隨機變量的數(shù)值特征第1頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日一、數(shù)學(xué)期望的概念三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第一節(jié)數(shù)學(xué)期望第2頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日一、數(shù)學(xué)期望的概念引例甲，乙兩射擊選手進行射擊訓(xùn)練，已知在100次射擊中命中環(huán)數(shù)與次數(shù)記錄如下：甲：環(huán)數(shù)8910乙：環(huán)數(shù)8910

次數(shù)301060次數(shù)205030試問如何判定甲，乙兩射擊選手的技術(shù)優(yōu)劣？解：用平均命中環(huán)數(shù)進行比較甲的平均命中環(huán)數(shù)：第3頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日乙的平均命中環(huán)數(shù)：故可以認為甲的技術(shù)比乙的好。分析：若設(shè)X是命中的環(huán)數(shù)，則X是一r.v.，它的可能取值為0，1，…，10。上述所求的平均命中環(huán)數(shù)可看作是r.v.X的觀測值（8，9，10）的算術(shù)平均值，是以頻率（0.3，0.1，0.6或0.2，0.5，0.3）為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均。

第4頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日

平均命中環(huán)數(shù)頻率隨機波動隨機波動隨機波動

穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值“平均射中環(huán)數(shù)”等于射中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加第5頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日1.離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望簡稱期望或均值。第6頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日說明“絕對收斂”保證期望存在及唯一；數(shù)學(xué)期望實際上就是以概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)平均；r.v.X的期望也就是它服從的分布的期望。注：并非所有的隨機變量都存在數(shù)學(xué)期望。第7頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日例1

設(shè)r.v.X服從0-1分布，求E(X)。解：

r.v.X的分布律為：X01P1–p

p也稱0-1分布的期望為

p

第8頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日書P94例6第9頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日解：

例3

擲兩枚均勻硬幣，表示出現(xiàn)正面的次數(shù)，求。先求出r.v.的分布律012P再求的期望第10頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日到站時刻概率例4第11頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日解第12頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第13頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日2.連續(xù)型隨機變量數(shù)學(xué)期望說明可與離散型r.v.X的期望公式比較，幫助記憶。第14頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日例1

設(shè)r.v.X，求E(X)。解：

r.v.X的概率密度函數(shù)為：故ab00書P94例7第15頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第16頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日解因此,顧客平均等待5分鐘就可得到服務(wù).例如

顧客平均等待多長時間?

設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間

X(以分計)服從指數(shù)分布,其概率密度為試求顧客等待服務(wù)的平均時間?第17頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日定理設(shè)是連續(xù)函數(shù)，若絕對收斂，則有二、隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望（ⅰ）若X是離散型隨機變量，它的分布律為（ⅱ）若X是連續(xù)型的,它的概率密度為f(x),則第18頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第19頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第20頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望第21頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日解例3設(shè)(X,Y)的分布律為第22頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日由于第23頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第24頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日1.設(shè)C是常數(shù),則有證明2.設(shè)X是一個隨機變量，C是常數(shù),則有證明例如三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)第25頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日4.設(shè)X,Y是相互獨立的隨機變量,則有3.設(shè)X,Y是兩個隨機變量,則有證明說明用連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望的定義可類似證明。可利用期望的性質(zhì)求r.v.（函數(shù)）的期望。第26頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日則有例1解X的分布律為第27頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日另解第28頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日解例12第29頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第30頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日一、隨機變量方差的概念及性質(zhì)二、重要概率分布的方差第二節(jié)方差第31頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日一、隨機變量方差的概念及性質(zhì)引例有兩只股票的五次投資收益如下甲：收益788082乙：收益758090

次數(shù)131次數(shù)221問哪只股票適合投資好？

但分析發(fā)現(xiàn)甲的收益比較穩(wěn)定，而乙的收益起伏較大，這就是它們的差別。描述這種差別的量就是方差。乙的平均收益=（75×2+80×2+90×1）÷5=80。兩股票的平均收益相同；解：甲的平均收益=（78×1+80×3+82×1）÷5=80第32頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日說明

，其中E(X)視作為一個常數(shù)；定義設(shè)是任一r.v.，若存在，則稱它為r.v.的方差，記作，即

稱為r.v.的標(biāo)準(zhǔn)差（或均方差）。XXX

當(dāng)較大時，表示r.v.

的取值比較分散；當(dāng)較小時，表示r.v.的取值比較集中，即刻畫了r.v.取值的離散程度，

XXX1.第33頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日離散型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差2.隨機變量方差的計算

(1)

利用定義計算

第34頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日(2)利用公式計算其中X是離散型r.v.X是連續(xù)型r.v.第35頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日證明第36頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日證明3.方差的性質(zhì)(1)設(shè)C是常數(shù),則有(2)設(shè)X

是一個隨機變量,C是常數(shù),則有證明第37頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日(3)設(shè)X,Y相互獨立,D(X),D(Y)存在,則證明第38頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日推廣第39頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日1.

