第六模塊四邊形綜合【課標要求】四邊形（1）了解多邊形的定義，多邊形的頂點、邊、內角、外角、對角線等概念；探索并掌握多邊形內角和與外角和公式.（2）理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關系；了解四邊形的不穩(wěn)定性.（3）探索并證明平行四邊形的性質定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分；探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.（4）了解兩條平行線之間距離的意義，能度量兩條平行線之間的距離.（5）探索并證明矩形、菱形、正方形的性質定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直；以及它們的判定定理：三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.正方形具有矩形和菱形的一切性質.【考點梳理】考點一：多邊形多邊形的定義：在平面內，由若干條不在同一條直線上的線段；首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形，在多邊形中，組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊，每相鄰兩條邊的公共點叫做多邊形的頂點，連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。多邊形的內角和：n邊形的內角和=(n－2)180°正多邊形：在平面內，內角都相等，邊也相等的多邊形叫做正多邊形．（4）多邊形的外角：多邊形內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角，叫做這個多邊形的外角．在多邊形的每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫做多邊形的外角和，多邊形的外角和都等于360°（5）過n邊形的一個頂點共有(n－3）條對角線，n邊形共有條對角線．（6）過n邊形的一個頂點將n邊形分成(n－2)個三角形．考點二：相似多邊形（1）定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形．（2）相似多邊形的性質：①相似多邊形的周長的比等于相似比；②相似多邊形的對應對角線的比等于相似比；③相似多邊形的面積的比等于相似比的平方；④相似多邊形的對應對角線相似，相似比等于相似多邊形的相似比．考點三：平行四邊形的性質與判定1.平行四邊形是四邊形中應用廣泛的一種圖形，它是研究特殊四邊形的基礎，是研究線段相等、角相等和直線平行的根據(jù)之一．2.平行四邊形的定義:兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形.兩條平行線間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的，叫做兩條平行線間的距離．兩條平行線間的距離是一個定值，不隨垂線段位置改變而改變，兩條平行線間的距離處處．4.平行四邊形的性質：平行四邊形的兩組對邊分別；平行四邊形的兩組對邊分別；符號語言表達：平行四邊形的兩組對角分別；平行四邊形的對角線互相．平行四邊形的鄰角_______________.5.平行四邊形的判定：兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別的四邊形是平行四邊形；一組對邊且的四邊形是平行四邊形；對角線互相的四邊形是平行四邊形.符號語言表達：AB∥CD.BC∥AD四邊形ABCD是平行四邊AB=CD，BC=AD四邊形ABCD是平行四邊形．AB平行且相等CD或BC平行且相等AD四邊形ABCD是平行四邊形．OA=OC，OB=OD四邊形ABCD是平行四邊形．考點四、特殊的平行四邊形1.性質：（1）矩形：①矩形的四個角都是；②矩形的對角線；③矩形具有平行四邊形的所有性質．菱形：①菱形的四條邊都；②菱形的對角線互相，并且每條對角線平分一組；③具有平行四邊形所有性質．正方形：①正方形的四個角都是，四條邊都；②正方形的兩條對角線，并且互相，每條對角線平分一組．2.判定：（1）矩形：①有一個角是直角的四邊形是矩形；②對角線的平行四邊形是矩形；③有個角是的四邊形是矩形．菱形：①對角線的平行四邊形是菱形；②一組鄰邊的平行四邊是菱形；③條邊都相等的四邊形是菱形．正方形：①有一個角是的菱形是正方形；②有一組鄰邊的矩形是方形；③對角線相等的是正方形；④對角線互相垂直的是正方形．3.面積計算：（1）矩形：S=長×寬；（2）菱形：（是對角線）（3正方形：S=邊長2平行四邊形與特殊平行四邊形的關系【應用策略】1．中點①直角三角形斜邊中線等于斜邊一半；②三角形中位線；③中點平行構造三角形全等；④倍長中線①往角的兩邊做垂直，垂線段相等；②角平分線，平行，等腰三角形相互轉換；③往角兩邊截取等線段證全等；④過角平分線某點做角平分線的垂線，出現(xiàn)等腰三角形例1.如圖，△ABC中，D是AB上一點，DE⊥AC于點E，F(xiàn)是AD的中點，F(xiàn)G⊥BC于點G，與DE交于點H，若FG=AF，AG平分∠BAC，連接GE,；GD.