第=page11頁，共=sectionpages11頁2022-2023學(xué)年福建省福州市五校聯(lián)考高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.直線x+3yA.π3 B.π6 C.2π2.已知直線l1：mx?y+1=0A.直線l1過定點(diǎn)(0,?1)

B.當(dāng)l1⊥l2時，m=13

C.當(dāng)3.已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足S2A.?2 B.2 C.?3 4.四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PCA.1

B.1112

C.116

5.從0，1，2，3，4，5，6七個數(shù)字中取四個不同的數(shù)組成被5整除的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)的個數(shù)有(

)A.260 B.240 C.220 D.2006.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f′(xA.f(?2)=?5

B.f(x)在(?∞,0)7.已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2a2?y2b2A.2 B.3 C.2 8.已知函數(shù)f(x)=x+2A.12 B.32 C.?二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.等差數(shù)列{an}中，Sn為{anA.若a2+a3+a8=15，則a3+a7=10

B.若a9=610.橢圓x24+y23=1的左右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)PA.若PF1⊥x軸，則|PF2|=32 B.四邊形PF1QF211.拋物線C：y2=4x焦點(diǎn)為FA.過焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B，若|AB|=8，則弦AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸距離為4

B.A，B，C為拋物線上三點(diǎn)，若F是△ABC的重心，則|FA|+|FB|+|F12.已知函數(shù)f(x)為定義在(?∞,0)∪(A.πf(e)<ef(π)

B.當(dāng)m<三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.直線2x+3y?1=14.五個學(xué)生(含甲、乙、丙)排成一排，甲與乙必須相鄰，甲與丙不能相鄰，則不同的排法種數(shù)有______.(用數(shù)字作答)15.直線y=a(x+2)與曲線x2?16.法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在共著作《解析函數(shù)論》中提出一個定理：如果函數(shù)y=f(x)滿足如下兩個條件：①其圖象在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)不斷的；②在區(qū)間(a,b)上都有導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間(a,b)上至少存在一個數(shù)c四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.(本小題10.0分)

已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,?1)，與直線x+y=1相切，且圓心在直線y=?2x上．

(1)18.(本小題12.0分)

(1)二項(xiàng)式(5x?13x)n展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為64，求其展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)．19.(本小題12.0分)

已知在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1=?3，a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn=2bn20.(本小題12.0分)

在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=A21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?x．

(1)求曲線y=f(x)在x=22.(本小題12.0分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過點(diǎn)P(2,1)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，且|PF答案和解析1.【答案】D

【解析】解：∵直線x+3y?1=0的斜率等于?33，設(shè)直線x+3y?1=0的傾斜角為θ，

則tanθ=?2.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，直線l1：mx?y+1=0，即y=mx+1，恒過點(diǎn)(0,1)，A錯誤；

對于B，當(dāng)l1⊥l2時，有2m+(m?1)=0，解可得m=13，B正確；

對于C，當(dāng)l1//l2時，有?m(m?1)=?2，即m(m?1)=2，解可得m=2或?1，

當(dāng)m=2時，直線l13.【答案】B

【解析】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

當(dāng)q=1時，S2mSm=2≠9，不滿足題意，舍去，

當(dāng)q≠1時，

則a1(1?q2m)1?qa1(1?qm)4.【答案】B

【解析】解：如圖所示，

因?yàn)榈酌鍭BCD是平行四邊形，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)，

所以AE=12(AP+AC)=12AP+12(AB+BC)=12AB+12BC+12AP5.【答案】C

【解析】解：無重復(fù)數(shù)字的能被5整除的四位數(shù)末尾數(shù)字只能為0或5，

當(dāng)末尾數(shù)字為0時，有A63=120個，當(dāng)末尾數(shù)字為5時，有5A52=100個，

所以無重復(fù)數(shù)字的能被5整除的四位數(shù)為120+100=220個．

故選：C．

無重復(fù)數(shù)字的能被6.【答案】D

【解析】解：由題意得，f′(x)=3f′(1)x2+2x，當(dāng)x=1時，f′(1)=3f′(1)+2，解得f′(1)=?1，

∴f(x)=?x3+x2?1，f(?2)=?(?2)3+(?2)2?1=11，A錯誤；

f′(x7.【答案】C

【解析】解：由題意，F(xiàn)1(?c,0)，F(xiàn)2(c,0)，

設(shè)一條漸近線方程為y=bax，則F1到漸近線的距離為bca2+b2=b．

設(shè)F1關(guān)于漸近線的對稱點(diǎn)為M，F(xiàn)1M與漸近線交于A，∴|MF1|=2b，

A為F1M的中點(diǎn)，又O是F8.【答案】D

【解析】解：因?yàn)閒(x)=x+2sinx，則f′(x)=1+2cosx，

由f′(x)<0，即cosx<?12，可得2kπ+2π3<x<2kπ+4π3(k∈Z)，

由f′(x9.【答案】AB【解析】解：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

依次分析選項(xiàng)：

對于A，若a2+a3+a8=15，即a1+d+a1+2d+a1+7d=3a1+10d=15，

而a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d，其值無法確定，10.【答案】BC【解析】解：橢圓x24+y23=1的左右兩焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，可得c=1，a=2，b=3，

PF1⊥x軸，|PF1|=32，所以|PF2|=2a?|PF1|=4?32=52，所以A不正確；

橢圓x24+y23=1，點(diǎn)P為橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)11.【答案】BC【解析】解：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，

