數(shù)學證明編史學中的一個理論問題

一公認古代世界數(shù)學證明史中的一個問題在過去的30多年中，一些研究中國、美索不達米亞和印度地區(qū)古代文獻的數(shù)學史家陸續(xù)發(fā)表文章和專著，宣稱他們在這三大地區(qū)的數(shù)學文獻中發(fā)現(xiàn)了證明。①這些數(shù)學史家的研究工作都是獨立展開的，所討論的證明在性質(zhì)上也是不同的，而且對于遇到的材料，他們的解釋也沒有統(tǒng)一的標準。盡管如此，這些研究者們提出的很多或新或舊的證據(jù)，向目前流行的有關(guān)早期數(shù)學證明史的觀點提出了挑戰(zhàn)，這一觀點認為數(shù)學證明的發(fā)端應(yīng)當且只能從古希臘的文獻中去追溯。值得一提的是，這些數(shù)學史家中部分人在一定程度上重新回歸到十九世紀初的編史學研究路數(shù)上。正如拉伊納（DhruvRaina）指出的，在19世紀初，像科爾布魯克（Colebrooke）這樣的歐洲學者承認古代用梵文寫作的數(shù)學文獻中存在數(shù)學證明。但是，這種觀點在19世紀末到20世紀的編史學中消失了。②一個令人困惑的事實是：在研究這一領(lǐng)域的專家小圈子之外，這些研究結(jié)論被忽視還算是不錯的情況，更多情況下則是被斷然否定。很明顯，到目前為止，這些研究論著還沒能動搖大多數(shù)科學史家和科學哲學家或其它學者所持有的有關(guān)早期數(shù)學證明史的一般觀點。我們有必要分析一下以上這種研究結(jié)論長期不被接受的狀況。為了理解和說明這一狀況，首先需要確定我們整個社會對數(shù)學證明的認識和看法與哪些因素有關(guān)。只有先進行這樣的反思，我們才能更自由地討論數(shù)學證明這一議題，并逐步理解那些能證實古代世界許多傳統(tǒng)中存在證明這一結(jié)論的新證據(jù)。③本文僅探討在我看來與古代世界數(shù)學證明史的討論有關(guān)的一個因素，盡管它不是唯一的因素，但起著關(guān)鍵作用。我的觀點如下：當前對于數(shù)學證明的目標究竟是什么已經(jīng)形成固定不變的概念，從而阻礙了對數(shù)學證明進行全面的歷史分析。我認為這種僵化的概念是失于偏頗的，而對于上文提及的新證據(jù)的研究正是給我們提供了一個機會，使我們能認清這種偏頗狀態(tài)并采用全新的視角對數(shù)學證明這一問題進行思考。二有關(guān)確定性的問題以下對我的觀點進行詳細闡述。數(shù)學證明的基本特征——使得數(shù)學證明在數(shù)學領(lǐng)域之外得以廣泛傳播及受重視的首要特征——即正如“證明”一詞本身所暗指的，它給我們帶來確定性：被證明的結(jié)論可以（或期望能）被當作真實可靠的。④確立某條知識的真實性并讓反對者也承認該斷言無可辯駁，這似乎就是數(shù)學證明的作用和目標所在。顯然，如果采納以上觀點，我們就得承認證明活動需要一些不容置疑的、正確無誤的出發(fā)點（如定義、公理等）。⑤事實上，如果開展證明不是從沒有任何異議的前提條件出發(fā)的話，就得不到確切的結(jié)論，從而也不能達到一致認同?；诖耍▏烂苄灾惖囊笠灿纱颂岢觯?，必須采用合理的論據(jù)并以一種可靠的方式從出發(fā)點推導(dǎo)出確切的結(jié)論，接著新的結(jié)論又在先前的結(jié)論或出發(fā)點的基礎(chǔ)上推出。證明就這樣一步一步進行下去。