PAGE83不定積分例題及答案理工類吳贛昌第4章不定積分內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容不定積分不定積分的概念設(shè)，，若存在函數(shù)，使得對任意均有或，則稱為的一個原函數(shù)。的全部原函數(shù)稱為在區(qū)間上的不定積分，記為注：（1）若連續(xù)，則必可積；（2）若均為的原函數(shù)，則。故不定積分的表達(dá)式不唯一。性質(zhì)性質(zhì)1：或；性質(zhì)2：或；性質(zhì)3：，為非零常數(shù)。計(jì)算方法第一換元積分法（湊微分法）設(shè)的原函數(shù)為，可導(dǎo)，則有換元公式：第二類換元積分法設(shè)單調(diào)、可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零，有原函數(shù)，則分部積分法有理函數(shù)積分若有理函數(shù)為假分式，則先將其變?yōu)槎囗?xiàng)式和真分式的和；對真分式的處理按情況確定。本章的地位與作用在下一章定積分中由微積分基本公式可知求定積分的問題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問題；后繼課程無論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都?xì)w結(jié)為對定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。從這種意義上講，不定積分在整個積分學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問題會不會求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對這一章掌握的好壞。這一點(diǎn)隨著學(xué)習(xí)的深入，同學(xué)們會慢慢體會到！課后習(xí)題全解習(xí)題4-11.求下列不定積分：知識點(diǎn)：直接積分法的練習(xí)——求不定積分的基本方法。思路分析：利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式，直接求出不定積分！★(1)思路:被積函數(shù)，由積分表中的公式（2）可解。解：★(2)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：★(3)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：★(4)思路:根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。解：★★(5)思路:觀察到后，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。解：★★(6)思路:注意到，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。解：注：容易看出(5)(6)兩題的解題思路是一致的。一般地，如果被積函數(shù)為一個有理的假分式，通常先將其分解為一個整式加上或減去一個真分式的形式，再分項(xiàng)積分?！?7)思路:分項(xiàng)積分。解：★(8)思路:分項(xiàng)積分。解：★★(9)思路:？看到，直接積分。解：★★(10)思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)積分。解：★(11)解：★★(12)思路:初中數(shù)學(xué)中有同底數(shù)冪的乘法：指數(shù)不變，底數(shù)相乘。顯然。解：★★(13)思路:應(yīng)用三角恒等式“”。解：★★(14)思路:被積函數(shù)，積分沒困難。解：★★(15)思路:若被積函數(shù)為弦函數(shù)的偶次方時，一般地先降冪，再積分。解：★★(16)思路:應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。解：★(17)思路:不難，關(guān)鍵知道“”。解：★(18)思路:同上題方法，應(yīng)用“”，分項(xiàng)積分。解：★★(19)思路:注意到被積函數(shù)，應(yīng)用公式(5)即可。解：★★(20)思路:注意到被積函數(shù)，則積分易得。解：★2、設(shè)，求。知識點(diǎn)：考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：直接利用不定積分的性質(zhì)1：即可。解：等式兩邊對求導(dǎo)數(shù)得：★3、設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，求的原函數(shù)全體。知識點(diǎn)：仍為考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：連續(xù)兩次求不定積分即可。解：由題意可知，所以的原函數(shù)全體為：?！?、證明函數(shù)和都是的原函數(shù)知識點(diǎn)：考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：只需驗(yàn)證即可。解：，而★5、一曲線通過點(diǎn)，且在任意點(diǎn)處的切線的斜率都等于該點(diǎn)的橫坐標(biāo)的倒數(shù)，求此曲線的方程。知識點(diǎn)：屬于第12章最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。解：設(shè)曲線方程為，由題意可知：，；又點(diǎn)在曲線上，適合方程，有，所以曲線的方程為★★6、一物體由靜止開始運(yùn)動，經(jīng)秒后的速度是，問：在秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？