4.4數系的擴充與復數的引入【素養(yǎng)【素養(yǎng)?基礎知識】a＋bi(a，b∈R)a，bb＝0a＋bib≠0，a＋bia＝0b≠0a＋bi為純虛數．00.(2)復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝cb＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共軛復數：a＋bic＋di共軛 復數z＝a＋bi復平面內的點

OZ(

【素養(yǎng)?常用結論

z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|【體驗【2019年高 Ⅰ卷理數】設復數z滿足，z在復平面內對應的點為(x，y)，則（A．B．D．1C．【答案】 則．故選【2019年高考卷理數】已知復數，則（ C．D．【答案】【2019年高 Ⅱ卷理數】設z=–3+2i，則在復平面內對應的點位于（ 【答案】【解析】由得則對應的點（-3，-2）位于第三象限．故選【2019年高考Ⅲ卷理數】若，則z=（A．B．D．【答案】【解析】．故選【2019年高 卷理數】是虛數單位，則的值 【答案】【解析 【2019年高考浙江卷】復數（為虛數單位 【分析】本題先計算，而后求其模．或直接利用模的性質計算．容易題，注重基礎知識、運算求解能力【答案】 0a【答案】【解析 【名師點睛】本題主要考查復數的運算法則，虛部的定義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能考法一復數的有關概念b.【例1】(1)(2018·浙江卷)復數1－i(i為虛數單位)的共軛復數是 【答案】

2 21＋i (2)(2017卷Ⅲ)設復數z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝( C．C．【答案】

【解析】z＝1＋i＝1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝2.(3)(2017卷Ⅰ)下列各式的運算結果為純虛數的是( 【答案】(4)(2017卷)已知a∈R，i為虛數單位，若2＋i為實數，則a的值

考法二)zZ及向量z＝a＋bi(a，b∈R)

→， ＝【例2】(1)(2018卷)在復平面內，復數1－i的共軛復數對應的點位于 【答案】

(2)(2017卷)若復數(1－i)(a＋i)在復平面內對應的點在第二象限，則實數a的取值范圍是( 【答案】 【答案】

→＋→所以 所以2x－y＝－2，解得y＝4， 考法三復數代數形式的運算ii的【例3】(1)(2018卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝( 【答案】 【答案】

5＝－5＋5i.(3)若a為實數，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，則a＝( 【答案】易錯點【典例】下列命題中，正確命題的個數是 x，y∈Cx＋yi＝1＋i 【錯解】：對于(1)，x＋yi＝1＋i?x＝y＝1，故(1)正確；對于(2)a＞ba＋i＞b＋i，故(2)正確；對于(3)，x2＋y2＝0?x＝y＝0，故(3)正確．故選D．【錯因分析】：本題解答過程中，在(1)(3)x，y∈C這個條件．在實數范圍內這兩個命題的確是x2＝|x|2，但在復數中就不一定成立，(2)中復數是不＝1＋i，y＝0x＋yi＝1＋ix＝y＝1x＋yi＝1＋i成立的充分不必要條件，故(1)錯誤；對于(2)，a，b∈Ra＞ba＋i，b＋i是兩個虛數，故不能比較大小，故(2)錯誤；對于(3)x2＋y2＝0，x，y∈Cx＝1，y＝ix2＋y2＝0x≠yx，yx＝y＝0，故(3)錯誤；故正0.A．【訓練】使不等式(m2－4m＋3)i＋10>m2－(m2－3m)i成立的實數 【答案】

C．D．D． 【解析】 ?|z|＝52已知復數z＝1＋i(i是虛數單位)，則z－z2的共軛復數是( 【答案】 2

已知復數z滿足(2＋i)z＝1＋i，則z在復平面內對應的點在( 【答案】

z＝2＋i＝2＋i2－i＝5＋5iz在復平面內對應的點位于第一象限．故選 【答案】

B．設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|＝( B．C．C．【答案】

|x＋yi|＝|1＋i|＝2.1．(2018卷 【答案】2．若復數z滿足方程z＋2＝zi(其中i為虛數單位)，則復數z的共軛復數z等于( 【答案】

＝－1－iz＝－1＋i. 1 【答案】

2

1

lg(a＋b)＝lg1＝0. 【答案】

z＝i(i為虛數單位)的復數 【答案】 已知復數z＝1＋ai(a∈R)(i是虛數單位)，z＝－5＋5i，則 1 【答案】

1＋ai＝－5＋5i1＋a2

1若復數z＝1＋2i，其中i是虛數單位，則z＋z·z 【答案】

1z＝1＋2iz＝1－2i.所以zz·z＝z·z 【答案】

或b＝－1，所以 5 51－2i

11－

－i

＝ ＝

2i＋－2i＝－2

1－

－i－1－

＝3＋i＝3＋i3 ＝－4－4 對角線B 【解析】 5①z＋z 5z＝－1－2iz＝－2－i.z＝a＋bi(a，b∈R

5a

5b

＋bia2＋b2＝a＋a2＋b2＋b－a2＋b2i.z＋zb－a2＋b2＝0.b≠0

由①②得

或 故存在虛數

13．(2019·巴蜀中學檢測)歐拉eix＝cosx