換句話說，一旦你認定數(shù)學證明得用一種無可辯駁的方式來開展，那么緊接著你會發(fā)現(xiàn)這樣的證明只能在這類或那類“公理·演繹”體系中方能實現(xiàn)。在這種假設(shè)與境下，歐幾里得的《幾何原本》乃是第一本已知的包含證明的數(shù)學著作。此外，任何宣稱某一給定文獻里包含數(shù)學證明的說法就必須相應(yīng)地照此標準來被判真?zhèn)巍獙嶋H上已經(jīng)這么做了，正如我們在眾多數(shù)學史和數(shù)學哲學的著作中所見到的一樣。在我看來，正是這個小小的策略使得古希臘幾何著作在數(shù)學證明史的討論中占據(jù)著如此重要以至于無懈可擊的地位，而這一地位也是一些科學史和科學哲學領(lǐng)域的學者近來拋棄那些認為巴比倫、中國或印度的古文獻中包含證明的論斷的核心理由。我這樣的推論在很多人看來可能過于簡單，但我要說這恰恰是問題的關(guān)鍵之處。⑥如果我說對了，那么在對證明展開更廣泛的歷史探究時就必須對這一推論進行批判性分析。上述數(shù)學證明的特征很明顯意義不凡，即便在數(shù)學領(lǐng)域之外也是如此。然而，就數(shù)學本身而言，我們憑什么將“無可爭議性”視為數(shù)學證明最根本的價值和目標所在呢？三當今對于數(shù)學中為什么需要證明的幾種不同觀點為了論述這個問題，我們將討論的范圍限定為數(shù)學與境下的證明。這里有一個將對我們的討論有用的簡單事實：歷史上不少著名學者開展的數(shù)學證明并不屬于“公理—演繹”體系。⑦實際上，高級數(shù)學讀本主要用“公理—演繹”方式寫作的時代要比不用這種方式寫作的時代短暫得多。在不想用“公理—演繹”體系組織數(shù)學知識的情況下，著者往往并不著意強調(diào)嚴密性，但他們也把所著的內(nèi)容稱為證明。⑧也許有人會認為這些數(shù)學家們是忽略了某些難點并犯了一些錯誤。然而，這種反對意見絲毫不能抹殺正是通過此類證明而提出的大量理論和得到的結(jié)論。如此看來：對于相當數(shù)量的數(shù)學家而言，證明的目標從來就不會僅僅是通過說理保證確定性和不可爭辯性，且不說這還未必是他們的目標。即便如此，他們?nèi)匀徽J為尋求證明是值得的，而且從數(shù)學角度看來，他們的證明活動依然是卓有成效的。在我看來，現(xiàn)代數(shù)學中仍然可以看到不把確定性奉為圭臬的證明活動。即使在論述現(xiàn)代證明活動時，數(shù)學家們依然會強調(diào)其工作⑨是在“公理—演繹”的框架下完成的，以此保證證明的確定性及結(jié)論的嚴謹性，但在實際工作中他們賦予證明的功能卻非常多樣。對于這一點的深入了解，可以參看20年前發(fā)表于《美國數(shù)學學會會刊》上的一些辯論性文章⑩。賈菲（Jaffe）和奎因（Quinn）的文章是這一討論的緣起，他們提出除了那些保證確定性的證明之外，“猜測”（他們稱之為“理論數(shù)學”）在數(shù)學發(fā)展中也占據(jù)重要地位。然而，他們擔心把嚴密的證明（產(chǎn)生確定性的證明）與見解、論證等混為一談會造成某種混亂。因此，他們建議在出版規(guī)范中應(yīng)該考慮將以下兩方面予以嚴格區(qū)分：一方面是“定理”、“說明”、“概念”和“證據(jù)”；另一方面則包括“推測”、“預(yù)設(shè)”、“動機”和“支持性的論據(jù)”等。(11)鑒于當今這些不同類型證明的對立，或許可以大膽地提出，我們也要對歷史上證明的類型進行區(qū)分。有些歷史學家由此宣稱：“證明”一詞應(yīng)該專指希臘文獻中的證明，而上述術(shù)語中其他各項應(yīng)該用于所有的文獻。