對(duì)偶在中的應(yīng)用第1頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一DSP技術(shù)的最新發(fā)展及其應(yīng)用現(xiàn)狀DSP的發(fā)展歷程DSP系統(tǒng)構(gòu)成及其特點(diǎn)DSP芯片的應(yīng)用DSP的發(fā)展前景第2頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一1DSP的發(fā)展歷程DSP即數(shù)字信號(hào)處理器(DigitalSignalProcessing)，在模擬信號(hào)變換成數(shù)字信號(hào)后進(jìn)行高速實(shí)時(shí)處理的專用處理器.DSP的發(fā)展大致分為四個(gè)階段：第一階段是70年代理論先行，70年代有人提出了DSP的理論和算法基礎(chǔ)。第二階段是80年代產(chǎn)品普及，隨著CMOS技術(shù)的進(jìn)步與發(fā)展，DSP芯片運(yùn)算速度進(jìn)一步提高，其應(yīng)用于范圍逐步擴(kuò)大到通信、計(jì)算機(jī)領(lǐng)域。

DSP演變圖第3頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一1DSP的發(fā)展歷程第三階段是90年代突飛猛進(jìn)，將DSP芯核及外圍組件綜合集成在單一芯片上；第四階段是21世紀(jì)再創(chuàng)輝煌。DSP芯片引腳數(shù)量的增加，意味著結(jié)構(gòu)靈活性的增加。

第4頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一2DSP系統(tǒng)構(gòu)成及其特點(diǎn)如下圖1所示為一個(gè)典型的DSP系統(tǒng)，輸入信號(hào)首先進(jìn)行帶限濾波和抽樣，然后進(jìn)行A/D變換將信號(hào)變換成數(shù)字比特流。DSP芯片的輸入是A/D變換后得到的以抽樣形式表示的數(shù)字信號(hào)，DSP芯片對(duì)輸入的數(shù)字信號(hào)進(jìn)行某種形式的處理。

圖1DSP系統(tǒng)圖第5頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一2DSP系統(tǒng)構(gòu)成及其特點(diǎn)數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)主要具有以下優(yōu)點(diǎn)：（1）接口和編程方便。DSP系統(tǒng)與其他以現(xiàn)代數(shù)字技術(shù)為基礎(chǔ)的系統(tǒng)或設(shè)備都是相互兼容的，與這樣的系統(tǒng)接口以實(shí)現(xiàn)某種功能要比模擬系統(tǒng)與這些系統(tǒng)接口容易多。（2）穩(wěn)定性和可重復(fù)性好。DSP系統(tǒng)受環(huán)境溫度、濕度、噪聲、電磁場(chǎng)的干擾和影響較小，可靠性高；數(shù)字系統(tǒng)的性能基本不受元器件參數(shù)性能變化影響，便于測(cè)試、調(diào)試。（3）精度高。16位數(shù)字系統(tǒng)可以達(dá)到10-5的精度。

第6頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一2DSP系統(tǒng)構(gòu)成及其特點(diǎn)

（4）特殊應(yīng)用。有些應(yīng)用只有數(shù)字系統(tǒng)才能實(shí)現(xiàn)，例如信息無失真壓縮、V型濾波器。（5）集成方便。DSP系統(tǒng)中的數(shù)字部件有高度的規(guī)范性便于大規(guī)模集成。

第7頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一3DSP芯片的應(yīng)用在近20多年時(shí)間里，DSP芯片的應(yīng)用從軍事、航空航天領(lǐng)域擴(kuò)大到信號(hào)處理、通雷達(dá)、消費(fèi)等許多領(lǐng)域[2]。主要應(yīng)用有：信號(hào)處理、通信、語音、圖形/圖像、軍事、儀器儀表、自動(dòng)控制、醫(yī)療、家用電器等。

