四川省康定中學(xué)2023屆第四次模擬考試高三數(shù)學(xué)理科滿分：150分一單項選擇題（每題5分，共12道小題，共計60分）1.若復(fù)數(shù)與（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用復(fù)平面的對稱得到答案.【詳解】數(shù)與（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則故選：【點睛】本題考查了復(fù)平面的對稱問題，屬于簡單題.2.已知集合，.若，則實數(shù)的值為（）A.-1或0 B.0或1 C.-1或2 D.1或2【答案】D【解析】【分析】因為，，本身含有元素，0，1，2，根據(jù)元素的互異性，0，求出即可．【詳解】解：集合，0，，，，，因為，本身含有元素，0，1，2，所以根據(jù)元素的互異性，，0即可，故或2，故選：．【點睛】本題考查已知集合并集求含參問題，屬于基礎(chǔ)題．3.若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)得到，再利用二倍角公式得到答案.【詳解】，故選：【點睛】本題考查了二倍角公式，意在考查學(xué)生的計算能力.4.已知命題：，，則為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】直接利用全稱命題的否定定義得到答案.【詳解】命題：，，則：，故選：【點睛】本題考查了全稱命題的否定，意在考查學(xué)生的推斷能力.5.某校隨機抽取100名同學(xué)進行“垃圾分類"的問卷測試，測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這100名同學(xué)的得分都在[50，100]內(nèi)，按得分分成5組：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則這100名同學(xué)的得分的中位數(shù)為A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求得中位數(shù)即可.【詳解】在頻率分步直方圖中，小正方形的面積表示這組數(shù)據(jù)的頻率，中位數(shù)為：.故選：A【點評】本題考查頻率分布直方圖的相關(guān)知識，直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所有各個矩形面積之和為1，也考查了中位數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．6.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且an≠0，若a5=3a3，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將S9，S5轉(zhuǎn)化為用a5，a3表達的算式即可得到結(jié)論.【詳解】解：依題意，，又，∴，故選：D.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的前n項和，考查了等差中項的性質(zhì)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.已知是空間中兩個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是A.若，，且，則B.若，，且，則C.若，，且，則D.若，，且，則【答案】C【解析】【分析】由空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關(guān)系逐一核對四個選項得答案．【詳解】由m∥α，n∥β，且α∥β，得m∥n或m與n異面，故A錯誤；由m∥α，n∥β，且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故B錯誤；由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又n∥β，則m⊥n，故C正確；由m⊥α，n∥β且α⊥β，得m∥n或m與n相交或m與n異面，故D錯誤．故選：C．【點睛】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查空間中直線與直線、直線與平面及平面與平面位置關(guān)系的判定與應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，屬于中檔題．8.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），再把所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的圖象平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出結(jié)果即可.【詳解】函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到的圖象，再把所得圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)f（x）＝的圖象.故選：A．【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的平移和伸縮變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9.已知拋物線的焦點為，，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（）A.3 B. C.5 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，根據(jù)拋物線的焦半徑公式可得，從而求出線段的中點橫坐標，即可得解．【詳解】由拋物線方程，得其準線方程為.設(shè)，，由拋物線的定義，得，即，所以線段中點的橫坐標為，線段的中點到軸的距離為．故選：B.10.已知，，，則A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用根式的運算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性可得a，b的大小關(guān)系，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出c＜1．【詳解】∵＝，且=＝，∴，．∴．故選：C．【點睛】本題考查了根式的運算性質(zhì)、冪函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．11.已知直線與雙曲線：相交于不同的兩點，，為雙曲線的左焦點，且滿足，（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)是右焦點，利用對稱性，得，由雙曲線定義得，然后利用可得出關(guān)于的關(guān)系式，從而求得離心率．【詳解】設(shè)是右焦點，則，，即，又，∴，，而，∴，由得，∴，整理得．故選：B．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是列出關(guān)于的等量關(guān)系．為此利用雙曲線的對稱性把轉(zhuǎn)化為，利用雙曲線的定義求得，最后利用得出關(guān)系式．求得離心率．12.已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，．若關(guān)于的方程有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和對稱性畫出函數(shù)圖像，過定點，計算直線和曲線相切的情況計算斜率得到答案.【詳解】當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，函數(shù)關(guān)于對稱，過定點如圖所示，畫出函數(shù)圖像：當與相切時，設(shè)切點為則根據(jù)對稱性考慮左邊圖像，根據(jù)圖像驗證知是方程唯一解，此時故答案為故選：【點睛】本題考查了零點問題，對稱問題，函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.二填空題（每題5分，共4道小題，共計20分）13.已知實數(shù)滿足約束條件，則的最大值為_______.【答案】6【解析】【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出實數(shù)x，y滿足約束條件對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由得y＝﹣x+z，平移直線y＝﹣x+z，由圖象可知當直線y＝﹣x+z經(jīng)過點A時，直線y＝﹣x+z的截距最大，此時z最大．由，解得A（2，2），代入目標函數(shù)z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案為：6．【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法，屬于基礎(chǔ)題．14.