線AB經(jīng)dt時間后轉動了一個小角度dq，顯然對角線AB的旋轉角速度為上式表示流體微元轉動的平均角速度在z方向的分量。同理可類推平均角速度在x和y方向的分量，即

rotu=×u=2w稱為速度的旋度；w

≡0的流體運動稱為無旋流動。速度公式中各項的意義現(xiàn)在是23頁\一共有64頁\編輯于星期日3.2流體微元運動分析由以上討論可見，流體微元速度分解公式(矢量式)右端的第一項為平移運動；第二項為旋轉運動；第三項為變形運動，其中又包括線變形運動和角變形運動。這一結果稱為流體微元運動的亥姆霍茲速度分解定理。速度公式中各項的意義圖3-6流體微元的旋轉P38例3-4現(xiàn)在是24頁\一共有64頁\編輯于星期日第3章流體的運動

3.1流體運動描述方法

3.2流體微元運動分析

3.3流體運動的邊界條件和物理約束

3.3.1邊界條件

3.3.2物理約束——連續(xù)方程

3.4流體運動若干形式現(xiàn)在是25頁\一共有64頁\編輯于星期日3.3流體運動的邊界條件和物理約束

流體的運動雖然復雜多變，但也不是完全“無拘無束”，還是要受到一定的空間限制和物理制約，即滿足一定的邊界條件和物理約束?，F(xiàn)在是26頁\一共有64頁\編輯于星期日3.3流體運動的邊界條件和物理約束3.3.1邊界條件

物面條件

粘性流體在運動過程中，與物體表面直接接觸的流體質點要粘附在物面上，并具有與物面相同的運動速度，此為無滑動條件。理想流體運動時，與物體表面直接接觸的流體質點可以沿著物面滑動，但不能脫離物面，此為無脫離條件。

自由表面條件忽略粘性影響時，該條件簡化為自由面上的流體質點永遠在自由面上運動?，F(xiàn)在是27頁\一共有64頁\編輯于星期日3.3流體運動的邊界條件和物理約束3.3.2物理約束——連續(xù)方程

由連續(xù)介質模型和質量守恒定律可推知，對于流場中控制體，在一段時間內(nèi)通過封閉控制面流入與流出的流體質量之差應等于控制體內(nèi)流體質量的增加，該結果用數(shù)學式表達就是連續(xù)性方程，簡稱連續(xù)方程。

現(xiàn)在是28頁\一共有64頁\編輯于星期日3.3流體運動的邊界條件和物理約束3.3.2物理約束——連續(xù)方程積分方程

于時刻t，在流場中取體積為V、封閉面面積為S的控制體，并將控制體中的流體取為系統(tǒng)，如圖3-7中實線所示；經(jīng)過一微小時間dt，系統(tǒng)移動到圖3-7中虛線所示的新位置。t時刻和t+dt時刻的系統(tǒng)邊界面將dt時間內(nèi)與系統(tǒng)有關的流場分為：t時刻部分I和III以及t+dt時刻部分II和III。系統(tǒng)的質量在時刻t、時刻t+dt分別為現(xiàn)在是29頁\一共有64頁\編輯于星期日3.3流體運動的邊界條件和物理約束mI(t)+mIII(t)

和

mII(t+dt)+mIII(t+dt)由于系統(tǒng)的質量不隨時間變化，即mI(t)+mIII(t)

=

mII(t+dt)+mIII(t+dt)連續(xù)方程

當dt→0時，VIII→V；上式左端為控制體的質量對時間的偏微分，右端為流體通量在封閉控制面的積分。其中所以現(xiàn)在是30頁\一共有64頁\編輯于星期日3.3流體運動的邊界條件和物理約束對于定常流動，上式因第一項為零而簡化為圖3-7流體流入和流出控制體連續(xù)方程由此得積分形式的連續(xù)方程為現(xiàn)在是31頁\一共有64頁\編輯于星期日3.3流體運動的邊界條件和物理約束

定常一維流動連續(xù)方程

對照圖3-8，有連續(xù)方程易得定常一維流動積分和微分形式的連續(xù)方程：r1u1A1=r2u2A2

或r

u

A=const.dr/r+du/u+dA/A=0圖3-8一維定常流動現(xiàn)在是32頁\一共有64頁\編輯于星期日3.3流體運動的邊界條件和物理約束

微分方程對積分形式連續(xù)方程的第二項應用矢量積分高斯公式，有令控制體的體積趨于零，即V→dV→0，就得微分形式的連續(xù)方程：將矢量形式的上式在直角坐標系展開，就是或連續(xù)方程現(xiàn)在是33頁\一共有64頁\編輯于星期日第3章流體的運動