（1）求證：△ECG≌△GHD（2）小亮同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC.請你幫助小亮同學證明這一結論.（3）若∠B=300，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由.例2.已知兩個等腰Rt△ABC，Rt△CEF有公共頂點C，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，M是AF的中點，連接MB、ME．（1）如圖1，當CB與CE在同一直線上時，求證：MB∥CF；（2）如圖2，當∠BCE=45°時，求證：BM=ME．例3.已知，如圖（1）在平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在BC，CD上，且AE=AF，∠AEC=∠AFC.求證：四邊形ABCD是菱形.如圖（2），若AD=AF，延長AE，DC交于點G，求證：.在第（2）小題的條件下，連接BD，交AG于點H，若HE=4，EG=12，求AH的長.跟蹤訓練1：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BCD，AC⊥AB，E是BC的中點，AD⊥AE．（1）求證：AC2＝CD?BC；（2）過E作EG⊥AB，并延長EG至點K，使EK＝EB．①若點H是點D關于AC的對稱點，點F為AC的中點，求證：FH⊥GH；②若∠B＝30°，求證：四邊形AKEC是菱形．跟蹤訓練2：如圖,在正方形ABCD與等腰直角三角形BEF中,∠BEF=90°，BE=EF，連接DF，點P是FD的中點，連接PE、PC.(1)如圖1,當點E在CB邊上時,求證：CE=eq\r(,2)PE；(2)如圖2，當點E在CB的延長線上時，線段PC、CE有怎樣的數(shù)量關系，寫出你的猜想，并給與證明。跟蹤訓練3：在平行ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點E，交直線DC于點F.(1)在圖1中證明CE=CF；(2)若∠ABC=90°,G是EF的中點(如圖2)，直接寫出∠BDG的度數(shù)；(3)若∠ABC=120°,FG∥CE,FG=CE,分別連接DB、DG(如圖3)，求∠BDG的度數(shù)。跟蹤訓練4：如圖，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CB，垂足為F．（1）求證：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度數(shù)；（3）求證：CD=2BF+DE．跟蹤訓練5：已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分線DE與BC邊交于點E，點P是線段DE上一定點（其中EP＜PD），點F是CD延長線上一點，連接PF，過點P作PG⊥PF，交射線DA于點G．求證：PG＝PF；（2）求證：DG＝DP+DF．跟蹤訓練6：如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F，M分別是AB，BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB＝AC＝BD．連接MF，NF．（1）判斷△BMN的形狀，并證明你的結論；（2）判斷△MFN與△BDC之間的關系，并說明理由．跟蹤訓練7：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AD=AC，AD⊥AC，E是AB的中點，F(xiàn)是AC延長線上一點.(1)若ED⊥EF，求證：ED=EF；(2)在(1)的條件下,若DC的延長線與FB交于點P,試判定四邊形ACPE是否為平行四邊形?并證明你的結論(請先補全圖形,再解答)；(3)若ED=EF，ED與EF垂直嗎?若垂直給出證明.①半角模型；②拉手模型例4：在正方形ABCD中，M、N分別是射線CB和射線DC上的動點，且始終∠MAN＝45°．如圖1，當點M、N分別在線段BC、DC上時，寫出線段BM、MN、DN之間的數(shù)量關系；并給予證明；（2）如圖2，當點M、N分別在CB、DC的延長線上時，（1）中的結論是否仍然成立，若成立，給予證明，若不成立，寫出正確的結論，并證明；（3）如圖3，當點M、N分別在CB、DC的延長線上時，若CN＝CD＝6，設BD與AM的延長線交于點P，交AN于Q，直接寫出AQ、AP的長．例5：如圖，在正方形ABCD中,BD為對角線，∠EAF=450，其兩邊分別交BC、CD于E、F，交BD于H、G。求證：AD2=BG?DH；求證：CE=EQ\R(,2)DG；求證：EF=EQ\R(,2)HG.例6:如圖,在菱形ABCD中，∠ABC=600，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化.（1）如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數(shù)量關系式______，CE與AD的位置關系是______；（2）當點E在菱形ABCD外部時，（1）中的結論是否還成立，請予以證明；若不成立，請說明理由（選擇圖2、圖3中的一種情況予以證明或說理）；（3）如圖4，當點P在線段BD的延長線上時，連接BE，若AB=2eq\r(3)，BE=2EQ\R(,19)，求四邊形ADPE的面積。