第8頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一3DSP芯片的應(yīng)用DSP主要應(yīng)用市場(chǎng)為3C領(lǐng)域，合占整個(gè)市場(chǎng)需求的90%。數(shù)字蜂窩電話是DSP最為重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一。由于DSP具有強(qiáng)大的計(jì)算能力，使得移動(dòng)通信的蜂窩電話重新崛起。第9頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一4DSP的發(fā)展前景定點(diǎn)DSP是主流。雖然浮點(diǎn)DSP的運(yùn)算精度更高，但定點(diǎn)DSP器件的成本較低，對(duì)存儲(chǔ)器的要求也較低，而且耗電較省。與可編程器件結(jié)合。FPGA器件配合傳統(tǒng)的DSP器件可以處理更多信道，可在基站中用來實(shí)現(xiàn)高速實(shí)時(shí)處理功能，滿足無線通信、多媒體等領(lǐng)域多功能和高性能的需要。WCDMA無線基站第10頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一4DSP的發(fā)展前景原對(duì)偶法（Primal-DualMethod)在DSP中會(huì)廣泛應(yīng)用。從原始問題的最終單純形表中（最優(yōu)單純形算子）可直接得到對(duì)偶問題的最優(yōu)解，原始問題中松弛變量的檢驗(yàn)數(shù)對(duì)應(yīng)著對(duì)偶問題的解（符號(hào)相反）。根據(jù)對(duì)偶理論可以在DSP中將其廣泛應(yīng)用，在進(jìn)行表征信號(hào)的突變特征，信號(hào)與圖像的壓縮，以及在數(shù)字信號(hào)調(diào)制識(shí)別中時(shí)，小波變換與原對(duì)偶法的結(jié)合使用其前景非常樂觀。

（L）（D）第11頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

對(duì)偶理論發(fā)展簡(jiǎn)史對(duì)偶理論對(duì)偶應(yīng)用參考文獻(xiàn)對(duì)偶小波第12頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一§1對(duì)偶理論發(fā)展簡(jiǎn)史

在線性規(guī)劃早期發(fā)展中最重要的發(fā)現(xiàn)就是對(duì)偶問題，即每一個(gè)線性規(guī)劃問題(稱為原始問題)都有一個(gè)與它對(duì)應(yīng)的對(duì)偶線性規(guī)劃問題（稱為對(duì)偶問題）。

1928年美籍匈牙利數(shù)學(xué)家J.von諾伊曼在研究對(duì)策論時(shí)已發(fā)現(xiàn)線性規(guī)劃與對(duì)策論之間存在著密切的聯(lián)系。兩人零和對(duì)策可表達(dá)成線性規(guī)劃的原始問題和對(duì)偶問題。他于1947年提出對(duì)偶理論。

1951年G.B.丹齊克引用對(duì)偶理論求解線性規(guī)劃的運(yùn)輸問題，研究出確定檢驗(yàn)數(shù)的位勢(shì)法原理。1954年C.萊姆基提出對(duì)偶單純形法，成為管理決策中進(jìn)行靈敏度分析的重要工具。對(duì)偶理論有許多重要應(yīng)用：在原始的和對(duì)偶的兩個(gè)線性規(guī)劃中求解任何一個(gè)規(guī)劃時(shí)，會(huì)自動(dòng)地給出另一個(gè)規(guī)劃的最優(yōu)解；當(dāng)對(duì)偶問題比原始問題有較少約束時(shí)，求解對(duì)偶規(guī)劃比求解原始規(guī)劃要方便得多；對(duì)偶規(guī)劃中的變量就是影子價(jià)格。第13頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一§2對(duì)偶理論

每一個(gè)線性規(guī)劃問題都伴隨有另一個(gè)線性規(guī)劃問題，稱為對(duì)偶問題。原來的線性規(guī)劃問題則稱為原始線性規(guī)劃問題，簡(jiǎn)稱原始問題。對(duì)偶問題有許多重要的特征,它的變量能提供關(guān)于原始問題最優(yōu)解的許多重要資料,有助于原始問題的求解和分析。對(duì)偶問題與原始問題之間存在著下列關(guān)系：