物體走完米需要多少時間？知識點(diǎn)：屬于最簡單的一階線性微分方程的初值問題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。思路分析：求得物體的位移方程的一般式，然后將條件帶入方程即可。解：設(shè)物體的位移方程為：，則由速度和位移的關(guān)系可得：，又因?yàn)槲矬w是由靜止開始運(yùn)動的，。(1)秒后物體離開出發(fā)點(diǎn)的距離為:米；(2)令秒。習(xí)題4-2★1、填空是下列等式成立。知識點(diǎn)：練習(xí)簡單的湊微分。思路分析：根據(jù)微分運(yùn)算湊齊系數(shù)即可。解：2、求下列不定積分。知識點(diǎn)：（湊微分）第一換元積分法的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要湊微分。直白的講，湊微分其實(shí)就是看看積分表達(dá)式中，有沒有成塊的形式作為一個整體變量，這種能夠馬上觀察出來的功夫來自對微積分基本公式的熟練掌握。此外第二類換元法中的倒代換法對特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介紹！★（1）思路:湊微分。解：★(2)思路:湊微分。解：★(3)思路:湊微分。解：★(4)思路:湊微分。解：★(5)思路:湊微分。解：★★(6)思路:如果你能看到，湊出易解。解：★(7)思路:湊微分。解：★★(8)思路:連續(xù)三次應(yīng)用公式(3)湊微分即可。解：★★(9)思路:本題關(guān)鍵是能夠看到是什么，是什么呢？就是！這有一定難度！解：★★(10)思路:湊微分。解：方法一：倍角公式。方法二：將被積函數(shù)湊出的函數(shù)和的導(dǎo)數(shù)。方法三：三角公式，然后湊微分?！铩?11)思路:湊微分：。解：★(12)思路:湊微分。解：★★(13)思路:由湊微分易解。解：★★(14)思路:湊微分。解：★★(15)思路:湊微分。解：★(16)思路:湊微分。解：★★(17)思路:經(jīng)過兩步湊微分即可。解：★★(18)思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。解：★★(19)思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。解：★(20)思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。解：★(21)思路:分項(xiàng)后分別湊微分即可。解：★★(22)思路:裂項(xiàng)分項(xiàng)后分別湊微分即可。解：★(23)思路:湊微分。。解：★★(24)思路:降冪后分項(xiàng)湊微分。解：★★★(25)思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。解：★★★(26)思路:積化和差后分項(xiàng)湊微分。解：★★★(27)思路:湊微分。解：★★(28)思路:湊微分。解：★★(29)思路:湊微分。解：★★★★(30)思路:湊微分。解：★★★★(31)思路:被積函數(shù)中間變量為，故須在微分中湊出，即被積函數(shù)中湊出，解：★★★★(32)思路:解：★★★★(33)解：方法一：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時除以，則湊微分易得。方法二：思路:分項(xiàng)后湊微分方法三：思路:將被積函數(shù)的分子分母同時乘以，裂項(xiàng)后湊微分?！铩铩铩?34)解：方法一:思路：分項(xiàng)后湊積分。方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。令，則?！铩铩铩?35)解：方法一:思路：分項(xiàng)后湊積分。方法二：思路:利用第二類換元法的倒代換。令，則。3、求下列不定積分。知識點(diǎn)：（真正的換元，主要是三角換元）第二種換元積分法的練習(xí)。思路分析：題目特征是被積函數(shù)中有二次根式，如何化無理式為有理式？三角函數(shù)中，下列二恒等式起到了重要的作用。為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。不妨將角的范圍統(tǒng)統(tǒng)限制在銳角范圍內(nèi)，得出新變量的表達(dá)式，再形式化地?fù)Q回原變量即可。★★★(1)思路:令，先進(jìn)行三角換元，分項(xiàng)后，再用三角函數(shù)的升降冪公式。解：令，則。（或）（萬能公式，又時，）★★★(2)思路:令，三角換元。解：令，則。（時，）★★★(3)思路:令，三角換元。解：令，則。★★★(4)思路:令，三角換元。解：令，則。★★★★(5)思路:先令，進(jìn)行第一次換元；然后令，進(jìn)行第二次換元。解：，令得：，令，則，（與課本后答案不同）★★★(6)思路:三角換元，關(guān)鍵配方要正確。解：，令，則。★★4、求一個函數(shù),滿足，且。思路:求出的不定積分，由條件確定出常數(shù)的值即可。解：令，又，可知，★★★5、設(shè)，求證：，并求。思路:由目標(biāo)式子可以看出應(yīng)將被積函數(shù)分開成，進(jìn)而寫成：，分項(xiàng)積分即可。證明：習(xí)題4-3求下列不定積分：知識點(diǎn)：基本的分部積分法的練習(xí)。思路分析：嚴(yán)格按照“‘反、對、冪、三、指’順序，越靠后的越優(yōu)先納入到微分號下湊微分?！钡脑瓌t進(jìn)行分部積分的練習(xí)?！铮?）思路:被積函數(shù)的形式看作，按照“反、對、冪、三、指”順序，冪函數(shù)優(yōu)先納入到微分號下，湊微分后仍為。解：★★（2）思路：同上題。解：★（3）思路：同上題。