2023屆云南省昆明市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用全稱命題的否定求解.【詳解】因?yàn)槿Q命題的否定是存在量詞的命題，所以命題“，”的否定是“，”.故選：D.2．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡(jiǎn)集合，根據(jù)并集的概念可求出結(jié)果.【詳解】由，得，所以，由，得，故，所以.故選：B．3．校運(yùn)會(huì)期間，要安排名志愿者參加跳高、跳遠(yuǎn)、接力賽三個(gè)項(xiàng)目的保障工作，要求每個(gè)項(xiàng)目至少安排名志愿者，每位志愿者只參加一個(gè)項(xiàng)目，則所有不同的安排方案有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【答案】C【分析】先將將名志愿者分為組，每組人數(shù)分別為、、，然后將這組志愿者分配給三個(gè)項(xiàng)目，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得所有不同的安排方案的種數(shù).【詳解】將名志愿者分為組，每組人數(shù)分別為、、，則分組方法種數(shù)為，再將這組志愿者分配給三個(gè)項(xiàng)目，共有個(gè)結(jié)果，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有種不同的分配方案.故選：C.4．某種包裝的大米質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，根據(jù)檢測(cè)結(jié)果可知，某公司購(gòu)買該種包裝的大米2000袋．則大米質(zhì)量在以上的袋數(shù)大約為（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】根據(jù)大米質(zhì)量，利用正態(tài)分布的對(duì)稱性求出，再列式計(jì)算作答.【詳解】因大米質(zhì)量，且，則，所以大米質(zhì)量在以上的袋數(shù)大約為.故選：B5．將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調(diào)遞增B．在區(qū)間（，）上單調(diào)遞減C．圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）對(duì)稱D．圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的伸縮變換和平移變換得到，逐項(xiàng)判斷.【詳解】將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，再向右平移個(gè)單位，得，因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤；故選：A6．已知，為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是（

）A．6 B． C．8 D．【答案】C【分析】設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求出曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，代入切點(diǎn)坐標(biāo)，解方程可得n＝0，進(jìn)而得到2a+b＝1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（m，n），y＝ln（x+b）的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得=1，又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8．故選：C．7．已知三角形的外接圓圓心為，且，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件判斷出三角形和三角形的形狀，從而計(jì)算出在上的投影向量.【詳解】依題意三角形的外接圓圓心為，且，所以是的中點(diǎn)，即是圓的直徑，且，由于，所以三角形是等邊三角形，設(shè)圓的半徑為，則，，所以在上的投影向量為.故選：A8．已知雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與的左支交于、兩點(diǎn)，且，，則的漸近線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，，根據(jù)雙曲線的定義，可得，，在直角三角形中利用勾股定理可得，再在直角三角形中使用勾股定理可得，再結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意，得，；根據(jù)雙曲線的定義，,所以，．在直角三角形中，，即，解得；在直角三角形中，，即，即，解得，所以的漸近線方程為.故選:C．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在解答過程中使用雙曲線的定義得到，，在直角三角形中利用勾股定理可得，是解決本題的關(guān)鍵和突破點(diǎn).二、多選題9．已知復(fù)數(shù)，則下列各項(xiàng)正確的為（

）A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限 D．復(fù)數(shù)的模為5【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的相關(guān)概念理解辨析．【詳解】∵，則可得：復(fù)數(shù)的虛部為1，A錯(cuò)誤；為純虛數(shù)，B正確；復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，其對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，在第四象限，C正確；復(fù)數(shù)的模為，D錯(cuò)誤；故選：BC．10．昆明市在課外活動(dòng)中新增了攀巖項(xiàng)目，為了解學(xué)生對(duì)攀巖的喜好和性別是否有關(guān)，面向?qū)W生開展了一次隨機(jī)調(diào)查，其中參加調(diào)查的男、女生人數(shù)相同，并繪制如圖所示的等高堆積圖，則（

）