①目標(biāo)函數(shù)對(duì)原始問題是極大化，對(duì)對(duì)偶問題則是極小化。

②原始問題目標(biāo)函數(shù)中的收益系數(shù)是對(duì)偶問題約束不等式中的右端常數(shù)，而原始問題約束不等式中的右端常數(shù)則是對(duì)偶問題中目標(biāo)函數(shù)的收益系數(shù)。③原始問題和對(duì)偶問題的約束不等式的符號(hào)方向相反。④原始問題約束不等式系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)置后即為對(duì)偶問題的約束不等式的系數(shù)矩陣。⑤原始問題的約束方程數(shù)對(duì)應(yīng)于對(duì)偶問題的變量數(shù)，而原始問題的變量數(shù)對(duì)應(yīng)于對(duì)偶問題的約束方程數(shù)。⑥對(duì)偶問題的對(duì)偶問題是原始問題，這一性質(zhì)被稱為原始和對(duì)偶問題的對(duì)稱性。第14頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一2.1線性規(guī)劃的對(duì)偶理論

2.1.1線性規(guī)劃原問題與對(duì)偶問題的表達(dá)形式任何線性規(guī)劃問題都有其對(duì)偶問題對(duì)偶問題有其明顯的經(jīng)濟(jì)含義

假設(shè)有商人要向廠方購(gòu)買資源A和B，問他們談判原料價(jià)格的模型是怎樣的？第15頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

例2.1.1設(shè)A、B資源的出售價(jià)格分別為y1

和

y2顯然商人希望總的收購(gòu)價(jià)越小越好工廠希望出售資源后所得不應(yīng)比生產(chǎn)產(chǎn)品所得少目標(biāo)函數(shù)ming(y)=25y1+15y2第16頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

2.1.1線性規(guī)劃原問題與對(duì)偶問題的表達(dá)形式第17頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一2.1.1線性規(guī)劃原問題與對(duì)偶問題的表達(dá)形式第18頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

2.1.2標(biāo)準(zhǔn)(max,)型的對(duì)偶變換目標(biāo)函數(shù)由max型變?yōu)閙in型對(duì)應(yīng)原問題每個(gè)約束行有一個(gè)對(duì)偶變量yi，i=1,2,…,m對(duì)偶問題約束為型，有n

行原問題的價(jià)值系數(shù)C變換為對(duì)偶問題的右端項(xiàng)原問題的右端項(xiàng)

b

變換為對(duì)偶問題的價(jià)值系數(shù)原問題的技術(shù)系數(shù)矩陣A

轉(zhuǎn)置后成為對(duì)偶問題的技術(shù)系數(shù)矩陣原問題與對(duì)偶問題互為對(duì)偶對(duì)偶問題可能比原問題容易求解對(duì)偶問題還有很多理論和實(shí)際應(yīng)用的意義第19頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一2.1.3非標(biāo)準(zhǔn)型的對(duì)偶變換第20頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一表2.1.1對(duì)偶變換的規(guī)則約束條件的類型與非負(fù)條件對(duì)偶非標(biāo)準(zhǔn)的約束條件類型對(duì)應(yīng)非正常的非負(fù)條件對(duì)偶變換是一一對(duì)應(yīng)的第21頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一2.2線性規(guī)劃的對(duì)偶定理

2.2.1弱對(duì)偶定理定理對(duì)偶問題(min)的任何可行解Y0，其目標(biāo)函數(shù)值總是不小于原問題(max)任何可行解X0的目標(biāo)函數(shù)值

為了便于討論，下面不妨總是假設(shè)第22頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

弱對(duì)偶定理推論max問題的任何可行解目標(biāo)函數(shù)值是其對(duì)偶min問題目標(biāo)函數(shù)值的下限；min問題的任何可行解目標(biāo)函數(shù)值是其對(duì)偶max問題目標(biāo)函數(shù)值的上限如果原max(min)問題為無界解，則其對(duì)偶min(max)問題無可行解如果原max(min)問題有可行解，其對(duì)偶min(max)問題無可行解，則原問題為無界解注：存在原問題和對(duì)偶問題同時(shí)無可行解的情況第23頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

2.2.2最優(yōu)解判別定理定理若原問題的某個(gè)可行解X0的目標(biāo)函數(shù)值與對(duì)偶問題某個(gè)可行解Y0的目標(biāo)函數(shù)值相等，則X0,Y0分別是相應(yīng)問題的最優(yōu)解證：由弱對(duì)偶定理推論1，結(jié)論是顯然的。即CX0

