1.1.2弧度制和弧度制與角度制的換算目標(biāo)導(dǎo)航課標(biāo)要求1.理解弧度制的定義,體會(huì)弧度也是度量角的單位.2.掌握角度與弧度的換算公式,并能熟練地進(jìn)行角度與弧度的換算,熟記特殊角的弧度數(shù).3.掌握弧度制下的弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式,會(huì)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式解決有關(guān)問題.素養(yǎng)達(dá)成通過學(xué)習(xí)弧度制,使學(xué)生了解不同單位的相互轉(zhuǎn)化是經(jīng)常用到的,同時(shí)使學(xué)生養(yǎng)成用弧度制表示角的大小并進(jìn)行運(yùn)算的習(xí)慣.新知探求課堂探究新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成知識(shí)探究1.度量角的單位制(1)角度制角度制1度1分(2)弧度制長(zhǎng)度等于

長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角,記作

.以

為單位來度量角的制度叫做弧度制.

2.弧度數(shù)與弧長(zhǎng)、半徑的關(guān)系在半徑為r的圓中,弧長(zhǎng)為l的弧所對(duì)圓心角為αrad,則α=

.3.角度與弧度的換算(1)將角度化為弧度:360°=

rad,180°=

rad;1°=

rad≈0.01745rad.半徑1rad弧度2ππ360°180°57.30°57°18′4.弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,α為圓心角.弧長(zhǎng)l=

,α·r【拓展延伸】1.角度制與弧度制的比較溫馨提示:弧度和角度是不同的計(jì)量單位,在同一個(gè)表達(dá)式中,二者不能混用.2.扇形的弧長(zhǎng)與面積公式(1)由上述公式可知,由α、r、l、S中的兩個(gè)量可以求出另外的兩個(gè)量,即知二求二.(2)運(yùn)用弧度制下的弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式明顯比角度制下的公式簡(jiǎn)單得多,但要注意它的前提是α為弧度制.自我檢測(cè)1.若α=-10rad,則角α是(

)(A)第一象限的角 (B)第二象限的角(C)第三象限的角 (D)第四象限的角B解析:因?yàn)?10rad≈-10×57.30°=-573°=-720°+147°,故角α為第二象限的角.2.-300°的弧度數(shù)是(

)DC4.已知扇形的周長(zhǎng)是8cm,圓心角是2rad,則該扇形的面積是

.

答案:4cm2類型一弧度制的概念課堂探究·素養(yǎng)提升【例1】

下列各命題中,真命題是(

)(A)一弧度就是一度的圓心角所對(duì)的弧(B)一弧度是長(zhǎng)度為半徑的弧(C)一弧度是一度的弧與一度的角之和(D)一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角,它是角的一種度量單位思路點(diǎn)撥:將一弧度的角的定義與各選項(xiàng)比較,排除錯(cuò)誤選項(xiàng),選出正確選項(xiàng).解析:由1弧度角的定義可知,A、B、C不正確,應(yīng)選D.方法技巧弧度制是用“弧度”來度量角的一種度量制度,基本單位為“弧度”,無輔助單位.不要受角度制的思維定勢(shì),注意理解弧度的意義,逐步體會(huì)弧度制的合理性及優(yōu)越性.變式訓(xùn)練1-1:下列命題中,假命題是(

)解析:考慮角度制與弧度制的定義,可知角度制與弧度制都與角所在圓的半徑的大小無關(guān),故應(yīng)選D.類型二角度制與弧度制的互化(1)將α1、α2用弧度制表示出來,并指出它們各自所在的象限.(2)將β1、β2用角度制表示出來,并在-720°～0°之間找出與它們有相同終邊的所有角.思路點(diǎn)撥:本題實(shí)質(zhì)是角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化問題,要注意轉(zhuǎn)化依據(jù)2π=360°.方法技巧(2)在某一指定范圍內(nèi)求某種特性的角:①解不等式求對(duì)應(yīng)k的值;②將k賦值找出相應(yīng)的角.變式訓(xùn)練2-1:(1)(2017·山西應(yīng)縣一中月考)-300°化為弧度是(

)類型三扇形的弧長(zhǎng)與面積公式的應(yīng)用【例3】

解答下列各題.(1)已知一扇形的圓心角是72°,半徑為20,求扇形的面積;(2)已知一扇形的周長(zhǎng)為4,當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí),扇形面積最大?最大是多少?方法技巧靈活應(yīng)用扇形弧長(zhǎng)、面積公式列方程組求解是解決這類問題的關(guān)鍵,同時(shí)應(yīng)注意函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,本題只需將扇形面積表示為半徑的函數(shù),即轉(zhuǎn)化為關(guān)于r的二次函數(shù)問題.變式訓(xùn)練3-1:(2017·河北衡水中學(xué)月考)已知扇形的周長(zhǎng)是10cm,面積是4cm2,則扇形的半徑是

.

答案:4cm類型四易錯(cuò)辨析—混淆角的單位【例4】已知扇形AOB的圓心角為120°,半徑長(zhǎng)為6,