2011屆高三數(shù)學一輪復習-1-3-命題與其關(guān)系課件-理-蘇教版1第一頁，共32頁?！久}預測】1．四種命題及其關(guān)系雖是高考命題的內(nèi)容之一，但一般不單獨命題，往往和其 他知識結(jié)合起來綜合考查，主要以填空的形式出現(xiàn)．2．充分條件與必要條件是對命題進行研究和考查的重要途徑，而命題是數(shù)學的 重要構(gòu)成形式，因而這部分知識是高考的必考內(nèi)容，幾乎每年都考查，一般以 填空的形式出現(xiàn)，主要考查邏輯思維能力，往往和其他知識綜合起來考查．3．反證法是證明命題的基本方法，在高考中對這一方法的考查主要體現(xiàn)在將它 作為解題工具的一種輔助作用，一般不單獨考查反證法，而經(jīng)常把它融入一些 題目中去．第二頁，共32頁?！緫噷Σ摺?．當判斷一個命題的真假有困難時，可轉(zhuǎn)化為其等價命題(如逆否命題)來判斷真假．2．關(guān)于逆命題、否命題與逆否命題，也可以如下表述： (1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題； (2)同時否定命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題； (3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題．3．邏輯中的“或”、“且”、“非”與日常用語中的“或”、“且”、“非”的意義是不盡相同的，要結(jié)合真值表加以理解．另外，結(jié)合集合的并集、交集、補集來理解聯(lián)結(jié)詞，它們的定義分別使用“或”、“且”、“非”聯(lián)結(jié)詞．4．對于復合命題的理解要注意“由簡單命題與……”，有時候我們只注意“聯(lián)結(jié)詞”，而不注意“命題”也是不正確的．如“x>2或x<－2”就不是復合命題，因為它不是命題，因此，不要認為凡是含有聯(lián)結(jié)詞的語句就是復合命題．第三頁，共32頁。5．反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設，然后從這個假設出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導致矛盾，從而否定相反的假設，達到肯定原命題正確的一種方法．6．理解充分條件、必要條件和充要條件之間的關(guān)系，例如，如果滿足A是B的充要條件，則一定也滿足B是A的充要條件．7．有些與變量的取值范圍有關(guān)的命題，通?？梢园褩l件與結(jié)論看成相應的集合，然后利用“小集合”推“大集合”而“大集合”不能推出“小集合”的方法來判斷充分條件或者必要條件．這里的“小”與“大”是相對的，一般情況下，若集合A是集合B的子集，我們就把A看成“小集合”，B看成“大集合”．第四頁，共32頁。8．根據(jù)充分條件與必要條件的定義，我們一般認為：由條件推結(jié)論是充分條件，由結(jié)論推條件是必要條件．所以，通過分析找出題目中的條件和結(jié)論是解決這類問題的關(guān)鍵．9．從已知概念、命題出發(fā)，用箭頭符號語言“?，?，?”表示充分、必要、充 要條件，可直觀地表示出命題間的關(guān)系，作出判斷．在判斷的時候，對于 “p?q”需要證明或說明，而對于“p