=Y0bCX,Y0b=CX0

Yb

。證畢。2.2.3

主對(duì)偶定理定理如果原問題和對(duì)偶問題都有可行解，則它們都有最優(yōu)解，且它們的最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值相等。證：由弱對(duì)偶定理推論1可知，原問題和對(duì)偶問題的目標(biāo)函數(shù)有界，故一定存在最優(yōu)解?，F(xiàn)證明定理的后一句話。

第24頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

主對(duì)偶定理的證明

證：現(xiàn)證明定理的后一句話。設(shè)X0為原問題的最優(yōu)解，它所對(duì)應(yīng)的基矩陣是B，X0=B1

b，則其檢驗(yàn)數(shù)滿足CCBB1A0

令Y0=

CBB1，則有Y0

AC。

顯然Y0為對(duì)偶問題的可行解。因此有對(duì)偶問題目標(biāo)函數(shù)值，g(Y0)=Y0b=CBB1

b

而原問題最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值為

f(X0)=CX0=CBB1

b故由最優(yōu)解判別定理可知Y0

為對(duì)偶問題的最優(yōu)解。證畢。該定理的證明告訴我們一個(gè)非常重要的概念：對(duì)偶變量的最優(yōu)解等于原問題松弛變量的機(jī)會(huì)成本即對(duì)偶變量的最優(yōu)解是原問題資源的影子價(jià)格第25頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

2.2.4互補(bǔ)松弛定理定理設(shè)X0,Y0分別是原問題和對(duì)偶問題的可行解，U0為原問題的松弛變量的值、V0為對(duì)偶問題剩余變量的值。X0,Y0分別是原問題和對(duì)偶問題最優(yōu)解的充分必要條件是Y0

U0+

V0X0=0證：由定理所設(shè)，可知有

AX0+U0=bX0,U00(1)Y0AV0

=CY0,V00(2)分別以Y0左乘(1)式，以X0右乘(2)式后，兩式相減，得

Y0U0+V0X0

=Y0b

CX0若Y0U0+V0X0

=0，根據(jù)最優(yōu)解判別定理，X0,Y0分別是原問題和對(duì)偶問題最優(yōu)解。反之亦然。證畢。第26頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一§3對(duì)偶應(yīng)用城市優(yōu)化選址工業(yè)結(jié)構(gòu)優(yōu)化智能機(jī)器人火力發(fā)電廠經(jīng)濟(jì)指標(biāo)優(yōu)化電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)優(yōu)化第27頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一§5參考文獻(xiàn)1、馬建華,劉家壯.

關(guān)于國(guó)民生產(chǎn)總值最優(yōu)的凸二次規(guī)劃模型[J]經(jīng)濟(jì)學(xué),

1999,(01)

.

2、劉家壯，趙炳新.

對(duì)偶理論在經(jīng)濟(jì)均衡分析中的應(yīng)用[J]中國(guó)管理學(xué),

1996,(04)

.

3、陳中基.對(duì)偶理論,2002,(06)4、良少剛.運(yùn)籌學(xué),清華大學(xué)出版社,2003,(07)第28頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一

歡迎王慶偉、趙素芳同學(xué)給大學(xué)講解對(duì)偶在dsp中的應(yīng)用!!!第29頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)偶原理在小波框架的應(yīng)用小波分析是一門對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和具體工程應(yīng)用都有相當(dāng)要求的理論。本課件將會(huì)盡量采用比較淺顯易懂的語言來描述這個(gè)問題，以使其更加容易理解。然而，對(duì)于小波理論如果不接觸到數(shù)學(xué)，就像鳥兒沒有翅膀在天空飛翔一樣，當(dāng)然是絕對(duì)不可能的事，愛因斯坦也告訴我們要“盡可能簡(jiǎn)單，而不是更簡(jiǎn)單”第30頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一在小波變換中，當(dāng)我們將連續(xù)小波離散化處理后自然引出兩個(gè)問題：1.離散小波變換系數(shù)是否能完全的表征原信號(hào)的全部信息，即能否從離散小波系數(shù)精確的恢復(fù)原始信號(hào)。2.是否任何信號(hào)都可以表示為離散小波基的線性組合，而其中的組合系數(shù)需怎樣求取。上面兩個(gè)問題實(shí)際上可以歸結(jié)到一個(gè)問題，即離散二進(jìn)小波的逆變換問題。要回答這個(gè)問題，我們必須要借助于框架和對(duì)偶小波的理論。第31頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一預(yù)備知識(shí):在具體討論框架和對(duì)偶小波以前，我們需要大概了解一下小波理論的預(yù)備知識(shí)，這里讓我來先介紹一下各種類型的空間之間的關(guān)系。具體的聯(lián)系如右圖所示：第32頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一如果設(shè)為一函數(shù)序列，表示所有可能的線性組合構(gòu)成的集合，稱