跟蹤訓練8:如圖①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點E在AC上（且不與點A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，DE＝CE，連AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．（1）請直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關系；（2）將△CED繞點C逆時針旋轉，當點E在線段BC上時，如圖②，連接AE，請判斷線段AF，AE的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）在圖②的基礎上，將△CED繞點C繼續(xù)逆時針旋轉，請判斷（2）問中的結論是否發(fā)生變化？若不變，結合圖③寫出證明過程；若變化，請說明理由．跟蹤訓練9:某數(shù)學興趣小組在數(shù)學課外活動中,研究三角形和正方形的性質時,做了如下探究：在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為直線BC上一動點(點D不與B,C重合)，以AD為邊在AD右側作正方形ADEF，連接CF.(1)觀察猜想如圖①，當點D在線段BC上時。①BC與CF的位置關系為：___；②BC,CD,CF之間的數(shù)量關系為：___;(將結論直接寫在橫線上)(2)數(shù)學思考如圖②，當點D在線段CB的延長線上時，結論①，②是否仍然成立?若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明；(3)拓展延伸如圖③,當點D在線段BC的延長線上時,延長BA交CF于點G,連接GE.若已知AB=2eq\r(,2),CD=eq\f(1,4)BC，請求出GE的長。跟蹤訓練10:在平行四邊形ABCD中，以AB為邊作等邊△ABE，點E在CD上，以BC為邊作等邊△BCF，點F在AE上，點G在BA延長線上且FG＝FB．（1）若CD＝6，AF＝3，求△ABF的面積；（2）求證：BE＝AG+CE．直角的等量代換①三垂直模型；②十字架模型例7:如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點,連結AE，作BF⊥AE，垂足為H，交CD于F，作CG∥AE,交BF于G.(1)求證CG=BH(2)FC2=BF·GF；(3)EQ\F(FC2,AB2)=eq\f(GF,GB)跟蹤訓練11:如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、DC上的點，且AF⊥BE．（1）求證：AF=BE；（2）如圖2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分別是邊AB、BC、CD、DA上的點，且MP⊥NQ．MP與NQ是否相等？并說明理由．教︿育*&跟蹤訓練12:在正方形ABCD中，E是邊CD上一點（點E不與點C、D重合），連結BE．感知如圖①，過點A作AF⊥BE交BC于點F．求證△ABF≌△BCE．探究如圖②，取BE的中點M，過點M作FG⊥BE交BC于點F，交AD于點G．（1）求證：BE=FG．（2）連結CM，若CM=1，求FG的長．應用如圖③，取BE的中點M，連結CM．過點C作CG⊥BE交AD于點G，連結EG、MG．若CM=3，求四邊形GMCE的面積．例1（1）證明：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴.∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵是的中點，，∴是的中點，∴是線段的垂直平分線，∴，，∴，∴.證明：過點作于點，∴，∴，∴.由（1）得，∴，∴，∴.四邊形是菱形，理由如下：∵，∴，∴，∴.由（1）得，∴四邊形是菱形.例2解（1）證法一：如答圖1a，延長AB交CF于點D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，∴點B為線段AD的中點，又∵點M為線段AF的中點，∴BM為△ADF的中位線，∴BM∥CF證法二：如答圖1b，延長BM交EF于D，∵∠ABC=∠CEF=90°，∴AB⊥CE，EF⊥CE，∴AB∥EF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中點，∴AM=MF，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，∴BE=DE，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠EBM=45°，∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，∴∠EBM=∠ECF，∴MB∥CF；（2）證法一：如圖，延長AB交CE于點D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，∴點B為AD中點，又點M為AF中點，∴BM=DF延長FE與CB交于點G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，∴點E為FG中點，又點M為AF中點，∴ME=AG．