3.1流體運動描述方法

3.2流體微元運動分析

3.3流體運動的邊界條件和物理約束

3.4流體運動若干形式

3.4.1流體運動分類

3.4.2平面勢流

3.4.3平面勢流的非直接解法現(xiàn)在是34頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式

流體運動的形式復雜而多樣化，對于不同的流動，采用的分析方法往往也不同。3.4.1流體運動分類

內(nèi)部流動是指有限邊界內(nèi)的流體運動，簡稱內(nèi)流。內(nèi)流的主要總效量包括流量和流動損失。

流量是指單位時間內(nèi)通過某個過流面的流體的量，分為體積流量qV和質量流量qm。非均勻流場中流體通過某個曲面S的流量的數(shù)學式為現(xiàn)在是35頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式對于液體流動，流量比流速更易測量而常用流量和通流面積來計算平均流速v，其定義式為圖3-9流過曲面的流量實際流體運動因受粘性阻力而產(chǎn)生能量損失，若不補充能量則流體壓強將沿流程逐漸下降，即為了維持穩(wěn)定的流動需要不斷地補充能量?，F(xiàn)在是36頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式外部流動是指無限邊界內(nèi)的流體運動。外流涉及的主要總效量包括升力(浮力)和阻力。

物體在流體中作水平方向運動時，受到的垂直于運動速度且垂直向上的力稱為升力或浮力，受到的與運動方向相反的力稱為阻力。圖10飛機水平飛行時的受力現(xiàn)在是37頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式

可壓縮流動是指密度隨時間和/或位置發(fā)生變化的流體運動。典型地如超聲速飛機在飛行過程中所引起的空氣流動。圖10飛機水平飛行時的受力不可壓(縮)流動是指密度既不隨時間也不隨位置發(fā)生變化的流體運動。通常條件下的液體流動以及氣體的低速流動都可視為不可壓流動?，F(xiàn)在是38頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式無粘流動即理想流體的流動。無粘流動的理論已相當完善，但無粘流動的理論解往往不符合試驗結果和真實流動。

粘性流動即實際流體的流動。在工程上，對于小粘度實際流體的流動問題往往采用粘性邊界層＋無粘流動的求解方法；對于大粘度實際流體的流動則往往要將整個流動空間視為粘性流場。

現(xiàn)在是39頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式

定常流動是指流場參數(shù)不隨時間變化的流動，如大液體容器的小孔出流。非定常流動即流場參數(shù)隨時間變化的流動，例如小液體容器的小孔出流。定?；蚍嵌ǔＡ鲃又钟袝r取決于坐標系的選擇。例如，在靜止水域作勻速直線運動的船只上的觀察者看到的繞船水流為定常流動，而岸上的觀察者看到的水流則是非定常的。由于定常流動比非定常流動容易求解，因此在研究飛機在空氣運動中的運動或流體機械中的流體運動時，往往選取隨飛機或流體機械一起運動的坐標系，這樣流體流動在運動坐標系中就是定常流動了。

現(xiàn)在是40頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式無旋流動是指流場中任何一點處流體的瞬時旋轉角速度w都為零的流動。

有旋流動即流場中流體的瞬時旋轉角速度w不處處為零的流動。

有旋流動涉及兩個與流速有關的量，即渦量W和環(huán)量G，二者的數(shù)學定義式分別為即渦量是速度的旋度，大小就等于瞬時旋轉角速度的2倍；環(huán)量是流速沿流場中任意封閉曲線L的線積分。

現(xiàn)在是41頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式空氣動力學指出，物體在空氣中低速運動時產(chǎn)生的升力與空氣密度，物體的形狀和運動速度，以及流速繞物體的環(huán)量等參數(shù)有關。

其他形式的流動包括亞聲速流動或超聲速流動；單相流動(液態(tài)或氣態(tài)的單一流體或完全混合的流體的流動，如水或空氣的運動)或多相(同一流體多物態(tài)或多物態(tài)混合流體)流動?，F(xiàn)在是42頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式3.4.2平面勢流

平面勢流無粘、不可壓流體的無旋運動稱為勢流，平面勢流即二維勢流是其中最簡單的一類。勢流是一種理想化模型，一般應用于外部流動。勢流分析可為一些實際流動提供參照結果，為更為復雜的實際流動提供深入分析的基礎。

現(xiàn)在是43頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式3.4.2平面勢流速度勢函數(shù)