為由序列張成的線性空間。如果是線性無關(guān)的,則稱{}為空間的一個(gè)基底，如果設(shè)

為內(nèi)積空間的兩個(gè)元素，有<>=,則稱是正交的，如果內(nèi)積空間

中元素列{}滿足其中任意兩列的內(nèi)積為

，而且每一列的模為

，我們就說{}為標(biāo)準(zhǔn)正交系。如果{}為標(biāo)準(zhǔn)正交系，而且空間中再也不存在除了

以外的元素能夠使得他和{}內(nèi)所有元素正交的話，我們就說{}為完全正交系。第33頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一小波框架和對(duì)偶基

在小波變換中，我們希望能夠通過母小波尺度變換和平移而得到一組正交的小波基底，這樣我們就可以很好的將小波信號(hào)函數(shù)

通過小波投影到基底上而得到一組系數(shù)，然后我們就可以通過記錄這組系數(shù)以及根據(jù)已經(jīng)知道的基底來恢復(fù)原來的小波信號(hào)。

則有，，將其代入上式，得：第34頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一上面的式子在數(shù)學(xué)上其實(shí)是非常完美的，那為什么我們還需要對(duì)偶基和小波框架的存在呢？原因其實(shí)是很簡(jiǎn)單的，那就是因?yàn)樵趯?shí)際應(yīng)用中，我們很難找到這樣的正交基底。這個(gè)時(shí)候，我們就需要引出小波框架和雙正交基以及對(duì)偶基的概念。首先，先描敘一下雙正交基，雙正交基是說在某些情況下，基底并不滿足正交關(guān)系，對(duì)于這種情況，于是我們引入了對(duì)偶基第35頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一這樣的話，隨著約束條件的降低，我們的小波基底就更加容易找到了。而且一個(gè)小波基的對(duì)偶不一定是唯一的。能量守恒定理在目前這個(gè)世界是普遍存在的，在科學(xué)的很多領(lǐng)域都會(huì)有能量守恒公式，它的一種形式如下所示：則我們可以取

在對(duì)偶基的投影作為系數(shù)來恢復(fù)信號(hào),公式如下：

對(duì)于任意x,

第36頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一為了使重構(gòu)更加有效，我們需要原始信號(hào)和展開域之間有一個(gè)能量對(duì)應(yīng)的關(guān)系，以使展開系數(shù)能夠很好的表達(dá)原來的信號(hào)，這樣我們就引進(jìn)了框架的概念。利用框架可以將轉(zhuǎn)換前后的能量控制在一個(gè)指定的范圍內(nèi)?？蚣艿亩x設(shè)為一個(gè)希爾伯特空間，為空間中的一個(gè)函數(shù)序列，若對(duì)于任意,存在,使得下列不等式存在：

則稱為一個(gè)框架；稱

為框架的上下界。第37頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一一般的理解如果找不到正交基，或者找不到雙正交基，那么我們得到的序列基底怎樣去評(píng)價(jià)它呢？這時(shí)我們用框架來評(píng)價(jià)它。當(dāng)時(shí)，我們就稱此框架是正交的，這個(gè)時(shí)候是完全滿足能量守恒公式的。退一步來說。如果只有

，這個(gè)時(shí)候，雖然是緊框架，但是一般并不是正交的。只要是滿足框架約束的，我們都可以順利的找到一個(gè)原基底的一個(gè)具有良好性質(zhì)的對(duì)偶基。至于找對(duì)對(duì)偶基的方法經(jīng)過很多人的努力，已經(jīng)找到了很多的方法去尋找合適的對(duì)偶基。