本文不可能詳細討論這個爭論。不過，為了達到本文論述的目的，我們觀察一下將“真正的證明”與其它類型的“論證”加以區(qū)分的做法在數(shù)學界引起的強烈反響，這將是很有趣的。從發(fā)表在《美國數(shù)學學會會刊》上的一系列文章來看，出現(xiàn)了一種關(guān)于證明活動的更加復(fù)雜的觀點，其中嚴密的證明引起褒貶不一的看法，而且與其它的證明模式共存。(12)此外，證明同數(shù)學活動的其它方面之間的關(guān)系也是錯綜復(fù)雜的，需要作進一步分析。涉及到本文主題，具有諷刺意味的是，許多數(shù)學家對把中國和印度文獻中的論證看作是證明并不感到難以接受，然而另外一些學者卻不認為這些文獻中的論證稱得上是證明。我將這一事實解釋為是數(shù)學團體乃至之外有各種證明活動和大量證明的表述相共存的又一跡象。即使證據(jù)還有待加強，以上事實至少提示我們：對于數(shù)學證明是什么或者應(yīng)該是什么，在數(shù)學家群體中存在爭議。在這種情況下，為什么歷史學家和哲學家們要選擇某一種觀點作為唯一正確的答案，并以此來文飾過去，更不用說文飾現(xiàn)在呢？下面回到一個與本文論點有關(guān)的問題：確定性是不是當今尋求數(shù)學證明的主要動機。在此值得一提的是，由賈菲和奎因的文章引發(fā)的諸多討論都表現(xiàn)出這樣一種擔憂，即嚴格限制證明一定要保證確定性的做法會給數(shù)學這門學科帶來損失。相比之下，這一爭論也使我們能觀察到數(shù)學家們附加于證明的多種不同功效，包括：帶來“明確、可靠性”、提供“反饋和修正”、“新的觀點和意料之外的新數(shù)據(jù)”［Jaffe,etal1993］、“未知現(xiàn)象的線索”［Jaffe,etal1994］、“思想和技術(shù)”［Atiyah,etal1994］、“理解”(13)、“能推導(dǎo)出高等數(shù)學的有趣數(shù)學概念”、一個數(shù)學對象“結(jié)構(gòu)的特定觀念的支持論據(jù)”［Thurston1994］。(14)只有當頭腦中有了這些多樣化的目標之后，我們才能對一些數(shù)學活動進行解釋，否則它們就會被看作是不可思議的。例如，我們何以解釋重新證明一個已經(jīng)建立的論點會是卓有成效的？(15)對數(shù)學證明的考察若限定在更有限的范圍中，我們就會明白促使數(shù)學家們進行證明的千百種理由。(16)再者，數(shù)學證明這一研究對象以及附屬于它們的價值、將數(shù)學證明公式化的動機、寫出證明的具體過程等方面若不被考慮的話，則表明我們對數(shù)學證明的歷史研究有重大缺陷。四關(guān)于數(shù)學證明史的新觀點通過以上探討，我們可以得出兩個結(jié)論。首先，如果我們把證明史的研究僅僅局限于探求前人是如何設(shè)法建立一種無可爭議的理論體系的話，那么這樣的證明史將面臨被片面肢解的風險。不過，在我看來，數(shù)學史家和數(shù)學哲學家們對于這一觀點往往是習以為常的，這乃是數(shù)學史界的一種缺失。本文揭示出被普遍認定的關(guān)于數(shù)學證明的那些偏見的根源，從而突出了眾多原因中的一個主要原因，即為什么巴比倫、中國和印度的相關(guān)證據(jù)都完全被忽視了。不管怎樣，我們現(xiàn)在看到，如果將證明理解成是我們試圖探討其科學活動的古代數(shù)學家所開展的一種活動，這樣的數(shù)學證明史的研究方案并不能令人滿意。