解：★★(4)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(5)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★(6)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(7)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(8)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(9)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(10)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(11)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(12)思路：詳見第(10)小題解答中間，解答略?！铩?13)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(14)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(15)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(16)思路：將積分表達(dá)式寫成，將看作一個整體變量積分即可。解：★★★(17)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(18)思路：先將降冪得，然后分項(xiàng)積分；第二個積分嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★(19)思路：分項(xiàng)后對第一個積分分部積分。解：★★★(20)思路：首先換元，后分部積分。解：令，則★★★(21)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★★★(22)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：方法一：方法二：★★★(23)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：令，則所以原積分?！铩铩?24)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：注：該題中的其他計(jì)算方法可參照習(xí)題4-2，2（33）?！铩铩?25)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：注：該題也可以化為再利用分部積分法計(jì)算。★★★(26)思路：將被積表達(dá)式寫成，然后分部積分即可。解：用列表法求下列不定積分。知識點(diǎn)：仍是分部積分法的練習(xí)。思路分析：審題看看是否需要分項(xiàng)，是否需要分部積分，是否需要湊微分。按照各種方法完成。我們?nèi)匀挥靡话惴椒ń獬?，不用列表法。?1)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★(2)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：?！?3)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★(4)思路：分項(xiàng)后分部積分即可。解：★(5)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★(6)思路：嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分即可。解：★3、已知是的原函數(shù)，求。知識點(diǎn)：考察原函數(shù)的定義及分部積分法的練習(xí)。思路分析：積分中出現(xiàn)了，應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分，條件告訴你是的原函數(shù)，應(yīng)該知道解：又★★4、已知，求。知識點(diǎn)：仍然是分部積分法的練習(xí)。思路分析：積分中出現(xiàn)了)，應(yīng)馬上知道積分應(yīng)使用分部積分。解：又★★★★5、設(shè)，；證明：。知識點(diǎn)：仍然是分部積分法的練習(xí)。思路分析：要證明的目標(biāo)表達(dá)式中出現(xiàn)了，和提示我們?nèi)绾卧诒环e函數(shù)的表達(dá)式中變出和呢？這里涉及到三角函數(shù)中的變形應(yīng)用，初等數(shù)學(xué)中有過專門的介紹，這里可變?yōu)?。證明：★★★★6、設(shè)為單調(diào)連續(xù)函數(shù)，為其反函數(shù)，且，求：。知識點(diǎn)：本題考察了一對互為反函數(shù)的函數(shù)間的關(guān)系，還有就是分部積分法的練習(xí)。思路分析：要明白這一恒等式，在分部積分過程中適時替換。解：又又習(xí)題4-4求下列不定積分知識點(diǎn)：有理函數(shù)積分法的練習(xí)。思路分析：被積函數(shù)為有理函數(shù)的形式時，要區(qū)分被積函數(shù)為有理真分式還是有理假分式，若是假分式，通常將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后再具體問題具體分析?！?1)思路：被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后分項(xiàng)積分。解：★★★(2)思路：被積函數(shù)為假分式，先將被積函數(shù)分解為一個整式加上一個真分式的形式，然后分項(xiàng)積分。