第38頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一下面的這個(gè)圖，從左至右，對(duì)基底的要求越來越嚴(yán)格，而性質(zhì)也越來越好。對(duì)偶小波實(shí)際上如果從數(shù)學(xué)上來推導(dǎo)的話，是非常復(fù)雜和困難的，有興趣詳細(xì)研究的朋友可以參考一下Daubechies的TenLecturesonWavelets(小波十講)的框架一章。

第39頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一個(gè)人學(xué)習(xí)心得對(duì)于小波的學(xué)習(xí)來說，個(gè)人認(rèn)為如果你只是想使用小波解決工程上的一般問題的話。這個(gè)是比較容易學(xué)到手的，但是如果你自己想真正的了解小波理論的來龍去脈，更好的隨心所欲的使用小波，甚至構(gòu)造自己的小波，則需要下非常大的功夫，傅立葉變換和泛函分析是基本前提條件。這也是有些人說小波容易，也有人說小波難學(xué)的原因之一吧。第40頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)于我個(gè)人來說，這段時(shí)間學(xué)習(xí)下來，雖然也花了不少精力，但是感覺現(xiàn)在看小波還是只在此山中，云深不之處。目前市面上的小波的書還是比較多的，比如《小波變換與工程應(yīng)用》（彭玉華）是相對(duì)來說入門比較好的一本書，每次讀都會(huì)有更深的體會(huì)。同樣，還有一本國(guó)防科技大學(xué)出版社出版的《實(shí)用小波分析入門》是相對(duì)來說更簡(jiǎn)單的一本書，可以讓你比較容易的對(duì)小波有一個(gè)全面的理解，也是我看到的所有小波書里面?zhèn)€人感覺最好的一本入門書。第41頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一1彭玉華.小波變換與工程應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2005:4-34.2陳武凡.小波分析及其在圖像處理中的應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社，2003,

20-25.3鞏萍,潘冬明.小波分析及其在圖像處理中的應(yīng)用,[N]長(zhǎng)沙大學(xué)學(xué)報(bào),2009,(04).4Ingriddaubechies.小波十講[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2004,70-73.4潘冬明參考文獻(xiàn)：第42頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一4基于對(duì)偶樹復(fù)小波變換的織物紋理識(shí)別

