2021年九年級(jí)中考模擬考試

數(shù)學(xué)試題

一、選擇題（本題滿(mǎn)分36分，每小題3分）

1．﹣2的絕對(duì)值是（）

A．﹣2B．2C．D．﹣

2．若a﹣b＝1，則代數(shù)式2a﹣2b﹣1的值為（）

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

3．當(dāng)?shù)厍蚺c火星兩顆行星都位于距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)點(diǎn)，且位于太陽(yáng)的兩邊時(shí)，兩者之間距離最遠(yuǎn)，大約

為401000000千米，將數(shù)據(jù)401000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．40.1×107B．4.01×107C．4.01×108D．4.01×109

4．一個(gè)物體如圖1所示，它的俯視圖是（）

A．B．C．D．

5．點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1．﹣2）D．（﹣1，2）

6．下列計(jì)算正確的是（）

A．a(chǎn)2+b3＝2a5B．a(chǎn)4÷a＝a4C．a(chǎn)2?a3＝a6D．（﹣a2）3＝﹣a6

7．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）

A．B．

C．D．

8．解分式方程﹣＝1，可知方程的解為（）

A．x＝1B．x＝3C．x＝D．無(wú)解

9．反比例的數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣1），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．k＝﹣2

B．函數(shù)圖象分布在第二、四象限

C．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大

D．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小

10．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P＝40°，則∠B的度數(shù)

為（）

A．20°B．25°C．40°D．50°

11．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于點(diǎn)

D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于

點(diǎn)G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是（）

A．1B．C．2D．

12．如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC＝140°，則∠OED

的度數(shù)為（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

二、填空題（本題滿(mǎn)分16分，每小題4分）

13．4的平方根是．

14．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．若

AB＝8，AD＝12，則四邊形ENFM的周長(zhǎng)為．

15．如圖所示的正六邊形ABCDEF，連接FD，則∠FDC的大小為．

16．圖7是某沙灘上用石子制成的小房子，觀察變化規(guī)律，則第5個(gè)小房子用了塊石子；

第n個(gè)小房子用了塊石子．

三、解答題（本題滿(mǎn)分68分）

17．（1）計(jì)算：．

（2）化簡(jiǎn)：．

18．海南盛產(chǎn)熱帶水果，張阿姨分兩次購(gòu)進(jìn)“妃子笑荔技”、“貴妃芒果”兩種水果進(jìn)行銷(xiāo)售，兩

次購(gòu)進(jìn)同一種商品的進(jìn)價(jià)相同，具體情況如下表所示：求“妃子笑荔枝”、“貴妃芒果”兩種水

果每千克的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

購(gòu)進(jìn)數(shù)量（千克）購(gòu)進(jìn)所需

妃子笑荔枝貴妃芒果費(fèi)用（元）

第一次1020300

第二次1510350

19．為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨國(guó)成立100周年，某市決定開(kāi)展”黨在我心中”主題演講比賽，某中學(xué)將

參加本校選拔賽的40名選手的成績(jī)（滿(mǎn)分為100分，得分為正整數(shù)且無(wú)滿(mǎn)分，最低為75分）分

成五組，并繪制了下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．根據(jù)圖表，解答下列問(wèn)題：

等級(jí)分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率

A74.5～79.520.05

B79.5～84.5a

C84.5～89.5120.3

D89.5～94.5n

E94.5～99.540.1

（1）表中a＝，n＝．

（2）等級(jí)D所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是度；

（3）某同學(xué)的成績(jī)是40位參賽選手成績(jī)的中位數(shù)，據(jù)此推測(cè)他的成績(jī)落在分?jǐn)?shù)段內(nèi)；

（4）選拔賽中，成績(jī)?cè)?4.5分以上的選手，男生和女生各占一半，學(xué)校從中隨機(jī)確定2名選手

參加全市決賽，請(qǐng)用列舉法或樹(shù)狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

20．如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB，小穎在坡面D處測(cè)得條幅頂部A的仰角為30°，沿坡面向

下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來(lái)到C處，測(cè)得條幅的底部B的仰角為45°，