q”，只要舉出一個反例即可．特別強調(diào)的是，對于條件的判斷絕對不能隨便地觀察一下就下結(jié)論，必須有詳盡的步驟．第五頁，共32頁?！局R拓展】間接證法有的命題往往不易或不能從原命題直接證明，這時不妨改證它的等效命題，間接地達到證明原命題的目的．這樣的證明方法叫做間接證法．間接證法又可分為反證法與同一法兩種：(1)反證法是證明命題的逆否命題成立．即當命題由題設?結(jié)論不易著手時，而改證它的逆否命題．否定的結(jié)論?否定的題設成立就行．實際上是用結(jié)果為某公理、某定理題設或臨時假設所不相容或自矛盾.第六頁，共32頁。這就是說，結(jié)論一經(jīng)否定便會出錯，而這種錯誤，既然不是由于推理有問題，也就不能不歸咎于否定結(jié)論的假定，因此否定結(jié)論不成立，那結(jié)論就一定成立了．這種證明方法叫做反證法．它在證明許多基本命題時特別有用，用反證法證明的一般過程是：反證法由于否定結(jié)論的情況不同，又可分為歸謬法和窮舉法．第七頁，共32頁。(2)同一法一個命題，如果它的題設和結(jié)論所指的事物都是唯一的，那么原命題和它的逆命題中，只要有一個成立，另一個就一定成立，這個道理叫做同一法則．在符合同一法則的前提下，代替證明原命題而證明它的逆命題成立的一種方法叫做同一法．同一法的一般過程是：a．不從已知條件入手，而另作圖形使它具有求證的結(jié)論中所提的特性；b．證明所作的圖形的特性，與已知條件符合；c．因為已知條件和求證的結(jié)論所指的事物都是唯一的，從而推出所作的圖形與已知條件要求的是同一個東西，由此斷定原命題成立．第八頁，共32頁。1．命題的概念(1)能夠

的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做

，判斷為假的語句叫做

．(2)在兩個命題中，如果一個命題的

是另一個命題的

，我們稱這兩個命題為互逆命題．(3)在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的

，這樣的兩個命題稱為互否命題．真命題假命題條件和結(jié)論結(jié)論和條件條件的否定和結(jié)論的否定判斷真假(4)在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的

，這樣的兩個命題稱為逆否命題．(5)一般地，設“若p則q”為原命題，那么“若q則p”就叫做原命題的

；“若非p則非q”就叫做原命題的

；“若非q則非p”就叫做原命題的

．結(jié)論的否定和條件的否定否命題逆否命題逆命題第九頁，共32頁。2．四種命題的相互關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．第十頁，共32頁。3．充分條件和必要條件

一般地，如果p?q，那么稱p是q的

條件，同時稱q是p的

條件，如果p?q，且q?p，那么稱p是q的

條件，簡稱p是q的

條件，記作p

q；如果p?q，且qp，那么稱p是q的

條件；如果pDq；且q?p，那么稱p是q的

條件；如果pq，且qp，那么稱p是q的

條件．充分必要充分必要充要充分不必要必要不充分既不充分又不必要?第十一頁，共32頁。1．下列語句是命題的是________．①x＋1＞3；②1?N；③若a∈R，則a2＋1＜1.答案：②③2．x2＞1是x＞1的________條件．答案：必要不充分3．(江蘇省靖江調(diào)研)x＞1是x2＞x的________條件．答案：充分不必要第十二頁，共32頁。4．命題“若x2＝1，則x＝1”的逆命題是______，否命題是________，逆否命題是________．答案：若x＝1則x2＝1若x2≠1則x≠1若x≠1，則x2≠15．(2010·鹽城中學高三上學期期中考試)已知函數(shù)f(x)＝4sin＋1，給定條件p：.條件q：－2＜f(x)－m＜2，若p是q的充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．答案：(3,5)第十三頁，共32頁。并不是任何語句都是命題，只有那些可以判斷真假的陳述句才是命題．一般來說，疑問句、祈使句、感嘆句都不是命題．在數(shù)學與其他科學知識中，還有一些陳述句也經(jīng)常出現(xiàn)，如“我明天去看電影”，“每一個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和”(哥德巴赫猜想)等，雖然目前還不能確定這些語句的真假，但隨著科學技術(shù)的發(fā)展與時間的推移，總能確定它們的真假，人們把這一類猜想也歸類于命題．第十四頁，共32頁。【例1】判斷下列語句是不是命題，若是，判斷其真假；若不是，說明理由． (1)矩形是平行四邊形．(2)垂直于同一條直線的兩條直線必平行嗎？