參考公式及數(shù)據(jù)其中a0.100.050.0100.001xa2.7063.8416.63510.828A．參與調(diào)查的學(xué)生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多B．參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)多C．若參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對(duì)攀巖的喜好和性別有關(guān)D．無論參與調(diào)查的男、女生人數(shù)為多少，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對(duì)攀巖的喜好和性別有關(guān)【答案】AC【分析】AB選項(xiàng)，列出列聯(lián)表判斷；C選項(xiàng)，求得的值，由時(shí)判斷；D選項(xiàng)，由和有關(guān)判斷.【詳解】由題意，設(shè)參加調(diào)查的男、女生人數(shù)均為m人，則關(guān)于對(duì)攀巖的喜好和性別的抽樣數(shù)據(jù)的列聯(lián)表如下：?jiǎn)挝唬喝诵詣e攀巖合計(jì)喜歡不喜歡男生0.8m0.2mm女生0.3m0.7mm合計(jì)1.1m0.9m2m所以參與調(diào)查的學(xué)生中喜歡攀巖的男生人數(shù)比喜歡攀巖的女生人數(shù)多，參與調(diào)查的女生中喜歡攀巖的人數(shù)比不喜歡攀巖的人數(shù)少，A正確，B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)參與調(diào)查的男、女生人數(shù)均為100時(shí)，根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為對(duì)攀巖的喜好和性別有關(guān)，C正確，和有關(guān)，當(dāng)時(shí)，，所以D錯(cuò)誤．故選：AC11．從裝有個(gè)紅球和個(gè)藍(lán)球的袋中（均不小于2），每次不放回地隨機(jī)摸出一球.記“第一次摸球時(shí)摸到紅球”為，“第一次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為，“第二次摸球時(shí)摸到紅球”為，“第二次摸球時(shí)摸到藍(lán)球”為，則下列說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)AC，利用互斥事件和獨(dú)立事件的概率公式求解判斷；對(duì)BD，利用條件概率公式求解判斷.【詳解】由題意可知，，，，，從而，故AC正確；又因?yàn)?，，故，故D正確；，故，故B錯(cuò)誤.故選：ACD.12．已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，B．，方程有實(shí)根C．方程有3個(gè)不同實(shí)根的一個(gè)必要不充分條件是“”D．若，且方程有1個(gè)實(shí)根，方程有2個(gè)實(shí)根，則【答案】ACD【分析】A根據(jù)解析式直接判斷時(shí)的符號(hào)即可；再利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性并畫出函數(shù)圖象，結(jié)合A知在y軸左側(cè)的圖象恒在x軸下方，判斷B、C、D的正誤.【詳解】由解析式知：當(dāng)時(shí)，故，A正確；∴在y軸左側(cè)的圖象恒在x軸下方，又，令，得，令，得或，∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出其大致圖象如圖所示.由圖知，僅當(dāng)時(shí)方程有實(shí)根，B錯(cuò)誤；若有3個(gè)不同實(shí)根則，故“”是有3個(gè)不同實(shí)根的一個(gè)必要不充分條件，C正確；由，及有1個(gè)實(shí)根、有2個(gè)實(shí)根，可得，，則，D正確.故選：ACD.三、填空題13．若二項(xiàng)式的展開式中第5項(xiàng)與第6項(xiàng)的系數(shù)相同，則______.【答案】9【分析】根據(jù)求出的值即可.【詳解】二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)為，所以第項(xiàng)的系數(shù)為，由已知條件可得，所以.故答案為：9.14．已知直線與圓相切，則直線被圓截得的弦長(zhǎng)為______．【答案】【分析】根據(jù)直線與圓相切可得，即，由此可知圓心到直線的距離，再根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)果.【詳解】由直線與圓相切可得，得，則圓心到直線的距離為，所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為．故答案為：.15．已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，若，，，則______.【答案】4【分析】如圖，易得，則.后由拋物線定義及題目條件可得答案.【詳解】過點(diǎn)A，分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別為，，且，與軸分別相交于，，則，得．由拋物線的定義知，，則，解得.故答案為：4.16．在三棱錐中，平面，，，，設(shè)為中點(diǎn)，且直線與平面所成角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為______．【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出的外接圓圓心與三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積即可.【詳解】在中，，，，由余弦定理得：，即，解得：.設(shè)的外接圓圓半徑為，由正弦定理得解得：；且，又為中點(diǎn)，在中，，，.由余弦定理得：，即：，解得.又因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成角，由，得，所以在直角中，.設(shè)三棱錐的外接球球半徑為，平面，平面，且,所以，取的中點(diǎn)為，連，則有四邊形為矩形，所以，三棱錐外接球表面積為：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體外接球的應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵求外接球的半徑，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于中檔題.四、解答題17．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，成等差數(shù)列，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首項(xiàng)；最后求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，然后運(yùn)用裂項(xiàng)相消法求出可得結(jié)論.