其次，從反面來說，本文勾勒出的是另一種關(guān)于數(shù)學證明史的方案，這是一個更加開放且使我們能從多樣化的古代文獻中獲益的方案。我們可能有興趣去了解，當過去的那些不同數(shù)學家團體有意于證明一個理論的正確性或一個算法的可行性時，他們所追求的目標究竟是什么。我們或許還想知道，他們的目標如何作用于他們的證明活動，以及他們是如何將這些證明活動記錄下來的。(17)事實上，一些與證明活動相關(guān)的其它作用在過去已經(jīng)被清楚地解釋過，有時候人們一度認為它們的重要性超過保證確定性這一作用。與此相關(guān)，不同于以往將不可辯駁性作為評價證明活動的標準，現(xiàn)如今認識論方面的價值已被用來評估證明活動的重要程度。就這方面來說，我們不妨回顧一下歐洲17世紀的一場爭論，這場爭論是關(guān)于如何通過數(shù)學證明確保理論的正確性從而實現(xiàn)對理論的理解和接受。其間，舊版歐幾里德《幾何原本》并沒有被人們重視，而新版《幾何原本》因增添了更為充分的數(shù)學證明內(nèi)容從而比較滿足人們的需求。(18)這個例子說明不同類型的證明活動是怎樣因著不同的需求而產(chǎn)生。這一新的數(shù)學史研究方案對于古代傳統(tǒng)意味著什么？關(guān)于這個問題，我和幾位同事在《古代傳統(tǒng)中的數(shù)學證明史》（劍橋大學出版社，待出版）一書中有過詳細論述。毋庸贅言，將歷史的和認識論的方法應(yīng)用于數(shù)學證明的研究中，將為我們打開一個更廣闊的空間，而這本書的出版只不過是朝這個方向邁出了第一步。為了打開這一討論的空間，我們來看為什么以下這一點很關(guān)鍵——即我們用“證明”這一術(shù)語的意思應(yīng)該只是指，說明某一論斷的真實性或某一算法的正確性作為數(shù)學家的意圖之一可以在文本中找出來。換句話說，我們絕不應(yīng)該拘泥于那些看來是本質(zhì)上規(guī)定了證明是什么的規(guī)則和價值，從而先驗地限制了我們的研究文獻。從這一點出發(fā)，問題的關(guān)鍵是要弄清不同時期和不同地區(qū)賦予證明的多種多樣的目標和功能，以及相應(yīng)地構(gòu)建起來的多種多樣的證明活動。一方面，我們的目標應(yīng)該是試圖分析古代數(shù)學家究竟是為何以及怎樣來進行證明活動的。另一方面，我們要探索證明活動是如何跟數(shù)學活動的其他方面相聯(lián)系的，并在可能的情況下探討數(shù)學在當中得以發(fā)展的社會和學術(shù)環(huán)境。進行這樣的探索應(yīng)該可以得到豐碩的成果。以上幾方面，都是我在研究中國現(xiàn)存最早的數(shù)學文獻中的證明時一直思考的問題。(19)在這樣很具體的事項之外，還有一些更一般化的問題值得我們探討。從歷史的角度來看，我們需要質(zhì)疑的是：數(shù)學證明的發(fā)展史是否呈現(xiàn)出在當今似乎是不言而喻的線性發(fā)展模式。如果數(shù)學證明史包含一系列錯綜復(fù)雜的實踐過程，那么我們就不能簡單地將其歸結(jié)為單一概念的簡單展開和遞進。當今數(shù)學中明確區(qū)分了的多樣化的證明活動究竟是如何繼承了早期同樣是明確不同的證明活動呢？這種歷史模式相當復(fù)雜，在許多地區(qū)都可以找到它的根源。更具體而言，我們可以為自己設(shè)定這樣的任務(wù)：去搞清楚發(fā)現(xiàn)于古代傳統(tǒng)中的各種證明活動或其組成元素（比如證明的步驟或動機）是如何發(fā)展、流傳并相互影響的。