(3)求證：x∈R，方程x2＋x＋1＝0無實根．(4)x＞5.(5)人類在2020年登上火星．第十五頁，共32頁。解：(1)是命題，且是真命題．(2)不是命題，這是疑問句，沒有對垂直于同一條直線的兩條直線是否平行作出判斷．(3)不是命題，是祈使句．(4)是開語句，不是命題．(5)是命題，但目前無法判斷真假．思路點撥：對于判斷是否是命題的問題，主要根據(jù)命題的定義加以判斷．命題的定義是“可以判斷真假的陳述句”，因此，要想判斷一個語句是否是命題，主要判斷兩個方面：一是所給出的語句是否能判斷真假，另一方面，是要看這個語句是不是陳述句．而對于(1)中的反義疑問句，如果將它轉(zhuǎn)化為陳述句即為“矩形是平行四邊形”，是可以判斷真假的，從而是命題；(2)是疑問句，題設條條沒有對語句的真假作出判斷，不是命題；(3)是祈使句；(4)是開語句；(5)是一種特殊的陳述句，目前為止無法判斷真假，但是隨著科學技術(shù)的發(fā)展與時間的推移，總能確定它的真假，所以也是命題．

第十六頁，共32頁。變式1：判斷命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題的真假． 解：解法一：寫出逆否命題，再判斷其真假． 原命題：若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根，逆否命題：若x2＋x－a＝0無實根，則a<0. 判斷如下：∵x2＋x－a＝0無實根，∴Δ＝1＋4a<0，∴a<－<0， ∴“若x2＋x－a＝0無實根，則a<0”為真命題．解法二：利用命題之間的關(guān)系：原命題與逆否命題同真同假(即等價關(guān)系)判斷．∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0的判別式Δ＝4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0有實根，故原命題“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”為真命題．又因原命題與其逆否命題等價，所以“若a≥0，則x2＋x－a＝0有實根”的逆否命題為真命題．第十七頁，共32頁。1．命題的四種形式中，哪個是與原命題是相對的，不是絕對的；2．四種命題間有兩對互逆關(guān)系，兩對互否關(guān)系，兩對互為逆否的關(guān)系，對互為逆否的兩命題同真同假，在判斷和證明中要注意它們之間的相互轉(zhuǎn)化；3．由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性，所以在直接證明一個命題有困難時，可以通過證明它的逆否命題為真來間接證明原命題為真，即正難則反的思想．第十八頁，共32頁?！纠?】已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，對命題“若a＋b≥0，

則f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論． 思路點撥：根據(jù)四種命題間的關(guān)系寫逆(否)命題并證明．解：(1)逆命題是：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，則a＋b≥0，它是成立的，逆命題與否命題是等價的，可證其否命題是真命題，否命題為：若a＋b＜0，則f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．第十九頁，共32頁。證明：∵a＋b＜0，a＜－b，b＜－a，f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，f(a)＜f(－b)，f(b)＜f(－a)，∴f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，否命題為真命題，∴它的逆命題也為真命題．(2)逆否命題是：已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)，則a＋b＜0.若證它為真，可證明原命題為真來證明它．因為a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a；因為f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．所以逆否命題為真．第二十頁，共32頁。【例3】已知x∈R，a＝x2＋，b＝－x＋2，c＝x2－x＋1.求證：

a、b、c中至少有一個不小于1. 思路點撥：在已知中a、b、c均以函數(shù)的形式單獨出現(xiàn)，直接證明難 度較大，可考慮間接法． 證明：假設a、b、c均小于1，則a＋b＋c＜3.又a＋b＋c＝2x2－2x＋ ＝2＋3≥3與假設矛盾．∴a、b、c中至少有一個不小于1.第二十一頁，共32頁。變式2：已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥0， 求證：a＋b≥0. 證明：假設a＋b＜0，即a＜－b，∵f(x)在R上是增函數(shù)， ∴f(a)＜f(－b)，又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－b)＝－f(b)，∴f(a)＜－f(b)，即f(a)＋f(b)＜0.與條件矛盾，假設不成立． 即原命題的逆否命題為真，所以原命題為真．第二十二頁，共32頁。變式3：若a、b、c均為實數(shù)，且a＝x2－2y＋，b＝y(tǒng)2－2z＋，

c＝z2－2x＋，求證：a、b、c中至少有一個大于0. 證明：假設a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a＋b＋c≤0，