此時(shí)小穎距大樓底端N處20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：

），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面內(nèi)，E、C、N在同一條直線上，求條幅的長(zhǎng)度（結(jié)

果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）

21．已知：如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)（不與C、D重合），射線AF與DE交于點(diǎn)G，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．

（1）如圖1，當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：①△ADF≌△PCF；②DE⊥AF．

（2）如圖2，當(dāng)DF＝2CF時(shí)，連結(jié)CG，①求DG的長(zhǎng)；②請(qǐng)問(wèn)△CGP是否為等腰三角形？請(qǐng)

說(shuō)明理由．

22．已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為M（1，9），經(jīng)過(guò)拋物線上的兩點(diǎn)A（﹣3，

﹣7）和B（3，m）的直線交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式和直線AB的解析式．

（2）在拋物線上A、M兩點(diǎn)之間的部分（不包含A、M兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)D，使得S＝2S

△DAC

？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

△DCM

（3）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在x軸上，當(dāng)以點(diǎn)A，M，P，Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，

直接寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

參考答案

一、選擇題（本題滿(mǎn)分36分，每小題3分）

1．﹣2的絕對(duì)值是（）

A．﹣2B．2C．D．﹣

【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義，可直接得出﹣2的絕對(duì)值．

解：|﹣2|＝2，

故選：B．

2．若a﹣b＝1，則代數(shù)式2a﹣2b﹣1的值為（）

A．1B．﹣1C．2D．﹣2

【分析】首先把2a﹣2b﹣1化成2（a﹣b）﹣1；然后把a(bǔ)﹣b＝1代入化簡(jiǎn)后的算式計(jì)算即可．

解：∵a﹣b＝1，

∴2a﹣2b﹣1

＝2（a﹣b）﹣1

＝2×1﹣1

＝2﹣1

＝1．

故選：A．

3．當(dāng)?shù)厍蚺c火星兩顆行星都位于距離太陽(yáng)最遠(yuǎn)點(diǎn)，且位于太陽(yáng)的兩邊時(shí)，兩者之間距離最遠(yuǎn)，大約

為401000000千米，將數(shù)據(jù)401000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A．40.1×107B．4.01×107C．4.01×108D．4.01×109

【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)時(shí)，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，且n

比原來(lái)的整數(shù)位數(shù)少1，據(jù)此判斷即可．

解：401000000＝4.01×108．

故選：C．

4．一個(gè)物體如圖1所示，它的俯視圖是（）

A．B．C．D．

【分析】找出從幾何體的上面看所得到圖形即可．

解：這個(gè)立體圖形的俯視圖為一行三個(gè)相鄰的矩形．

故選：D．

5．點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A．（1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1．﹣2）D．（﹣1，2）

【分析】根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱(chēng)

點(diǎn)是P′（﹣x，﹣y），進(jìn)而得出答案．

解：點(diǎn)P（1，﹣2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，2）．

故選：D．

6．下列計(jì)算正確的是（）

A．a(chǎn)2+b3＝2a5B．a(chǎn)4÷a＝a4C．a(chǎn)2?a3＝a6D．（﹣a2）3＝﹣a6

【分析】根據(jù)同底數(shù)相除，底數(shù)不變指數(shù)相減；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，

底數(shù)不變指數(shù)相乘，對(duì)各選項(xiàng)計(jì)算后利用排除法求解．

解：A、a2與b3不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、應(yīng)為a4÷a＝a3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、應(yīng)為a3?a2＝a5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、（﹣a2）3＝﹣a6，正確．

故選：D．

7．不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）

A．B．

C．D．

【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大

大小小無(wú)解了確定不等式組的解集．

解：解不等式2x﹣2≤0，得：x≤1，

則不等式組的解集為﹣1＜x≤1，

故選：B．

8．解分式方程﹣＝1，可知方程的解為（）

A．x＝1B．x＝3C．x＝D．無(wú)解

【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，進(jìn)而解方程得出答案．

解：去分母得：

2﹣2x＝x﹣1，

解得：x＝1，

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝1時(shí)，x﹣1＝0，故此方程無(wú)解．

故選：D．

9．反比例的數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣1），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．k＝﹣2