在△ACG與△DCF中，，∴△ACG≌△DCF（SAS），∴DF=AG，∴BM=ME．證法二：如圖，延長BM交CF于D，連接BE、DE，∵∠BCE=45°，∴∠ACD=45°×2+45°=135°∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，∴AB∥CF，∴∠BAM=∠DFM，∵M是AF的中點，∴AM=FM，在△ABM和△FDM中，，∴△ABM≌△FDM（ASA），∴AB=DF，BM=DM，∴AB=BC=DF，在△BCE和△DFE中，，∴△BCE≌△DFE（SAS），∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，又∵BM=DM，∴BM=ME=BD，故BM=ME．例3解（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B=∠D.∵∠AEC=∠AFC,∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°,∴∠AEB=∠AFD.在ΔAEB和ΔAFD中，∴，∴AB=AD，∴平行四邊形ABCD是菱形(2)由（1）知，，則∠BAE=∠DAF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//DG,∴∠BAE=∠G,∴∠G=∠DAF.又∵∠ADF=∠GDA,∴∽，∴.∴，又∵AD=AF,∴.在菱形ABCD中，∵AB//DC，AD//BC，∴AH:HG=BH:HD，BH:HD=EH:AH，∴AH：HG=EH:AH.∵HE=4，EG=12，∴AH:16=4:AH，∴AH=8.跟蹤訓練1證明：（1）∵AC平分∠BCD，∴∠DCA＝∠ACB．又∵AC⊥AB，AD⊥AE，∴∠DAC+∠CAE＝90°，∠CAE+∠EAB＝90°，∴∠DAC＝∠EAB．又∵E是BC的中點，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠ABC，∴∠DAC＝∠ABC，∴△ACD∽△BCA，∴＝，∴AC2＝CD?BC；（2）①證明：連接AH．∵∠ADC＝∠BAC＝90°，點H、D關于AC對稱，∴AH⊥BC．∵EG⊥AB，AE＝BE，∴點G是AB的中點，∴HG＝AG，∴∠GAH＝GHA．∵點F為AC的中點，∴AF＝FH，∴∠HAF＝∠FHA，∴∠FHG＝∠AHF+∠AHG＝∠FAH+∠HAG＝∠CAB＝90°，∴FH⊥GH；②∵EK⊥AB，AC⊥AB，∴EK∥AC，又∵∠B＝30°，∴AC＝BC＝EB＝EC．又EK＝EB，∴EK＝AC，即AK＝KE＝EC＝CA，∴四邊形AKEC是菱形．跟蹤訓練2證明：(1)延長EP交DC于點G,如圖(1)所示：∵∠FEC=∠DCE=90o，∴EF∥CD,∴∠PFE=∠PDG，又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，∴△PEF≌△PGD(AAS)，∴PE=PG，EF=GD，∵BE=EF，∴BE=GD.∵CD=CB，∴CG=CE，∴△CGE是等腰直角三角形，∴CP⊥GE,CP=eq\f(1,2)EG=PE，∴△CPE是等腰直角三角形.∴CE=eq\r(,2)PE(2)CE=eq\r(,2)PE；,理由如下：如圖(2)所示：延長EP交CD的延長線于點G，∵∠FEB+∠DCB=180o，∴EF∥CD，∴∠PEF=∠PGD，又∵∠EPF=∠GPD，PF=PD，∴△PEF≌△PGD(AAS)，∴PE=PG，EF=GD，∵BE=EF，∴BE=GD.∵CD=CB，∴CG=CE，∴△CGE是等腰直角三角形，∴CP⊥GE,CP=eq\f(1,2)EG=PE，∴△CPE是等腰直角三角形。∴CE=eq\r(,2)PE跟蹤訓練3(1)證明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC,AB∥CD，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F.∴CE=CF.連接GC、BG，∵四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABC=900,∴四邊形ABCD為矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=450∵∠DCB=90°,DF∥AB，∴∠DFA=45°,∠ECF=900∴△ECF為等腰直角三角形，∵G為EF中點，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=450，∴∠BEG=∠DCG=1350在△BEG與△DCG中，EG=CG，∠BEG=∠DCG，BE=DC，∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=900，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=900，∴△DGB為等腰直角三角形，∴∠BDG=45.(3)延長AB、FG交于H,連接HD.