摘要：離散小波變換(DWT)雖然廣泛用于圖像處理，但DWT存在兩個(gè)缺點(diǎn)：其一，缺乏平移不變性，這意味著信號(hào)的微小平移將導(dǎo)致各尺度上的小波系數(shù)的能量分布有較大變化；其二，缺乏方向敏感性，可分離的二維小波變換只有三個(gè)方向的高頻信息即水平、垂直和對(duì)角。第43頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一利用對(duì)偶樹復(fù)小波變換(DT-CWT)進(jìn)行圖像紋理分類，可以克服上述離散小波變換的不足，該方法具有逼近的平移不變性和更多的方向選擇性，有利于特征的跟蹤、定位和保留。第44頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一復(fù)小波變換對(duì)偶樹復(fù)小波變換第45頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一復(fù)小波變換的使用復(fù)小波變換的濾波系統(tǒng)與離散小波變換的濾波系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)上完全相同，不同之處只是在于復(fù)小波變換中使用的濾波器的系數(shù)都是復(fù)數(shù)，而且輸出結(jié)果也都是復(fù)數(shù)。在可分離的二維離散小波變換中，二維小波濾波器是一維行濾波器和列濾波器的乘積。而復(fù)小波變換中小波濾波器只在[0,]范圍內(nèi)有響應(yīng)，如果要以相同的方式來構(gòu)造二維復(fù)小波變換，則等價(jià)濾波器只能覆蓋單位頻率單元的第1象限。第46頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一但是實(shí)數(shù)圖象數(shù)據(jù)卻包含有第1象限和第2象限的非冗余信息，為了不丟失信息，有必要擴(kuò)展二維可分離操作，使等效濾波器能覆蓋負(fù)的水平頻率軸。為此，至少需要使行、列濾波器中的一個(gè)濾波器的系數(shù)為共軛復(fù)數(shù)。然而，對(duì)于上述類型的復(fù)小波樹來說，完全重構(gòu)的設(shè)計(jì)十分困難。這樣的濾波器在小波樹的第1層可以很容易地設(shè)計(jì)成滿足完全重構(gòu)性條件。第47頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一即只需限制輸出信號(hào)必須為實(shí)數(shù)，但在更高的分解層中，因?yàn)檩斎胼敵龆际菑?fù)數(shù)，就不能采用類似的約束條件。而且，對(duì)于第1層以上各層的完全重構(gòu)，必須讓由4個(gè)濾波器構(gòu)成的濾波器組在全頻段上具有平坦的響應(yīng)特性。這在4個(gè)濾波器都可能抑制負(fù)頻率的情況下，根本不可能實(shí)現(xiàn)。因此，就需要構(gòu)造一種不同形式的復(fù)小波變換樹，于是我們引入了新的方法。第48頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)偶樹復(fù)小波變換對(duì)偶樹復(fù)小波變換保留了復(fù)小波變換的諸多優(yōu)良特性：近似的平移不變性、良好的方向選擇性、有限的數(shù)據(jù)冗余和高效的計(jì)算效率，與此同時(shí)，它還具有完全重構(gòu)特性。另外，為了保證兩棵樹的所有采樣值序列都具有統(tǒng)一的間隔，一棵樹中的濾波器必須與另一棵樹中的濾波器之間保持相對(duì)于各自采樣速率的半個(gè)采樣值間隔的差距。對(duì)于線性相位的濾波器而言，這就要求一棵樹中的濾波器應(yīng)當(dāng)為奇數(shù)長(zhǎng)，兩棵樹將會(huì)呈現(xiàn)較好的對(duì)稱性。第49頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一為了實(shí)現(xiàn)對(duì)偶樹復(fù)小波變換的反變換，對(duì)每一棵樹分別使用雙正交濾波器進(jìn)行反變換，最后對(duì)兩棵樹的輸出結(jié)果進(jìn)行平均，以保證整個(gè)系統(tǒng)近似的平移不變性。采用對(duì)偶樹復(fù)小波變換分解二維信號(hào)與離散小波變換類似，利用可分離的濾波器先沿著列再沿著行實(shí)現(xiàn)分解。第50頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)偶樹復(fù)小波變換與離散小波變換一樣實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、快速，還有一些離散小波變換或其他復(fù)小波變換所不具備的性質(zhì)，包括逼近的平移不變性。對(duì)偶樹復(fù)小波變換雖然基于離散小波變換，但它在兩棵樹的各尺度消除了下采樣，得到了近似的平移不變性和好的方向選擇性。盡管對(duì)偶樹復(fù)小波變換和離散小波變換一樣采用可分離濾波器分解二維信號(hào)，但它可以區(qū)分頻率空間的正頻和負(fù)頻，在每個(gè)象限產(chǎn)生了三個(gè)子帶。第51頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一對(duì)偶樹復(fù)小波變換解決了復(fù)小波變換難以實(shí)現(xiàn)完全重構(gòu)、不容易設(shè)計(jì)出具有好的特性的濾波器的問題。對(duì)偶樹復(fù)小波變換是一種冗余的變換，通過冗余的方式提供了逼近的平移不變性，且通過實(shí)變換分別提供了復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部。第52頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一所以，雖然離散小波變換廣泛應(yīng)用在信號(hào)和圖像處理中，但是它不具有平移不變性和良好的方向選擇性。而平移不變性和良好的方向選擇性對(duì)圖像特征的檢測(cè)、去噪、分割和數(shù)據(jù)壓縮等具有重要意義。復(fù)小波變換具有平移不變性和良好的方向選擇性，但完全重構(gòu)的設(shè)計(jì)卻是很困難的。而對(duì)偶樹復(fù)小波變換在保留復(fù)小波的優(yōu)良特性的同時(shí)，通過對(duì)偶樹濾波的形式，保證了完全重構(gòu)性。對(duì)偶樹復(fù)小波變換不但具有平移不變性和良好的方向選擇性外，還具完全重構(gòu)性、有限的數(shù)據(jù)冗余和較小的計(jì)算量等優(yōu)點(diǎn)。第53頁，共57頁，2023年，2月20日，星期一結(jié)論

CWT小波變換，不僅具有時(shí)頻中的局域化能力，