B．函數(shù)圖象分布在第二、四象限

C．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而增大

D．當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，在每一象限內(nèi)

y隨x的增大而證得進(jìn)行分析即可．

解：A、反比例的數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，﹣1），故k＝2×（﹣10＝﹣2，說(shuō)法正確，不符合題意；

B、k＝﹣2＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、四象限，說(shuō)法正確，不符合題意；

C、k＝﹣2＜0，其在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，說(shuō)法正確，不符合題意；

D、k＝﹣2＜0，其在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大，說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

故選：D．

10．如圖，PA是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，PO的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)B，若∠P＝40°，則∠B的度數(shù)

為（）

A．20°B．25°C．40°D．50°

【分析】連接OA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得∠PAO＝90°，再利用互余計(jì)算出∠AOP＝50°，

然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠B的度數(shù)．

解：連接OA，如圖，

∵PA是⊙O的切線，

∴OA⊥AP，

∴∠PAO＝90°，

∵∠P＝40°，

∴∠AOP＝50°，

∵OA＝OB，

∴∠B＝∠OAB，

∵∠AOP＝∠B+∠OAB，

∴∠B＝∠AOP＝×50°＝25°．

故選：B．

11．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交AB、AC于點(diǎn)

D，E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于DE為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF交邊BC于

點(diǎn)G，若BG＝1，AC＝4，則△ACG的面積是（）

A．1B．C．2D．

【分析】利用基本作圖得到AG平分∠BAC，利用角平分線的性質(zhì)得到G點(diǎn)到AC的距離為1，

然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△ACG的面積．

解：由作法得AG平分∠BAC，

∴G點(diǎn)到AC的距離等于BG的長(zhǎng)，即G點(diǎn)到AC的距離為1，

所以△ACG的面積＝×4×1＝2．

故選：C．

12．如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC＝140°，則∠OED

的度數(shù)為（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

【分析】由菱形的性質(zhì)可得∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，由直角三角形的性質(zhì)

可求解．

解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝140°，

∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝70°，BO＝DO，

∵DE⊥BC，

∴OE＝OD＝OB，∠BDE＝20°，

∴∠ODE＝∠OED＝20°，

故選：B．

二、填空題（本題滿(mǎn)分16分，每小題4分）

13．4的平方根是±2．

【分析】根據(jù)平方根的定義，求非負(fù)數(shù)a的平方根，也就是求一個(gè)數(shù)x，使得x2＝a，則x就是a

的平方根，由此即可解決問(wèn)題．

解：∵（±2）2＝4，

∴4的平方根是±2．

故答案為：±2．

14．如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)．若

AB＝8，AD＝12，則四邊形ENFM的周長(zhǎng)為20．

【分析】根據(jù)M是邊AD的中點(diǎn)，得AM＝DM＝6，根據(jù)勾股定理得出BM＝CM＝10，再根據(jù)E、

F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)，即可得出EM＝FM＝5，再根據(jù)N是邊BC的中點(diǎn)，得出EM＝

FN，EN＝FM，從而得出四邊形EN，F(xiàn)M的周長(zhǎng)．

解：∵M(jìn)、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，AB＝8，AD＝12，

∴AM＝DM＝6，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴BM＝CM＝10，

∵E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)，

∴EM＝FM＝5，

∴EN，F(xiàn)N都是△BCM的中位線，

∴EN＝FN＝5，

∴四邊形ENFM的周長(zhǎng)為5+5+5+5＝20，

故答案為20．

15．如圖所示的正六邊形ABCDEF，連接FD，則∠FDC的大小為90°．

【分析】首先求得正六邊形的內(nèi)角的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解：∵在正六邊形ABCDEF中，∠E＝∠EDC＝120°，