∵AD∥GF,AB∥DF，∴四邊形AHFD為平行四邊形∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=300,∠ADC=1200,∠DFA=300∴△DAF為等腰三角形∴AD=DF，∴CE=CF，∴平行四邊形AHFD為菱形∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形∴DH=DF,∠BHD=∠GFD=600∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD與△GFD中，∵DH=DF，∠BHD=∠GFD，BH=GF，∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=600跟蹤訓練4：證明：（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°，∴∠BAC=∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；（2）∵∠CAE=90°，AC=AE，∴∠E=45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA=∠E=45°，∵AF⊥BC，∴∠CFA=90°，∴∠CAF=45°，∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°；（3）延長BF到G，使得FG=FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG=∠AFB=90°，在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB=AG，∠ABF=∠G，∵△BAC≌△DAE，∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，∴∠G=∠CDA，在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA，∴CG=CD，∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，∴CD=2BF+DE．跟蹤訓練5：解（1）過P作PH⊥PD交AD于H，∵PG⊥PF，∴∠GPF＝∠HPD＝90°，∴∠GPH＝∠FPD，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝90°∴∠CDE＝∠EDA＝45°，∴△HPD為等腰直角三角形，∴∠DHP＝∠PDH＝45°，PD＝PF，∴∠PHG＝∠PDF＝135°在△HPG和△DPF中，∵，∴△HPG≌△DPF（ASA），∴PG＝PF；（2）∵△HPD為等腰直角三角形，∴DH＝DP，∵△HPG≌△DPF，∴GH＝DF，∵DG﹣GH＝DH，∴DG＝DP+DF．跟蹤訓練6：證明：∵AB＝AC，點M是BC的中點，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．∵BN平分∠ABE，∠EBN＝∠ABN．∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝（∠BAE+∠ABE）＝45°．∴△BMN是等腰直角三角形；（2）答：△MFN∽△BDC．證明：∵點F，M分別是AB，BC的中點，∴FM∥AC，F(xiàn)M＝AC．∵AC＝BD，∴FM＝BD，即．∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM＝BM＝BC，即，∴．∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB＝90°．∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB．∵∠CEB＝90°，∴∠ACB+∠CBD＝90°．∴∠CBD+∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD．∴△MFN∽△BDC．跟蹤訓練7：(1)證明：在?ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，連接CE，∵E是AB的中點，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°?∠CED，在△CEF和△AED中,∠CEF=∠AED，EC=AE，∠ECF=∠EAD,∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；由(1)知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=12AB=AE，∴四邊形ACPE為平行四邊形；(3)垂直，理由：過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，在△AME與△CNE中,∠M=∠FNE=90°∠EAM=∠NCE=45°AE=CE,∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE與△CF中,∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠FCE=135°，DE=EF，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF.例4：解：（1）BM+DN＝MN，理由如下：如圖1，在MB的延長線上，截取BE＝DN，連接AE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE＝90°＝∠D，在△ABE和△ADN中，,∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE＝AN，∠EAB＝∠NAD，∴∠EAN＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠EAM＝45°＝∠NAM，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME＝MN，又∵ME＝BE+BM＝BM+DN，∴BM+DN＝MN；（2）（1）中的結論不成立，DN﹣BM＝MN．理由如下：如圖2，在DC上截取DF＝BM，連接AF，則∠ABM＝90°＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，∴∠BAM+∠BAF＝∠BAF+∠DAF＝∠BAD＝90°，即∠MAF＝∠BAD＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠FAN＝45°，在△MAN和△FAN中，，∴△MAN≌△FAN（SAS），∴MN＝NF，∴MN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，∴DN﹣BM＝MN（3）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝6，AD∥BC，AB∥CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠ABM＝∠MCN＝90°，∵CN＝CD＝6，∴DN＝12，∴AN＝，∵AB∥CD，∴△ABQ∽△NDQ，∴，∴；由（2）得：DN﹣BM＝MN．設BM＝x，則MN＝12﹣x，CM＝6+x，在Rt△CMN中，62+（6+x）2＝（12﹣x）2，解得：x＝2，∴BM＝2，∴AM＝,∵BC∥AD，∴△PBM∽△PDA，∴，∴,∴AP＝AM+PM＝例5：證明：（1）∵BF⊥AE，CG∥AE,∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=90o,∠CBG+∠BCG=90o,∴∠ABH=∠BCG,∠AHB=∠BGC=90o,AB=BC,∴△ABH≌△BCG,∴CG=BH;∵∠BFC=∠CFG,∠BCF=∠CGF=90o,∴△CFG∽△BFC,∴FC:BF=FG:FC∴FC2=BF·GF;∠GBC=∠FBC,∠BCF=∠CGB=90o,∴△BCG∽△BFC,∴BC:BF=GB:BC∴BC2=BF·GB∵AB=BC,∴AB2=BF·GB∴AB2·GF=BF·GF·GB∵FC2=BF·GF∴AB2·GF=FC2·GB∴EQ\F(FC2,AB2)=eq\f(GF,GB)例5(1)證明：(1)∵四邊形ABCD為正方形∴∠ABD=∠ADB=450，AB=AD，∵∠EAF=450∴∠BAG=450+∠BAH,∠AHD=450+∠BAH，∴∠BAG=∠AHD，又∵∠ABD=∠ADB=450，∴△ABG∽△HDA，∴AB:DH=BG:DA，又∵AB=AD∴AD:DH=BG:DA，∴AD2=BG?DH；(2)如圖,連接AC,∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACE=∠ADB=∠CAD=450，∴AC=EQ\R(,2)AD，∵∠EAF=450，∴∠EAF=∠CAD，∴∠EAF?∠CAF=∠CAD?∠CAF，∴∠EAC=∠GAD，∴△EAC∽△GAD∴CE:DG=AC:AD=EQ\R(,2)，∴CE=EQ\R(,2)DG；(3)由(2)得：△EAC∽△GAD，∴AE:AG=AC:AD=EQ\R(,2)，同理得：△AFC∽△AHB，∴AF:AH=AC:AB=EQ\R(,2)，∴AE:AG=AF:AH=EQ\R(,2)，∵∠GAH=∠EAF，∴△GAH∽△EAF，∴EF:GH=EQ\R(,2)，∴EF=EQ\R(,2)GH.例6:.解：(1)①BP=CE；.②CE⊥AD.；(2)（1）中的結論：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，圖2證明如下：連接AC∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵△APE是等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠CAE=60°+∠CAP=∠BAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE∴BP=CE，∵∠ACE=∠ABP=30°∴∠DCE=30°.∵∠ADC=60°，∴∠DCE+∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD.圖3證明如下:連接AC∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵△APE是等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠CAE=60°+∠CAP=∠BAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，∵∠ACE=∠ABP=30°∴∠DCE=30°.