和圓有關(guān)的比例線段(一)一、教學目的1．使學生能結(jié)合圖形，準確地敘述相交弦定理及其推論．2．使學生掌握利用相交弦定理的推論作兩已知線段的比例中項的方法．3．使學生能直接應用相交弦定理及其推論進行計算或證明．二、教學重點、難點重點：構(gòu)造相似三角形證明相交弦定理的方法．難點：創(chuàng)設情景(通過輔助線)利用相交弦定理及其推論證明等積線段．三、教學過程復習提問怎樣證明等積式、比例式？答：利用相似三角形是常用的方法之一，并且證明等積式時，往往先化為比例式，以便尋求相應的相似三角形．引入新課我們已經(jīng)學習過利用弦切角定理，找到相等的角，構(gòu)造相似三角形證明和圓有關(guān)的線段的等積式或比例式．事實上，和圓有關(guān)的等積線段、比例線段，在幾何中占有重要位置，具有豐富內(nèi)容，需要我們深入一步研究，掌握其間規(guī)律，為幾何計算和證明提供更多的理論依據(jù)．新課1．相交弦定理的引入引入這個定理時，可結(jié)合學過的垂徑定理，向?qū)W生提問如下：(1)如圖1，⊙O內(nèi)有兩條弦AB，CD直交于E．①當兩弦都是直徑時；②當只有一條弦如AB是直徑時；③當兩弦都不是直徑時，AE·BE與CE·DE的大小有何關(guān)系？能否證明你觀察、猜測所得的結(jié)論是正確的？學生容易回答AE·BE=CE·DE．且根據(jù)已有知識也容易證明這個結(jié)論(注意圖1(2)，(3)中的輔助線即可)是正確的．(2)進一步引導，把兩弦直交的條件放寬，改為AB，CD是⊙O的任意兩條弦時，上述結(jié)論是否還正確？可以告訴同學們，結(jié)論仍然是正確的，這就是今天我們所要講的定理．2．相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．這個定理的證明比較容易，學生自己可以完成．必要時可提示添加輔助線AC，BD(如圖2)3．推論．證畢定理，再啟發(fā)學生，如果兩條相交弦中的一條是直徑，并且它們直交時(這是由一般到特殊)如圖3，上述定理的結(jié)論呈什么形式？顯然為PC2=PA·PB．此為相交弦定理的一個重要推論．推論如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項．對這個推論要求學生準確表達，牢固掌握，直接應用．防止出現(xiàn)把圖3中線段的關(guān)系錯寫成PC·PD=PO·PB．4．相交弦定理及其推論的應用在解(證)圓內(nèi)有關(guān)比例線段的問題時經(jīng)常用到這個定理和其推論，應引為重視．例1已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點分成12cm和16cm兩段，第二條弦的長為32cm，求第二條弦被交點分成的兩線段的長．分析：直接應用相交弦定理，借助于列方程來求解．這種利用代數(shù)解幾何題的方法學生不感生疏，關(guān)鍵要選好未知數(shù)．例2已知：線段a，b．求作：線段c，使c2=ab.作法：略．向?qū)W生說明，這個作圖叫做“作兩已知線段的比例中項”．可以當作基本作圖加以應用．條件許可時可向?qū)W生介紹a≠b時利用圓周角定理的推論來完成這個作圖.設a＞b．如圖4，(1)作線段AB=a；(2)在線段AB上截取AC=b；(3)以AB為直徑作半圓；(4)過點C作CD⊥AB，交半圓于點D．則線段AD就是求作的a，b的比例中項．小結(jié)1．熟記相交弦定理的內(nèi)容；掌握作“兩已知線段的比例中項”的作圖方法和理論根據(jù)．2．熟悉特殊到一般(相交弦定理的引出過程)，一般到特殊(推論作為定理的特例)的思想方法．練習：課本中相關(guān)習題作業(yè)：課本中相關(guān)習