第2課時(kèshí)數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用第一頁，共36頁。【課標(biāo)要求】1．掌握數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)及歸納與猜測的關(guān)系．2．能運用數(shù)學(xué)歸納法解決實際(shíjì)問題．【核心掃描】1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法與函數(shù)、數(shù)列、不等式及幾何問題相結(jié)合．(重點)2．能通過“歸納—猜測—證明〞解決一些數(shù)學(xué)問題．(難點)第二頁，共36頁。自學(xué)導(dǎo)引(dǎoyǐn)數(shù)學(xué)歸納法用框圖表示就是：第三頁，共36頁。想一想：數(shù)學(xué)歸納法的兩個(liǎnɡɡè)步驟有何關(guān)系？ 提示使用數(shù)學(xué)歸納法時，兩個(liǎnɡɡè)步驟缺一不可，步驟(1)是遞推的根底，步驟(2)是遞推的依據(jù)．第四頁，共36頁。名師點睛1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法在證明與正整數(shù)n有關(guān)的等式(děngshì)、不等式(děngshì)、整除問題及數(shù)列問題中有廣泛的應(yīng)用．2．歸納→猜測→證明 (1)歸納、猜測和證明是人們探索事物開展規(guī)律的常用方法，在數(shù)學(xué)中是我們分析問題、解決問題的一個重要的數(shù)學(xué)思想方法． (2)在歸納、猜測階段表達(dá)的是一般與特殊的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系． (3)在數(shù)學(xué)歸納法證明階段表達(dá)的是有限和無限的轉(zhuǎn)化，是一種極限的思想．第五頁，共36頁。第六頁，共36頁。第七頁，共36頁。用數(shù)學(xué)歸納(guīnà)法證明不等式時常要用到放縮法，即在歸納(guīnà)假設(shè)的根底上，通過放大或縮小等技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式．第八頁，共36頁。第九頁，共36頁。第十頁，共36頁。第十一頁，共36頁。證明①當(dāng)n＝1時，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假設(shè)n＝k時，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，那么當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由歸納假設(shè)3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數(shù)，所以(suǒyǐ)18(3k－1－1)能被36整除，所以(suǒyǐ)f(k＋1)能被36整除．由①②可知，對任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．第十二頁，共36頁?？薻adianwl卡盟MicrosoftOfficePowerPoint，是微軟公司的演示文稿軟件。用戶可以在投影儀或者計算機(jī)上進(jìn)行演示，也可以將演示文稿打印出來，制作成膠片，以便應(yīng)用到更廣泛的領(lǐng)域中。利用MicrosoftOfficePowerPoint不僅可以創(chuàng)立演示文稿，還可以在互聯(lián)網(wǎng)上召開面對面會議、遠(yuǎn)程會議或在網(wǎng)上給觀眾展示演示文稿。MicrosoftOfficePowerPoint做出來的東西叫演示文稿，其格式(géshi)后綴名為：ppt、pptx；或者也可以保存為：pdf、圖片格式(géshi)等第十三頁，共36頁。應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題時，關(guān)鍵是“湊項〞，采用增項、減項、拆項和因式分解(yīnshìfēnjiě)等方法，也可以說將式子“硬提公因式〞，即將n＝k時的項從n＝k＋1時的項中“硬提出來〞，構(gòu)成n＝k的項，后面的式子相對變形，使之與n＝k＋1時的項相同，從而到達(dá)利用假設(shè)的目的．第十四頁，共36頁。【變式2】用數(shù)學(xué)(shùxué)歸納法證明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 證明(1)當(dāng)n＝1時，62－1＋1＝7能被7整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥1)時，62k－1＋1能被7整除． 那么當(dāng)n＝k＋1時，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1 ＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴當(dāng)n＝k＋1時，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命題成立．第十五頁，共36頁。第十六頁，共36頁。第十七頁，共36頁。第十八頁，共36頁。用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題，關(guān)鍵在于分析由n＝k到n＝k＋1的變化情況，即分點(或頂點)增加了多少，直線的條數(shù)(或劃分區(qū)域)增加了幾局部等，或先用f(k＋1)－f(k)得出結(jié)果，再結(jié)合圖形給予嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f明，幾何問題的證明：一要注意(zhùyì)數(shù)形結(jié)合；二要注意(zhùyì)要有必要的文字說明．第十九頁，共36頁。第二十頁，共36頁。第二十一頁，共36頁。第二十二頁，共36頁。第二十三頁，共36頁。第二十四頁，共36頁。第二十五頁，共36頁。第二十六頁，共36頁。【題后反思】探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型，此種問題未給出問題的結(jié)論，往往需要由特殊情況入手，歸納、猜測、探索出結(jié)論，然后再對探索出的結(jié)論進(jìn)行證明，而證明往往用到數(shù)學(xué)歸納法．這類題型是高考的熱點之一，它對培養(yǎng)創(chuàng)造性思維具有(jùyǒu)很好的訓(xùn)練作用．第二十七頁，共36頁。第二十八頁，共36頁。第二十九頁，共36頁。第三十頁，共36頁。第三十一頁，共36頁。以上證明過程中，第(2)步未用歸納假設(shè)，不用歸納假設(shè)的證法(zhènɡfǎ)不是數(shù)學(xué)