解：而令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解此方程組得：★★★(3)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：，令等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解此方程組得：★★★(4)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：，解此方程組得：?！铩铩?5)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：，令等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解此方程組得：。★★★(6)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：；令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解此方程組得：★★★(7)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解此方程組得：而★★★(8)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：又由分部積分法可知：★★★(9)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解之得：而★★★(10)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：；解之得：。★★★(11)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解之得：★★★(12)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：，解之得：★★★★★(13)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解之得：注：由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可證本題的另一種解法：注：由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)可證?！铩铩铩铩?14)思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)后分項(xiàng)積分。解：又注：本題再推到過程中用到如下性質(zhì)：（本性質(zhì)可由分部積分法導(dǎo)出。）若記，其中為正整數(shù)，，則必有：。求下列不定積分知識點(diǎn)：三角有理函數(shù)積分和簡單的無理函數(shù)積分法的練習(xí)。思路分析：求這兩種積分的基本思路都是通過適當(dāng)?shù)淖儞Q化為有理函數(shù)積分去完成。★★(1)思路：分子分母同除以變?yōu)楹鬁愇⒎?。解：★?2)思路：萬能代換！解：令，則注：另一種解法是：★★(3)思路：萬能代換！解：令，則★★(4)思路：利用變換！（萬能代換也可，但較繁！）解：令，則★★(5)思路：萬能代換！解：令，則★★(6)思路：萬能代換！解：令，則而★★★★(7)思路一：萬能代換！解：令，則而，令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解之得：思路二：利用代換！解：令，則令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解之得:注：比較上述兩解法可以看出應(yīng)用萬能代換對某些題目可能并不簡單！★★★★(8)思路：將被積函數(shù)分項(xiàng)得，對兩個不定積分分別利用代換和萬能代換！解：對積分，令，則令，等式右邊通分后比較兩邊分子的同次項(xiàng)的系數(shù)得：解之得：對積分，令★★(9)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令則★★(10)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令★★(11)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令★★★(12)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令★★★(13)思路：變無理式為有理式，三角換元。解：令★★★(14)思路：將被積函數(shù)變形為后，三角換元。解：令則；注：另一種解法，分項(xiàng)后湊微分?！铩铩?15)思路：換元。解：令，則總習(xí)題四★1、設(shè)的一個原函數(shù)是，則(A)(B)-2(C)-4(D)4知識點(diǎn)：原函數(shù)的定義考察。思路分析：略。解：(B)。★2、設(shè)，則。知識點(diǎn)：原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。思路分析：對條件兩邊求導(dǎo)數(shù)后解出后代入到要求的表達(dá)式中，積分即可。解：對式子兩邊求導(dǎo)數(shù)得：★★3、設(shè)，且，求。知識點(diǎn)：函數(shù)的定義考察。思路分析：求出后解得，積分即可。解：又★★★4、設(shè)為的原函數(shù)，當(dāng)時，有，且，試求。知識點(diǎn)：原函數(shù)的定義性質(zhì)考察。思路分析：注意到，先求出，再求即可。解：即又又又。5、求下列不定積分。知識點(diǎn)：求不定積分的綜合考察。思路分析：具體問題具體分析?！铩?1)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令，則★(2)思路：變無理式為有理式，變量替換。解：令，則?！铩铩?3)思路：將被積函數(shù)變?yōu)楹髶Q元或湊微分。解：令，則?！铩?4)思路：湊微分。解：