A中，由拋物線的性質(zhì)可得|AB|=x1+x2+p=x1+x2+2=8，所以x1+x2=6，

所以AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離d=x1+x22=3，故A不正確；

B中，由F為△ABC的重心，所以1=x1+x2+x33，所以x1+x2+x3=3，

可得|FA|+|F12.【答案】CD【解析】解：令F(x)=f(x)x，

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為定義在(?∞,0)∪(0,+∞)上的奇函數(shù)，

所以f(?x)=?f(x)，

所以F(?x)=f(?x)?x=?f(x)?x=f(x)x=F(x)

所以F(x)為定義在(?∞,0)∪(0,+∞)上的偶函數(shù)，

F′(x)=f′(x)?x?f(x)x2，

因?yàn)楫?dāng)x<0時，xf′(x)?f(x)>0，

所以當(dāng)x<0時，F(xiàn)′(x)>0，

所以F(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，

由對稱性可知F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，

因?yàn)閒(2)=0，

所以F(2)=f(2)2=0，

對于A：因?yàn)棣?gt;e，

所以F(π)<F(e)，

所以f(π)π<f(e)e，

所以ef(π)<πf(e)，故A錯誤；

對于B：當(dāng)0<m<2時，F(xiàn)(m)>F(2)，

所以f(m)m>f(2)13.【答案】(1,【解析】解：根據(jù)題意，直線2x+3y?1=0，

當(dāng)x=0時，y=13，直線經(jīng)過點(diǎn)A(0,13)，

當(dāng)x=1時，14.【答案】36

【解析】解：甲與乙必須相鄰，采用捆綁法，將其看成一個整體，與除丙外的其他2人排列，共A33×A22=12種排法，

甲與丙不能相鄰，采用插空法，甲與乙與除丙外的其他2人排好后形成4個空位，但甲與丙不能相鄰，

故丙只有3種選擇，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，不同的排法種數(shù)有12×315.【答案】(?【解析】解：對于曲線x2?yy=1而言，

當(dāng)y≥0時，曲線為x2?y2=1，

當(dāng)y<0時，曲線為x2+y2=1，

因?yàn)橹本€y=a(x+2)為過定點(diǎn)(?2,0)斜率為a的直線，

當(dāng)曲線取上半部分時，曲線方程為：x2?y2=1，

此時要讓直線與上半部分有兩個交點(diǎn)，故直線的斜率需小于漸近線斜率，

對于雙曲線x2?16.【答案】1l【解析】解：g′(x)=1+1x，g(2)?g(1)=ln2+1，g17.【答案】解：(1)∵圓心在直線y=?2x上，故設(shè)所求圓心坐標(biāo)為C(a,?2a)，

∵圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,?1)，與直線x+y=1相切，

∴圓的半徑即等于|AC|，也等于C到直線x+y=1的距離，

∴(a?2)2+(?2a+1)2=|a?2a?1|2，

化簡得a2?2a+1=0，∴a=1，

∴圓心為C(1,?2)，半徑r=2，

∴所求圓方程為(x?1)【解析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．

(1)設(shè)出圓心的坐標(biāo)為(a,?2a)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出圓心到A的距離即為圓的半徑，且根據(jù)圓與直線x+y=1相切，根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求出圓的半徑，根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；

(2)18.【答案】(1)解：∵二項(xiàng)式(5x?13x)n展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2n=64，∴n=6，

∴二項(xiàng)式(5x?13x)n=(5x?13x)6，故它的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C6r?(?1)r?56?r?x【解析】(1)由題意，求得它的通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)等于2，求得r的值，可得其展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)．

(2)在所給的等式中，分別令x=1，x=?119.【答案】解：(1)設(shè)公差為d(d≠0)，由a1=?3，a4是a3與a7的等比中項(xiàng)，可得a42=a3a7，

即為(?3+3d)2=(?3+2d)(?3+6d)，

解得d=2，

則an=?3+2【解析】(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，解方程可得公差，求得an；由數(shù)列的遞推式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得bn；

(2)20.【答案】(1)證明：∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，

∴PD⊥平面ABCD，

又PD⊥AD，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz．

則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，

DB=(1,1,0)，BC=(?1,1,0)，

∵BC?DB=0，∴BC⊥DB，

又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，又BD∩PD=D，∴B【解析】(1)由題設(shè)條件可證得DP，DA，DC三線兩兩垂直，故可以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，按題中所給的條件，給出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線BC的方向向量以及平面PBD的法向量，由數(shù)量積為0證明線面垂直；

(2)求出PA的坐標(biāo)及平面PDB的一個法向量，由向量法可得直線AP與平面PDB所成角的正弦值；

(3)21.【答案】解：(1)f′(x)=1x?1，

所以切線的斜率為f′(e)=1e?1，

又f(e)=lne?e=1?e，

所以f(x)在x=e處的切線方程為y?(1?e)=(1e?1)(x?e)，即y=(1e?1)x．

(2)g(x)=f(x)+2x?4lnx?2x=lnx?x+2x?4lnx?2x=?3lnx+x?2【解析】(1)求導(dǎo)得f′(x)=1x?1，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率為f′(e)=1e?1，又f(e)=1?e，由點(diǎn)斜式，可得切線的方程．

(2)22.