15.2線段的垂直平分線專題一線段垂直平分線知識(shí)的應(yīng)用1.如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，M求證：BE+CF＞EF．M2.△ABC中，∠A=90°,AB=AC,D、E、F分別在AB，AC，BC上，且AD=AE，CD為EF的中垂線，求證BF=2AD.3.已知，如圖所示，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，DE=DF．求證：AD垂直平分EF．合作學(xué)習(xí)小組的兩位同學(xué)在證明以上結(jié)論時(shí)的過(guò)程如下：學(xué)生甲：因?yàn)镈E=DF，所以點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上（到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上），所以AD垂直平分EF．學(xué)生乙：因?yàn)镈E⊥AB，DF⊥AC，所以在Rt△ADE和Rt△ADF中，DE=DF，AD=AD，所以Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）,所以AE=AF（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），所以A點(diǎn)在線段EF的垂直平分線上，又因?yàn)镈E=DF，所以點(diǎn)D在線段EF的垂直平分線上，所以AD垂直平分EF．分析兩位同學(xué)的證明過(guò)程，指出誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)，并說(shuō)明錯(cuò)誤的原因．專題二作圖與實(shí)際問(wèn)題·A·B·C4.如圖，A、B、C三點(diǎn)表示三個(gè)鎮(zhèn)的地理位置，隨著鄉(xiāng)鎮(zhèn)工業(yè)的發(fā)展需要，現(xiàn)三鎮(zhèn)聯(lián)合建造一所變電站,要求變電站到三鎮(zhèn)的距離相等·A·B·C平分線上就推得AD垂直平分EF是不正確的．產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是對(duì)垂直平分線的判定定理理解不透，而實(shí)際上要判定一條直線是一條線段的垂直平分線，至少應(yīng)找出直線上的兩點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上，根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線解決問(wèn)題．P·A·B·C4.解:連接AB、AC,作P·A·B·C理由:連結(jié)PA、PB、PC,∵P點(diǎn)是邊AB、AC的垂直平分線,∴PA=PB,PB=PC,∴PA=PB=PC.5.（1）存在滿足條件的點(diǎn)C,如圖所示．（2）作點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A′（2，－2），連接A′B，與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P．設(shè)A′B所在直線的解析式為：y=kx+b，把（2，－2）和（7，3）代入得：&7k+b=3&2k+b=﹣解得：&k=1&b=﹣4，∴y=x－4，當(dāng)y所以交點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）．6.（1）作法：過(guò)點(diǎn)M作AB的垂線，垂足為點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求；過(guò)點(diǎn)N作AB的垂線，垂足為點(diǎn)Q，點(diǎn)Q即為所求，如圖．（2）當(dāng)汽車從A向B行駛時(shí)，在AP這段路上，離兩個(gè)村莊都越來(lái)越近，在PQ上行駛時(shí)，離M越