★★(5)思路：將被積函數(shù)進(jìn)行配方后換元或先湊微分再換元。解：方法一：令，則方法二：令再令，則★★★(6)思路：倒代換！解：令，則★★★★(7)思路：大凡被積函數(shù)的分子分母皆為同一個角的正余弦函數(shù)的線性組合的形式的積分，一般思路是將被積函數(shù)的分子寫成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式，然后分項(xiàng)分別積分即可。解：★★★★(8)思路：分項(xiàng)積分后對前一積分采用分部積分，后一積分不動。解：★★★★6、求不定積分：知識點(diǎn)：分部積分法考察兼顧湊微分的靈活性。思路分析：分項(xiàng)后，第二個積分顯然可湊現(xiàn)成的微分，分部積分第二個積分，第一個積分不動，合并同種積分，出現(xiàn)循環(huán)后解出加一個任意常數(shù)即可。解：而★★★★7、設(shè)，求證：，并求。知識點(diǎn)：分部積分法考察，三角恒等式的應(yīng)用，湊微分等。思路分析：由要證明的目標(biāo)式子可知，應(yīng)將分解成，進(jìn)而寫成，分部積分后即可得到。證明：?！铩铩?、思路：化無理式為有理式，三交換元。解：令，則?！铩铩?、設(shè)不定積分，若，則有。思路：，提示我們將被積函數(shù)的分子分母同乘以后再積分。解：又選。10、求下列不定積分:知識點(diǎn)：求無理函數(shù)的不定積分的綜合考察。思路分析：基本思路——將被積函數(shù)化為有理式?！铩铩铩?1)、思路：先進(jìn)行倒代換，在進(jìn)行三角換元。解：令，則。令，則。★★★(2)、思路：進(jìn)行三角換元，化無理式為有理式。解：令，則注：★★★(3)、思路：進(jìn)行三角換元，化無理式為有理式。解：令，則★★★★★(4)、思路：進(jìn)行三角換元，化無理式為有理式。解：令，則★★★(5)、思路：進(jìn)行三角換元，化無理式為有理式。解：令，則11、求下列不定積分:知識點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路——嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分?！铩铩?1)、思路：分部積分。解：★★(2)、思路：分部積分。解：?！铩铩铩?3)、思路：分部積分。解：★★★(4)、思路：分項(xiàng)后分部積分。解：★★★★(5)、思路：分部積分后倒代換。解：對于積分應(yīng)用倒代換，令，則，★★★(6)、思路：將被積函數(shù)變形后分部積分。解：。★★★12、求不定積分:為自然數(shù)。知識點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路——嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分，推一個遞推關(guān)系式。解：★★★13、求不定積分:知識點(diǎn)：較復(fù)雜的分部積分法的考察。思路分析：基本思路——嚴(yán)格按照“反、對、冪、三、指”順序湊微分，分項(xiàng)后分別積分。解：14、求下列不定積分:知識點(diǎn)：求解較復(fù)雜的有理函數(shù)和無理函數(shù)的不定積分。思路分析：基本思路——有理式分項(xiàng)、無理式化為有理式?！铩铩铩?1)、思路：將被積函數(shù)化為一個整式加上一個真分式的形式，然后積分。解：★★★★(2)、思路：將被積函數(shù)化為一個整式加上一個真分式的形式，然后積分。解：對采用倒代換，令，則。而★★★★(3)、思路：將被積函數(shù)分項(xiàng)后分部積分。解：★★★(4)、思路：將被積函數(shù)裂項(xiàng)分項(xiàng)后積分。解：★★★★(5)、思路：將被積函數(shù)分項(xiàng)后積分。解：令，等式右邊通分后比較等式兩邊分子上的同次冪項(xiàng)的系數(shù)得：；解之得：★★★(6)、思路:化無理式為有理式，第二類換元法。該題中欲同時去掉，，應(yīng)令。解：令，則★★★★(7)、思路:分母有理化，換元。解：對于積分，令，則對于積分，令，則★★★★★(8)、思路：換元倒代換。解：令，則（解題過程中涉及到開方，不妨設(shè)，若小于零，不影響最后結(jié)果的形式。也就是：不論正負(fù)，結(jié)果都一樣。）★★★(9)、解答詳見習(xí)題4-4第2題的（15）題。★★★★★(10)、思路:“一路”換元。解：令，則令則15、求下列不定積分:知識點(diǎn)：求解較復(fù)雜的三角函數(shù)有理式的不定積分。思路分析：基本思路——三角代換等，具體問題具體分析?！铩铩?1)、思路:萬能代換。解：令，則★★★(2)、思路:萬能代換。解：令，則★★★★★(3)、思路:將被積函數(shù)的分子1變換一下，。解：★★★★★(4)、思路:注意到，而，此題易解。解：★★★★★(5)、思路:將被積函數(shù)積化和差。解：注：另一種解法是：★★★★★(6)、思路:注意到被積函數(shù)的分子，分母，易解。解：★★★★★(7)、、思路:萬能代換。解：令，則，代入得：★★★★★(8)、思路:非常典型的解題思路將被積函數(shù)的分子表示成分母和分母的導(dǎo)數(shù)的線性組合的形式。解：★★★★16、求知識點(diǎn)：被積函數(shù)表現(xiàn)為一個分段函數(shù)，則不定積分也表現(xiàn)為一個分段函數(shù)。思路分析：基本思路——討論。解：當(dāng)時，；而當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，由的連續(xù)性可知：設(shè)★★★★17、設(shè)求思路:變量替換。解：令，則?！铩铩铩?8、設(shè)定義在上，,又在連續(xù)，為的第一類間斷點(diǎn)，問在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？知識點(diǎn)：考察