當我們試圖說明證明活動是一個核心的但具有多層次結(jié)構(gòu)的數(shù)學探索過程，并且這一過程不像人們以往所認為的是以線性的方式在歷史中展開，以上提到種種問題的就是我們即將面臨到的。另外，以認識論的視角來看，我們感興趣的是通過多種途徑的研究實現(xiàn)對數(shù)學證明這一科學活動的總體理解。鑒于此，我們尤其感興趣的問題是：從這一視角研究所有早期文獻時，我們究竟能獲得哪些深刻見解？在我看來，這應(yīng)當是說服我們開拓研究視野并在更多樣化的古代文獻基礎(chǔ)上對數(shù)學證明這一問題進行思考的關(guān)鍵動機。注釋：①就中國的情況而言，研究此問題的第一批中文出版物中一定要提到吳文俊（1982）以及兩期學術(shù)期刊：《科技史文集》第八輯（1982）和《科學史集刊》第十一輯（1984）。此后，又出現(xiàn)了更詳細的研究專著，包括：李繼閔1990、郭書春1992、劉鈍1993等，這些文章總結(jié)了前人研究，并做了進一步深入。同時，在此也要提及研究此問題的第一批英文文獻：Wagner1975(1March1976)、Wagner1978、Wagner1979。此后相關(guān)中英文出版物為數(shù)眾多，在此不一一列舉。ChemlaandGuoShuchun（2004）試圖提供了一個最新的論述及一份完整的文獻綜述。第一篇研究美索不達米亞地區(qū)數(shù)學文獻中數(shù)學證明問題的文獻是Hyrup1990。此后，J.Hyrup一直致力于對該問題的研究，并與同一領(lǐng)域的其它專家一道支持和發(fā)展該研究項目。該項目的研究成果在美索不達米亞數(shù)學界受到廣泛重視，其綜述見Hyrup2002。關(guān)于印度地區(qū)的情況，見Hayashi1995(pp.75-77)、Jain1995。最近又有Patte2004、Srinivas2005、Keller2006等論著相繼發(fā)表。②見待發(fā)表的Raina的文章。待出版的Chemla（ed.）則是更系統(tǒng)地討論了此問題。③這里解釋了使前面腳注中列舉的論著得以出版的共同努力不僅涉及到歷史學且涉及到數(shù)學證明編史學的研究。當然，這一領(lǐng)域還有更多問題有待解決。④Grabiner1988認為：確定性和普適性是數(shù)學之所以對于“西方思維”很有影響力的兩個重要特征。這兩個特征也的確在徐光啟為漢譯歐幾里得《幾何原本》撰寫的前言中占據(jù)突出地位。見Engelfriet1998,pp.291-297）。Grabiner對確定性是如何從證明中產(chǎn)生這一問題所進行的分析影響深遠，這揭示了確定性的重要性影響規(guī)模之大，尤其是在神學領(lǐng)域。Hacking2000則較清晰地分析了確定性和與之相關(guān)聯(lián)的特征對于某些哲學家的重要性。⑤Lloyd已發(fā)表大量論文探討使這些問題在古希臘成為主導(dǎo)性問題的歷史與境。他為我們展示出：在一個特定與境下一些希臘數(shù)學家如何被引向選擇某一特定的證明方法。Lloyd為我們提供了研究證明方法的社會史方面的基本元素。此外他還揭示出：與被廣泛接受的觀念相反，所有選擇某一特定證明方法的古希臘學者，在現(xiàn)代讀者看來，也不是采用一種統(tǒng)一的令人信服的方式來開展他們的證明。Lloyd通過描述多個領(lǐng)域中采用這同一證明方式在做法上各不相同而得出這一結(jié)論。