設(shè)正項等比數(shù)列滿足，，則_______.【答案】【解析】【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為基本量a1，q的方程組，解方程組得到a1，q，進而可以得到an．【詳解】在正項等比數(shù)列中，，，得，解得，∴an＝＝3?3n﹣1＝3n.故答案為：3n【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，主要考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15.已知平面向量，滿足，且，則向量與的夾角的大小為__________.【答案】【解析】【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，求出向量與的夾角的大?。驹斀狻拷猓浩矫嫦蛄?，滿足，，且，，．設(shè)向量與的夾角的大小為，則，求得，故，故答案為：．【點睛】本題主要考查兩個向量垂直性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積的定義，屬于基礎(chǔ)題．16.如圖，在邊長為2的正方形中，邊，的中點分別為，，現(xiàn)將，，分別沿，，折起使點，，重合，重合后記為點，得到三棱錐．則三棱錐的外接球體積為____________【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩兩垂直得到，代入體積公式計算得到答案.【詳解】易知兩兩垂直，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體內(nèi)得到故答案為：【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，將三棱錐放入對應(yīng)的長方體是解題的關(guān)鍵.三解答題（本題6道小題，共計70分，寫出必要的文字說明和演算步驟）17.在中，角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若的面積為，且，求的周長.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知條件結(jié)合余弦定理可求cosA的值，進而根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinA的值．（2）利用三角形的面積公式可求bc的值，由正弦定理化簡已知等式可得b＝3c，解得b，c的值，根據(jù)余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周長．【詳解】（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，∴在△ABC中，sinA＝＝．（2）∵△ABC的面積為，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，則a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，，所以周長為.【點睛】本題主要考查了余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，三角形的面積公式，正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．18.某公司有1000名員工，其中男性員工400名，采用分層抽樣的方法隨機抽取100名員工進行5G手機購買意向的調(diào)查，將計劃在今年購買5G手機的員工稱為“追光族”，計劃在明年及明年以后才購買5G手機的員工稱為“觀望者”調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)抽取的這100名員工中屬于“追光族”的女性員工和男性員工各有20人.（Ⅰ）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān)；屬于“追光族”屬于“觀望者”合計女性員工男性員工合計100（Ⅱ）已知被抽取的這100名員工中有6名是人事部的員工，這6名中有3名屬于“追光族”現(xiàn)從這6名中隨機抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率．附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（Ⅰ）表見解析，沒有的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān).（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）完善列聯(lián)表，計算得到結(jié)論.（Ⅱ）設(shè)人事部的這6名中的3名“追光族”分別為“，，”，3名“觀望者”分別為“，，，列出所有情況計算得到答案.【詳解】（Ⅰ）由題，列聯(lián)表如下：屬于“追光族”屬于“觀望者”合計女性員工204060男性員工202040合計4060100∵，∴沒有的把握認為該公司員工屬于“追光族”與“性別”有關(guān).（Ⅱ）設(shè)人事部的這6名中的3名“追光族”分別為“，，”，3名“觀望者”分別為“，，”.則從人事部的這6名中隨機抽取3名的所有可能情況有“；；；；；；；；；；；；；；；；；；；”共20種.其中，抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的所有可能情況有“；；；；；；；；”共9種.∴抽取到的3名中恰有1名屬于“追光族”的概率.【點睛】本題考查了列聯(lián)表，概率的計算，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，且，，分別為，的中點．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）點在棱上，且，證明：平面．【答案】（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（Ⅰ）證明和得到平面.（Ⅱ）根據(jù)相似得到證明平面.【詳解】（Ⅰ）如圖，連接.∵底面為菱形，且，∴三角形為正三角形.∵為的中點，∴.又∵平面，平面，∴.∵，平面，∴平面.（Ⅱ）連接交于點，連接.∵為中點，∴在底面中，，∴.∴，∴三角形中，.又∵平面，平面，∴平面.【點睛】本題考查了線面垂直和線面平行，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推斷能力.20.已知函數(shù)，，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，證明對任意的都成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求出，然后分、、、四種情況討論即可；（2）當時，令，利用導(dǎo)數(shù)求出即可證明.【詳解】（1），因為，，所以當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當時，，則，，所以，令，則，令，因為函數(shù)在，上單調(diào)遞增，（1），（2），所以存在唯一的，使得，因為當時，，當，時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，又因為（1），（2），所以，即對任意的，都成立.【點睛】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和解決恒成立問題，考查了分類討論的思想，屬于較難題.21.已知橢圓：的右焦點為，過點的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點，直線：與軸相交于點，為線段的中點，直線與直線的交點為.（Ⅰ）求四邊形（為坐標原點）面積的取值范圍；（Ⅱ）證明直線與軸平行.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【解析】【分析】（Ⅰ）令直線：，聯(lián)立方程利用韋達定理得到，，，換元帶入化簡得到答案.（Ⅱ）直線的方程為，令得，.代入（Ⅰ）中式子化簡得到答案.【詳解】（Ⅰ）由題，，令直線：，，.聯(lián)立消去，得.∵，，，∴.∴四邊形的面積.令，∴，∴.∵（當且僅當即時取等號），∴.∴四邊形面積的取值范圍為.（Ⅱ）∵，，∴.∴直線的斜率，直線的方程為.令得，.……①由（Ⅰ），，.∴，.化簡①，得.∴直線與軸平行.【點睛】本題考查了面積的范圍，直線的平行問題，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.選做題：（多做按照第一題計分）22.在平面直角坐標系中，已知是曲線：上的動點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，設(shè)點的軌跡為曲線.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求曲線，的極坐標方程；（2）在極坐標系中，點，射線與曲線，分別相交于異于極點的兩點，求的面積.【答案】（1）曲線：，曲線：；（2）【解析】【分析】（1）由題