∵EF＝DE，

∴∠EDF＝∠EFD＝30°，

∴∠FDC＝90°，

故答案為：90°

16．圖7是某沙灘上用石子制成的小房子，觀察變化規(guī)律，則第5個(gè)小房子用了45塊石子；第

n個(gè)小房子用了1+2（n﹣1）+（1+n）2塊石子．

【分析】根據(jù)所給的圖形中石子的數(shù)，分析得出第n個(gè)小房子用的石子的數(shù)，即可求解．

解：∵第1個(gè)圖中石子的塊數(shù)為：5＝1+22＝1+2×（1﹣1）+（1+1）2；

第2個(gè)圖中石子的塊數(shù)為：12＝1+2+32＝1+2×（2﹣1）+（1+2）2；

第3個(gè)圖中石子的塊數(shù)為：21＝1+2+2+42＝1+2×（3﹣1）+（1+3）2；

第4個(gè)圖中石子的塊數(shù)為：32＝1+2+2+2+52＝1+2×（4﹣1）+（1+4）2；

..．

∴第n個(gè)圖中石子的塊數(shù)為：1+2（n﹣1）+（1+n）2；

∴第5個(gè)小房子的石子數(shù)為：1+2×（5﹣1）+（1+5）2＝45．

故答案為：45；1+2（n﹣1）+（1+n）2．

三、解答題（本題滿(mǎn)分68分）

17．（1）計(jì)算：．

（2）化簡(jiǎn)：．

【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，零指數(shù)冪的意義即可求出答案．

（2）根據(jù)分式的加減運(yùn)算法則以及乘除運(yùn)算法則即可求出答案．

解：（1）原式＝﹣4×2﹣3+9+1

＝﹣8﹣3+9+1

＝﹣1．

（2）原式＝?

＝．

18．海南盛產(chǎn)熱帶水果，張阿姨分兩次購(gòu)進(jìn)“妃子笑荔技”、“貴妃芒果”兩種水果進(jìn)行銷(xiāo)售，兩

次購(gòu)進(jìn)同一種商品的進(jìn)價(jià)相同，具體情況如下表所示：求“妃子笑荔枝”、“貴妃芒果”兩種水

果每千克的進(jìn)價(jià)分別是多少元？

購(gòu)進(jìn)數(shù)量（千克）購(gòu)進(jìn)所需

妃子笑荔枝貴妃芒果費(fèi)用（元）

第一次1020300

第二次1510350

【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以求得兩種水果的進(jìn)價(jià)．

解：設(shè)“妃子笑荔枝”、“貴妃芒果”兩種水果每千克的進(jìn)價(jià)分別是x元，y元，

由題意可得，，

解得，

∴“妃子笑荔枝”、“貴妃芒果”兩種水果每千克的進(jìn)價(jià)分別是20元，5元．

19．為了慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨國(guó)成立100周年，某市決定開(kāi)展”黨在我心中”主題演講比賽，某中學(xué)將

參加本校選拔賽的40名選手的成績(jī)（滿(mǎn)分為100分，得分為正整數(shù)且無(wú)滿(mǎn)分，最低為75分）分

成五組，并繪制了下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表．根據(jù)圖表，解答下列問(wèn)題：

等級(jí)分?jǐn)?shù)段頻數(shù)頻率

A74.5～79.520.05

B79.5～84.5a

C84.5～89.5120.3

D89.5～94.5n

E94.5～99.540.1

（1）表中a＝8，n＝0.35．

（2）等級(jí)D所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是126度；

（3）某同學(xué)的成績(jī)是40位參賽選手成績(jī)的中位數(shù)，據(jù)此推測(cè)他的成績(jī)落在84.5～89.5分?jǐn)?shù)

段內(nèi)；

（4）選拔賽中，成績(jī)?cè)?4.5分以上的選手，男生和女生各占一半，學(xué)校從中隨機(jī)確定2名選手

參加全市決賽，請(qǐng)用列舉法或樹(shù)狀圖法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

【分析】（1）根據(jù)頻率＝頻數(shù)÷總數(shù)及頻率之和為1求解可得；

（2）根據(jù)所求結(jié)果即可補(bǔ)全圖形；

（3）根據(jù)中位數(shù)的概念求解可得；

（4）首先根據(jù)題意畫(huà)出樹(shù)狀圖，然后由表格即可求得所有等可能的結(jié)果與挑選的兩位學(xué)生恰好

是一男一女的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．

解：（1）a＝40×0.2＝8，n＝1﹣（0.05+0.2+0.3+0.1）＝0.35，

故答案為：8，0.35；

（2）等級(jí)D所對(duì)應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)是360°×0.35＝126°，