見Lloyd1990。⑥在前一段落中，我已經(jīng)根據(jù)當今對確定性由何產(chǎn)生的看法描述了一種推理模式。盡管確定性、出發(fā)點以及由出發(fā)點保證確定性的推理模式仍然是在對數(shù)學證明討論中的恒定話題，但它們的意義在歷史上呈現(xiàn)出各種差異。見Mancosu1996，尤其是第一章。⑦柏拉圖《美諾篇》中關(guān)鍵性的證明在哲學史上產(chǎn)生了巨大影響。不過，極大的諷刺性是，這一證明并不是按照“公理演繹”系統(tǒng)表述的。見Hacking2000?，F(xiàn)代哲學家如拉卡托斯（1970）提出“一種無基礎(chǔ)的數(shù)學觀”。見Hacking2000,p.124。只可惜這類觀點至今也沒有對古代數(shù)學史的研究產(chǎn)生明顯影響。Rav1999,pp.15-19列出了現(xiàn)代數(shù)學的幾個主要研究領(lǐng)域，在這些領(lǐng)域中還沒有提出公理，不過被認為是精確的。他進一步強調(diào)現(xiàn)代數(shù)學中使用的“公理”具有多種含義。⑧我想沒有任何一部歷史著作會否定諸如萊布尼茲、歐拉、彭思烈和彭加勒等人曾記錄過實際的證明過程。我想也沒有人會建議將以上這些人從數(shù)學證明史中抹去：不論人們?nèi)绾卧u論，他們無可爭辯地為證明活動的形成做出了貢獻。還有一些更有啟發(fā)意義的例子在我下文的論述中會被引用到。見JaffeandQuinn1993,pp.7-8。JaffeandQuinn在文中涉及到“證明的弱標準”問題并認為在一些情況下，“動機”或者“支持性的論據(jù)”應(yīng)該代替數(shù)學家所謂的“證明”，這一事實表明在現(xiàn)代數(shù)學著作中，所謂的“證明”指的應(yīng)該是各種類型的論證。見JaffeandQuinn1993,pp.7,10。這一觀點以下將再次提及。⑨Thurston1994,pp.10-11提出了一種完全不同的清晰解釋。除了一些關(guān)于證明活動的全新看法之外，他摒棄了那種“認為存在統(tǒng)一的、客觀的和基礎(chǔ)牢靠的證明理論和實踐的隱含假設(shè)”（p.1）。Rav1999提供了一種對于證明的可比但有所不同的解釋，其對標準觀點的批判入木三分。⑩上文已經(jīng)舉出這一批爭論性文章中的若干。這里列出這一爭論的重點文章來源：JaffeandQuinn1993;AtiyahefaJ1994以及JaffeandQuinn1994。(11)見JaffeandQuinn1993,p.10。(12)從這些證據(jù)中可以看出數(shù)學證明的書面文本和那些與證明相關(guān)的集體口頭討論之間的關(guān)系可能極為復(fù)雜，對于只能見到與證明活動的真實過程關(guān)系微弱的書面痕跡的歷史學家們來說，這種復(fù)雜性著實讓他們感到擔憂。(13)MartinDavis對“四色定理”的評價恰好說明了這一點：在他看來，計算機證明的弊端并不僅僅在于它會導(dǎo)致確定性的缺乏，而更多地在于它不能讓我們理解“4”是從何而來的，這個數(shù)字是否是偶然的等等。（見MartinDavis于2007年10月2日的個人通信。）(14)正如我在上文中間接提到的那樣，這些文章認為嚴密性的價值是有爭議的。見Mandelbrot、Thom的相關(guān)論述。再者，必須強調(diào)的是：在當代數(shù)學中附屬于嚴密性的價值或許更多地和嚴密性本身所提供的理解力