而a＋b＋c＝x2－2y＋＋y2－2z＋＋z2－2x＋ ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3.因為π－3＞0，

且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0，

所以a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，因此a、b、c中至少有一個大于0.第二十三頁，共32頁。條件的充分性和必要性與命題的四種形式之間有著密切的關(guān)系，也就是說，四種命題的形式是基礎，對于一些直接利用定義較難作出判斷的充要條件的問題，可利用其逆否命題的等價性作出判斷．在進行充分條件與必要條件的推理判斷中要注意以下幾點：一要弄清先后順序，“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A且A推不出B，而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B且B推不出A；二要善于舉出反例，如果從正面判斷或證明一個命題的正確或錯誤不易進行，則可以舉出反例來說明一個命題是錯誤的；三要注意轉(zhuǎn)化，根據(jù)命題之間的關(guān)系我們可以知道：如果p是q的充分不必要條件，那么綈p是綈q的必要不充分條件，同理，如果p是q的必要不充分條件，那么綈p是綈q的充分不必要條件，如果p是q的充要條件，那么綈p是綈q的充要條件．第二十四頁，共32頁?！纠?】若ab≠0，試證a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件是a＋b＝1.思路點撥：分兩步證明，即先證明必要性再證充分性(也可先證充分性再證必要性)．證明：先證必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，∴a2－ab＋b2＝(a－b)2＋≠0，因此a＋b－1＝0，即a＋b＝1.再證充分性：∵a＋b＝1，即a＋b－1＝0；∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.即a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要條件是a＋b＝1.第二十五頁，共32頁。變式4：已知a、b是實數(shù)，求證：a4－b4－2b2＝1成立的充分條件是a2－b2＝1. 該條件是否為必要條件？試證明你的結(jié)論． 證明：∵a2－b2＝1，∴a4－b4－2b2＝(a2－b2)(a2＋b2)－2b2 ＝(a2＋b2)－2b2＝a2－b2＝1. 即a4－b4－2b2＝1成立的充分條件是a2－b2＝1.又a4－b4－2b2＝1， 即為

a4－(b4＋2b2＋1)＝0. a4－(b2＋1)2＝0，(a2－b2－1)(a2＋b2＋1)＝0，又a2＋b2＋1≠0， ∴a2－b2－1＝0，即a2－b2＝1. 因此a2－b2＝1既是a4－b4－2b2＝1的充分條件， 也是a4－b4－2b2＝1的必要條件．第二十六頁，共32頁?！疽?guī)律方法總結(jié)】

1．對命題真假的判斷，真命題要加以論證，假命題要舉出反例，這是最基 本的數(shù)學思維方式．在判斷命題真假的過程中，要注意簡單命題與復合命題 之間的真假關(guān)系，要注意命題四種形式之間的真假關(guān)系．2．在充分條件、必要條件和充要條件的判斷過程中，可利用圖示這種數(shù)形 結(jié)合的思想方法；在證明充要條件時，首先要弄清充分性和必要性．3．特殊情況下如果命題以p：x∈A，q：x∈B的形式出現(xiàn)，則有：(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若B?A，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件．4．反證法是一種重要的間接證法，一般在命題結(jié)論涉及“無限”的形式、“否定” 的形式或“至多”、“至少”的形式時，可考慮采用反證法．反證法在很大程度上就 是證明原命題的逆否命題，反證法的基本步驟是：(1)否定命題的結(jié)論(即命題的否定，要注意命題的否定和否命題的區(qū)別)；(2)通過邏輯推理導出矛盾(可以與已知矛盾、可以與公理和定義矛盾等等)，從而說明原命題是正確的.第二十七頁，共32頁?！靖呖颊骖}】

【例5】(2009·北京卷)“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos2α＝”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件分析：根據(jù)角和角的三角函數(shù)的關(guān)系、充要條件的概念進行判斷．規(guī)范解答：依題意，cos2α＝，得2α＝2kπ±(k∈Z)，∴α