兩點分布已知隨機變量X

的分布律為則有二、重要概率分布的期望和方差第40頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日2.

二項分布

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為n,p二項分布,其分布律為第41頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第42頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日3.

泊松分布

則有第43頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日所以第44頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日4.

均勻分布則有第45頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日結(jié)論

均勻分布的數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點.第46頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日5.

指數(shù)分布

則有第47頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第48頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日6.

正態(tài)分布則有第49頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第50頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第51頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日第52頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日結(jié)論例如且X，Y相互獨立求的分布+1第53頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日解例8第54頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日分布參數(shù)數(shù)學(xué)期望方差兩點分布二項分布泊松分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布第55頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日契比雪夫不等式

切比雪夫不等式切比雪夫不等式也可以寫成第56頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日得證明取連續(xù)型隨機變量的情況來證明.第57頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關(guān)時間彼此獨立，估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率。利用切比雪夫不等式估計補例第58頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日

前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對于二維隨機變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)第59頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y)，即

一、協(xié)方差2.簡單性質(zhì)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義(1)Cov(X,C)=0,C為常數(shù)；(2)Cov(X,X)=D(X)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)第60頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(5)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)(7)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(4)Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)a,b是常數(shù)第61頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0.3.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即第62頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)

為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

.第63頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日二、相關(guān)系數(shù)為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)

.定義:

設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為

.第64頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。第65頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關(guān).第66頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日3.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.第67頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日例1P108但不獨立！第68頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日4.若，稱X和Y不相關(guān)。定理：若隨機變量X與Y的方差都存在，且均不為零；則下列四個命題等價。（1）；（2）cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=EXEY；（4）D(X±Y)=DX+DY。第69頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日但可以證明對下述情形，獨立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨立.第70頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日設(shè)(X,Y)服從二維正態(tài)分布,它的概率密度為則可以證明X,Y的相關(guān)系數(shù)rXY正好就是r,即rXY=r,而且服從二維正態(tài)分布的隨機變量X,Y相互獨立的充分必要條件是此相關(guān)系數(shù)為0.第71頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日三、例題講解(Ex32,33)1、第72頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日1、解第73頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日1、解第74頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日1、解第75頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日2、解第76頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日一、原點矩中心矩定義設(shè)X和Y是隨機變量，若存在，稱它為X的k階原點矩，簡稱k階矩.

存在，稱它為X的k階中心矩.可見，均值E(X)是X一階原點矩，方差D(X)是X的二階中心矩。第77頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點）矩.若存在，稱它為X和

Y的

k+L階混合中心矩.

設(shè)X和Y是隨機變量，若k,L=1,2,…存在，可見，第78頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日二、協(xié)方差矩陣將二維隨機變量（X1,X2）的四個二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個非負定對稱矩陣第79頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日

類似定義n維隨機變量(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.為(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣。都存在,(i,j=1,2,…,n)若矩陣稱第80頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日三、n元正態(tài)分布的概率密度f(x1,x2,…,xn)則稱X服從n元正態(tài)分布.其中C是(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.|C|是它的行列式，表示C的逆矩陣，X和是n維列向量，表示X的轉(zhuǎn)置.

設(shè)=(X1,X2,…,Xn)是一個n維隨機向量,若它的概率密度為第81頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日n元正態(tài)分布的幾條重要性質(zhì)1.X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布a1X1+a2

X2+…+anXn均服從正態(tài)分布.對一切不全為0的實數(shù)a1,a2,…,an，

由此得到，n維正態(tài)變量(X1,X2,…,Xn)的每一個分量Xi都是正態(tài)隨機變量；反之，若每個分量Xi都是正態(tài)隨機變量，且它們相互獨立，則(X1,X2,…,Xn)是n維正態(tài)變量。第82頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日若

X=(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布，

Y1,Y2,…，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的線性函數(shù)，則(Y1,Y2,…，Yk)也服從多元正態(tài)分布.2.正態(tài)變量的線性變換不變性.

3.

設(shè)(X1,X2,…,Xn)服從n元正態(tài)分布，則“X1,X2,…,Xn相互獨立”等價于“X1,X2,…,Xn兩兩不相關(guān)”第83頁，共96頁，2023年，2月20日，星期日

例

設(shè)隨機變量X和Y相互獨立且X~N(1,2),Y~N(0,1).試求Z=2X-Y+3的概率密度.故X和Y的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，X和Y的任意線性組合是正態(tài)分布.解:

X~N(1,2