∵∠ADC=60°，∴∠DCE+∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD.(3)∵連接AC,交BD與點O由（2）知CE⊥ADBP=CE∵AD∥BC，∴CE⊥BC.在直角△BCE中，有勾股定理得CE=8∴BP=8.∵∠ABO=30°，AB=2eq\r(3)∴BO=DO=3，AO=eq\r(3)∴BD=6.∴DP=2，∴OP=5，在直角△AOP中，有勾股定理得AP=2EQ\R(,7)作EH⊥AP于點H.∵△APE是等邊三角形，∴PH=EQ\R(,7)，EH=EQ\R(,21).∵S四邊形ADPE=S△ADP+S△APE=eq\f(1,2)DP·AO+eq\f(1,2)AP·EH=eq\f(1,2)×2×eq\r(3)+eq\f(1,2)×2EQ\R(,7)×EQ\R(,21)=8eq\r(3).跟蹤訓練8:解：（1）結論：AF＝AE．理由：∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB＝DF，∵AB＝AC，∴AC＝DF，∵DE＝EC，∴AE＝EF，∵∠DEC＝∠AEF＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE．故答案為AF＝AE（2）如圖②中，結論：AF＝AE．理由：連接EF，DF交BC于K．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠DKE＝∠ABC＝45°，∴∠EKF＝180°﹣∠DKE＝135°，EK＝ED，∵∠ADE＝180°﹣∠EDC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EKF＝∠ADE，∵∠DKC＝∠C，∴DK＝DC，∵DF＝AB＝AC，∴KF＝AD，在△EKF和△EDA中，，∴△EKF≌△EDA，∴EF＝EA，∠KEF＝∠AED，∴∠FEA＝∠BED＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE（3）如圖③中，結論不變，AF＝AE．理由：連接EF，延長FD交AC于K．∵∠EDF＝180°﹣∠KDC﹣∠EDC＝135°﹣∠KDC，∠ACE＝（90°﹣∠KDC）+∠DCE＝135°﹣∠KDC，∴∠EDF＝∠ACE，∵DF＝AB，AB＝AC，∴DF＝AC在△EDF和△ECA中，，∴△EDF≌△ECA，∴EF＝EA，∠FED＝∠AEC，∴∠FEA＝∠DEC＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF＝AE跟蹤訓練9證明：(1)①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中,AD=AF,∠BAD=∠CAF,AB=AC，∴△DAB≌△FAC(SAS)，∴∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即BC⊥CF；故答案為：垂直；②△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∵BC=BD+CD，∴BC=CF+CD；故答案為：BC=CF+CD；CF⊥BC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC.∵正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，在△DAB與△FAC中,AD=AF,∠BAD=∠CAF,AB=AC，∴△DAB≌△FAC(SAS)，∴∠ABD=∠ACF，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=45°.∴∠ABD=180°?45°=135°，∴∠BCF=∠ACF?∠ACB=135°?45°=90°，∴CF⊥BC.∵CD=DB+BC，DB=CF，∴CD=CF+BC.過A作AH⊥BC于H，過E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴BC=2AB=4,AH=2，∴CD=1,BC=4,CH=2，∴DH=3，由(2)證得BC⊥CF，CF=BD=5，∵四邊形ADEF是正方形,∴AD=DE,∠ADE=90°，∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF，∴四邊形CMEN是矩形，∴NE=CM，EM=CN，∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°，∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°，∴∠ADH=∠DEM，在△ADH與△DEM中,∠ADH=∠DEM,∠AHD=∠DME,AD=DE，∴△ADH≌△DEM(AAS)，∴EM=DH=3，DM=AH=2，∴CN=EM=3，EN=CM=3，∵∠ABC=45°，∴∠BGC=45°，∴△BCG是等腰直角三角形，∴CG=BC=4，∴GN=1，∴EG2=GN2+E