精品文檔精品文檔PAGE精品文檔第一學期高等數(shù)學期末考試試卷答案

一．計算題（本題滿分 35分，共有5道小題，每道小題 7分），

1．求極限lim1cosxx2x．sin3xx0解：xx1cosx12x1cosx11cosxx2x22limlimlimsin3xx3x3x0x0x0xlncosxxln1cosx1cosx1cosx1xlnlne21e2122limlimx3lim1limx3x2x0x0cosxx0x0xln2limsinx1．x01cosx2x4與x23x2．設x0時，fx是等價無窮小，ftdt與Axk等價無窮小，求常數(shù)k與A．20

解：

3x

3xftdt由于當x0時，ftdt與Axk等價無窮小，所以lim0k1．而0x0Ax3x21x31ftdtf3x223x2f3x233x2x3x31lim0lim3limAxkAkxk2Akxklimlimx0x01x0x31x06Akxk1x06Akxk1211．因此，k1,1．所以，limAx06Akxk16x2axba與b應滿足的條件．3．如果不定積分21dx中不含有對數(shù)函數(shù)，求常數(shù)x1x2解：

將x2axb化為部分分式，有2x2x11x2axbAB2CxD，2x1x11x2x11x2因此不定積分x2axbdx中不含有對數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)x121x2AC0．x2axbBDB1x2Dx12即．x121x2x121x2x121x2所以，有x2axbB1x2Dx12BDx22DxBD．比較上式兩端的系數(shù)，有1BD,a2D,bBD．所以，得b1．525．計算定積分min1,x2dx．0解：min1,x2x2x211x211x12x1x2．x22x31x355212213所以，min1,x2dx1dx2xdxx2dx．001285．設曲線C的極坐標方程為rasin3，求曲線C的全長．3解：曲線rasin3一周的定義域為03，即03．因此曲線C的全長為3322d333a．srra2sin6a2sin4cos2dasin2d00333032

二．（本題滿分 45分，共有5道小題，每道小題 9分），

6fxlimsinx．求出函數(shù)12x2n的所有間斷點，并指出這些間斷點的類型．n解：sinxx121sinxx1fx22lim2n11．n12xx220x12因此x111是函數(shù)fx與x22的間斷點．2limfxlim00，limfxlimsinx1，因此x1是函數(shù)fx的第一類可x1x1x112222x2去型間斷點．limfxlimsinx1，limfxlim01是函數(shù)fx的第一類可去型0，因此xx1x1x1x122222間斷點．7．設是函數(shù)fxarcsinx在區(qū)間0,b上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求極限lim．b0b解：fxarcsinx在區(qū)間0,b上應用Lagrange中值定理，知存在0,b，使得arcsinbarcsin01b0．12b2所以，21．因此，arcsinbb2212b2limarcsinblimarcsinb2limb2b2arcsinb2b0bb0b0

令tarcsinb，則有

lim2t2sin2tt2sin2t2lim2sin2tlimt4b0bt0tt0lim2tsin2tlim22cos2t11cos2t1lim2sin2t14t312t2limt22t3t0t06t06t0所以，lim1．b0b31x18．設fxey2ydy，求fxdx．00解：111fxdxxfxxfxdx0001x在方程fxey2ydy中，令x1，得0110f1ey2ydyey2ydy0．001xx2再在方程fxey2ydy兩端對x求導，得fxe1，01111因此，fxdxxfxxfxdxxfxdx0000111ex211e1．xe1x2dxexex2dxe002029．研究方程exax2a0在區(qū)間,內(nèi)實根的個數(shù)．解：設函數(shù)fxax2ex1，fx2axexax2exax2xex．令fx0，得函數(shù)fx的駐點x10,x22．由于a0，所以limfxlimax2ex1，xx

limfxlim2xalimx21alim2x1alim211．a(chǎn)xe1xxxxxxexexe因此，得函數(shù)fx的性態(tài)x,000,222,fx00fx14ae211⑴若4ae210，即ae2時，函數(shù)fxax2ex1在,0、0,2、2,內(nèi)4各有一個零點，即方程exax2在,內(nèi)有3個實根．⑵若4ae210，即ae2時，函數(shù)fxax2ex1在,0、0,內(nèi)各有一個零4點，即方程exax2在,內(nèi)有2個實根．⑶若4ae210，即ae2時，函數(shù)fxax2ex1在,0有一個零點，即方程4exax2在,內(nèi)有1個實根．

．設函數(shù)fx可導，且滿足

f x xf x 1，f0 0．

試求函數(shù) fx的極值．

解：在方程fxxfx1中令tx，得fttft1，即fxxfx1．fxxfxxfx，得在方程組xfx中消去xfxfxxx2．1x2

x

積分，注意 f0 0，得f x f0

0

2

t t1 t2dt．即

xt2dt1ln1fxtxx2arctanx．01t22由fxxx2fx的駐點x10,x21．而fx12xx21x2得函數(shù)1x22．所以，f010，f110．21ln2所以，f00是函數(shù)fx極小值；f11是函數(shù)fx極大值．24三．應用題與證明題（本題滿分20分，共有2道小題，每道小題10分），

11 ．求曲線 y x的一條切線，使得該曲線與切線 l及直線x 0和x 2所圍成的圖形繞 x軸旋

轉的旋轉體的體積為最?。?/p>

解：

設切點坐標為t,t1，可知曲線yx在t,t處的切線方程為，由y2tyt11xt．xt，或y2t2t

因此所求旋轉體的體積為

2

V

0

1282xtxdx42t2t43t所以，dV820．得駐點t2，舍去t2．由于dt43t233d2V160，因而函數(shù)V在t2dt243t2處達到極小值，而且也是最小值．因此所求切t2t2333線方程為y31．x2412．設函數(shù)fx在閉區(qū)間0，1上連續(xù)，在開區(qū)間0，1內(nèi)可導，且

2efxarctanxdx1，f10．02證明：至少存在一點0，1，使得f1．12arctan解：因為fx在閉區(qū)間0,1上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在0,2，使得

2

efxarctanxdx2efarctan．02由于efxarctanxdx1，所以，2efarctan1．再由f10，得022efarctanef1arctan1．4作函數(shù)gx