故答案為：126；

（3）由于40個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第20、21個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第20、21個(gè)數(shù)據(jù)均落在84.5～89.5，

∴猜測(cè)他的成績(jī)落在分?jǐn)?shù)段84.5～89.5內(nèi)，

故答案為：84.5～89.5．

（4）選手有4人，2名是男生，2名是女生．

恰好是一名男生和一名女生的概率為＝．

20．如圖，大樓AN上懸掛一條幅AB，小穎在坡面D處測(cè)得條幅頂部A的仰角為30°，沿坡面向

下走到坡腳E處，然后向大樓方向繼續(xù)行走10米來(lái)到C處，測(cè)得條幅的底部B的仰角為45°，

此時(shí)小穎距大樓底端N處20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：

），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面內(nèi)，E、C、N在同一條直線上，求條幅的長(zhǎng)度（結(jié)

果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：≈1.73，≈1.41）

【分析】過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AN于H，過(guò)點(diǎn)E作FE⊥于DH于F，首先求出DF的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出

DH的長(zhǎng)，在直角三角形ADH中，可求出AH的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出AN的長(zhǎng)，在直角三角形CNB中

可求出BN的長(zhǎng)，利用AB＝AH﹣BN計(jì)算即可．

解：過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AN于H，過(guò)點(diǎn)E作FE⊥于DH于F，

∵坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：，

∴EF＝10米，DF＝10米，

∵DH＝DF+EC+CN＝（10+30）米，∠ADH＝30°，

∴AH＝×DH＝（10+10）米，

∴AN＝AH+EF＝（20+10）米，

∵∠BCN＝45°，

∴CN＝BN＝20米，

∴AB＝AN﹣BN＝10≈17米，

答：條幅的長(zhǎng)度是17米．

21．已知：如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段CD上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)（不與C、D重合），射線AF與DE交于點(diǎn)G，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P．

（1）如圖1，當(dāng)F是CD的中點(diǎn)時(shí)，求證：①△ADF≌△PCF；②DE⊥AF．

（2）如圖2，當(dāng)DF＝2CF時(shí)，連結(jié)CG，①求DG的長(zhǎng)；②請(qǐng)問(wèn)△CGP是否為等腰三角形？請(qǐng)

說(shuō)明理由．

【分析】（1）①根據(jù)ASA證明三角形全等即可．

②證明△ADF≌△DCE（SAS），推出∠DAF＝∠CDE，由∠CDE+∠ADG＝90°，推出∠DAF+

∠ADG＝90°，可得∠AGD＝90°．

（2）①通過(guò)計(jì)算證明PE＝AD＝6，由AD∥PE，推出＝＝1，推出DG＝EG，利用勾股定

理求出DE，可得結(jié)論．

②結(jié)論：△PCG不是等腰三角形．通過(guò)計(jì)算證明即可．

【解答】（1）證明：①如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADC＝∠BCD＝∠PCF＝90°，

∵F是CD的中點(diǎn)，

∴DF＝CF，

在△ADF和△PCF中，

，

∴△ADF≌△PCF（ASA）．

②如圖1中，∵E是BC的中點(diǎn)，

∴BE＝EC，

∵CB＝CD，DF＝CF，

∴DF＝CE，

∵∠ADF＝∠DCE＝90°，AD＝DC，

∴△ADF≌△DCE（SAS），

∴∠DAF＝∠CDE，

∵∠CDE+∠ADG＝90°，

∴∠DAF+∠ADG＝90°，

∴∠AGD＝90°，

∴DE⊥AF．

（2）解：①如圖2中，∵AD∥CP，

∴＝，

∴＝2，

∴CP＝3，

∵BE＝EC＝3，

∴PE＝6＝AD，

∵AD∥PE，

∴＝＝1，

∴DG＝EG，

在Rt△DCE中，DE＝＝＝3，

∴DG＝．

②結(jié)論：△PCG不是等腰三角形．

理由：∵∠DCE＝90°，DG＝EG，

∴CG＝DE＝，

∵CP＝3，

∴CG≠CP，

∵∠PCG是鈍角，

∴△PCG不是等腰三角形．

22．已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為