對于無粘、不可壓流體的無旋流動，在流場任意一點都有u=0。數(shù)學分析指出，這樣的流場必定存在某個連續(xù)函數(shù)使得u=，函數(shù)就稱為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢。在直角坐標系將上面的-u關系代入不可壓流動的連續(xù)方程：?u=0，就得?u==0；即勢流的速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程?，F(xiàn)在是44頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式拉普拉斯方程在數(shù)學上已有成熟解法，只要給定邊界條件就能求解。由于拉普拉斯方程是線性微分方程，因此還可以采用疊加若干已知的簡單速度勢獲得更復雜的速度勢的求解方法。在下一章將看到，對于不可壓流體或正壓流體的無旋流動，其壓力場和速度場是非耦合的。這意味著二者可分開求解，相應的動力學問題可簡化為純運動學問題：即先求得滿足邊界條件的速度勢，再由速度勢求流速，最后根據(jù)流速與壓強的動力學關系求壓強。平面勢流現(xiàn)在是45頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式

流函數(shù)y對于平面勢流或更一般的二維不可壓流動，還可以引入流函數(shù)y進行分析。在直角坐標系，流函數(shù)的定義為

容易證明，流函數(shù)自動滿足二維不可壓縮流動的連續(xù)方程。

平面勢流現(xiàn)在是46頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式流函數(shù)的性質

1)

流函數(shù)的等值線為流線

在時刻t，有沿流函數(shù)等值線，有y

=const.、dy=0，上式成為dx/ux=dy/uy，即二維流動的流線微分方程。平面勢流現(xiàn)在是47頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式速度勢函數(shù)的等值線稱為等勢線。在時刻t沿等勢線，有=const.、d=0，上式成為表示等勢線與流線互相垂直，即在平面勢流流場中任意一點，等勢線和流線彼此垂直。

平面勢流現(xiàn)在是48頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式2)

兩流函數(shù)值之差為對應兩流線間的流量

設AB為流場中任一非流線的曲線，在AB上取微元ds=idx+jdy，單位法矢為n=(idy-jdx)/ds，如圖3-11所示；則流過該微元的體積流量為平面勢流圖3-11通過二維曲線的流量現(xiàn)在是49頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式對上式積分就是流過曲線AB的流量，即因AB不是流線，必有不同的兩條流線分別經(jīng)過AB兩點。上式表明過AB兩點的兩流線間的流量就是AB兩點流函數(shù)的值差。平面勢流現(xiàn)在是50頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式3）流函數(shù)調(diào)和量的負值等于渦量Ω的模在直角坐標系，二維流動的渦量W為上式稱為y–W方程，表示流函數(shù)調(diào)和量2y的負值就等于渦量W的模，即在無旋條件下，y-W方程簡化為拉普拉斯方程:以上對流函數(shù)及其性質的討論適用于任何二維不可壓流動。平面勢流現(xiàn)在是51頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式

幾種簡單的平面勢流

1)勻直流

指流速處處相等且方向相同的流動，如圖3-12所示。若將流速方向取為x坐標軸，則勻直流的速度勢和流函數(shù)分別為圖3-12勻直流平面勢流現(xiàn)在是52頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式

2)點源和點匯

點源流場以一定的流量從源點向外流出，如圖3-13所示；點匯流場則以一定的流量流向點匯。若將點源或點匯中心放在直角坐標系的原點，則其速度勢和流函數(shù)分別為平面勢流圖3-13點源現(xiàn)在是53頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式

3)點渦中心位于直角坐標系原點的一個點渦流場如圖3-14所示，其速度勢和流函數(shù)為點渦中心是奇點，為有旋流動；其余的流場則是無旋的。實際中，粘性作用使點渦流場有一個渦核，其中流體作準剛體運動，渦核外流速(稱為誘導速度)則與流體至渦中心的距離成反比，如圖3-15所示。

平面勢流圖3-14點渦 圖3-15點渦的誘導流場現(xiàn)在是54頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式熱帶風暴氣旋的流場在水平面與點渦有些相似，圖3-16所示為氣象衛(wèi)星拍攝的一幅熱帶風暴云圖。風暴中心為“風眼”，風速較??；風眼周圍為“眼壁”，風速和降水量最大；源于眼壁的巨大云層為螺旋狀雨區(qū)。平面勢流圖3-16熱帶風暴氣象云圖 現(xiàn)在是55頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式

4)偶極子

將相距為h>0、強度相等為Q的一個源和一個匯放在同一平面，當h→0而Q同時增大、使Q

h=M保持不變的流場稱為偶極子，M稱為偶極矩并定義其方向為從匯指向源。

圖3-17所示為將源和匯放在直角坐標點(-h,0)和(0,0)的偶極子流場，其速度勢和流函數(shù)為平面勢流圖3-17偶子極現(xiàn)在是56頁\一共有64頁\編輯于星期日3.4流體運動若干形式3.4.3平面勢流的非直接解法

平面勢流的非直接解法包括奇點分布法、鏡像法和映射法。這些方法不直接求解拉普拉斯方程，而是應用復勢概念和復變函數(shù)中解析函數(shù)的一些性質，由已知的簡單平面勢流求解更復雜的平面勢流。