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，成等差數(shù)列可得，故，解得，由可得，解得，故，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，故.當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，，故.18．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，．(1)若，求；(2)若，且的面積為，求點(diǎn)到的距離．【答案】(1)(2)【分析】（1）先逆用二倍角公式得到，再用正弦定理得，再由余弦定理求解．（2）由的值求出，再由三角形的面積公式求得，結(jié)合題目條件求得的值，設(shè)點(diǎn)到的距離為，由等面積法即可求出答案.【詳解】（1）由，可得，故，由正弦定理可得，又，故由余弦定理可得．（2）由可得，因?yàn)榈拿娣e為，所以，故，由（1）可得，故，，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，所以．故點(diǎn)到的距離為．19．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿足題意.【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，得到，然后利用線面平行的判定定理得到平面；（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)平面與平面的夾角的余弦值為，則兩平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值等于，求出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，，底面四邊形是矩形，為棱的中點(diǎn)，，．，，故四邊形是平行四邊形，．又平面，平面，平面．（2）假設(shè)在棱上存在點(diǎn)滿足題意，在等邊中，為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，平面，平面，則是四棱錐的高．設(shè)，則，，，所以.以點(diǎn)為原點(diǎn)，，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，．設(shè)，．設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為，則取．易知平面的一個(gè)法向量為，，，故存在點(diǎn)，位于靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)處滿足題意.20．手機(jī)運(yùn)動(dòng)計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚．某單位統(tǒng)計(jì)職工一天行走步數(shù)（單位：百步）得到如下頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125（百步），其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表．(1)試計(jì)算圖中的a、b值，并以此估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的平均值；(2)為鼓勵(lì)職工積極參與健康步行，該單位制定甲、乙兩套激勵(lì)方案：記職工個(gè)人每日步行數(shù)為，其超過平均值的百分?jǐn)?shù)，若，職工獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得二次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若超過50，職工獲得五次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．設(shè)職工獲得抽獎(jiǎng)次數(shù)為n．方案甲：從裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中有放回的逐個(gè)抽取n個(gè)小球，抽得紅球個(gè)數(shù)即表示該職工中獎(jiǎng)幾次；方案乙：從裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中無放回的逐個(gè)抽取n個(gè)小球，抽得紅球個(gè)數(shù)即表示該職工中獎(jiǎng)幾次；若某職工日步行數(shù)為15700步，以期望為決策依據(jù)判斷哪個(gè)方案更佳？【答案】(1)，，=125.6(2)方案乙更佳．【分析】（1）利用頻率之和為1和中位數(shù)為125列出方程組，求出a、b值，再根據(jù)頻率分布直方圖求出平均值；（2）先求出，得到職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，計(jì)算出方案甲的數(shù)學(xué)期望和方案乙的數(shù)學(xué)期望，比較得出結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：解得，，∴；（2）某職工日行步數(shù)（百步），，∴職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，設(shè)職工中獎(jiǎng)次數(shù)為X，在方案甲下，則分布列為：X0123P；在方案乙下：的可能取值為0，1，2，3，，，，所以分布列為：X0123P，因?yàn)?，所以方案乙更佳?1．已知過點(diǎn)的橢圓的離心率為.如圖所示，過橢圓右焦點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于兩點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，過點(diǎn)A作，垂足為.(1)求四邊形為坐標(biāo)原點(diǎn)的面積的最大值；(2)求證：直線過定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)最大值為(2)證明見解析，【分析】（1）由題可得橢圓方程為：，則橢圓右焦點(diǎn)為，易知當(dāng)斜率為0時(shí)不合題意，斜率不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，可得四邊形的面積為，后利用韋達(dá)定理及基本不等式可得面積最值；（2）由（1）可得直線BD方程為：，令可得：，化簡(jiǎn)后可得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可得：，解得：，所以橢圓的方程為，則橢圓的右焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率等于時(shí)不符合題意；設(shè)直線斜率不為0時(shí)，直線方程為，，，由可得：，則，，，所以，所以四邊形的