山東省濰坊市2022屆高三下學(xué)期三模統(tǒng)考（5月）數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，，若，，則一定有（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，其中i是虛數(shù)單位，則的虛部為（

）A． B．1 C．0 D．23．某省新高考改革方案推行“”模式，要求學(xué)生在語(yǔ)數(shù)外3門全國(guó)統(tǒng)考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再?gòu)幕瘜W(xué)、生物、地理、思想政治4門科目中任選2門．某學(xué)生各門功課均比較優(yōu)異，因此決定按方案要求任意選擇，則該生選考物理、生物和政治這3門科目的概率為（

）A． B． C． D．4．已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，，，，，則，，三點(diǎn)共線的充要條件是（

）A． B． C． D．5．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中給出了很多立體幾何的結(jié)論，其中提到的多面體“鱉臑”是四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．若一個(gè)“鱉臑”的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，且該“鱉臑”的高為，底面是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形．則球的表面積為（

）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，若，，，則（

）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左，右頂點(diǎn)分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，直線交的右支于點(diǎn)，若△是等腰三角形，且的內(nèi)角平分線與軸平行，則的離心率為（

）A．2 B． C． D．8．過(guò)點(diǎn)有條直線與函數(shù)的圖像相切，當(dāng)取最大值時(shí)，的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列 B．對(duì)任意正整數(shù)，C．?dāng)?shù)列一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列一定是等比數(shù)列10．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，函數(shù)，若函數(shù)為奇函數(shù)，則的值可以為（

）A． B． C． D．11．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．或 B．C． D．若且，則12．定義平面向量的一種運(yùn)算“”如下：對(duì)任意的兩個(gè)向量，，令，下面說(shuō)法一定正確的是（

）A．對(duì)任意的，有B．存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立C．若與垂直，則與共線D．若與共線，則與的模相等三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為了解某社區(qū)居民的2019年家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x（萬(wàn)元）8.2支出y（萬(wàn)元）t根據(jù)上表可得回歸直線方程，則t＝_______．14．已知是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作兩條互相垂直的直線，，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且的最小值是64，則拋物線的方程為______．15．已知函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到．若對(duì)于任意的，總存在，使得，則的最小值為______．16．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，空間一動(dòng)點(diǎn)滿足，且，則______，點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形的面積為______．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在①數(shù)列為等差數(shù)列，且，，②，，③正項(xiàng)數(shù)列滿足這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．問(wèn)題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且______？(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求角的大??；(2)若，，的平分線交邊于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．19．盲盒，是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的玩具盒子，具有隨機(jī)性．因其獨(dú)有的新鮮性，刺激性及社交屬性而深受各個(gè)年齡段人們的喜愛(ài)．已知系列盲盒共有12個(gè)款式，為調(diào)查系列盲盒更受哪個(gè)年齡段的喜愛(ài)，向00前、00后人群各隨機(jī)發(fā)放了50份問(wèn)卷，并全部收回．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有45%的人未購(gòu)買該系列育盒，在這些未購(gòu)買者當(dāng)中，00后占．(1)請(qǐng)根據(jù)以上信息填表，并分析是否有99%的把握認(rèn)為購(gòu)買該系列盲盒與年齡有關(guān)？00前00后總計(jì)購(gòu)買未購(gòu)買總計(jì)100附：，(2)一批盲盒中，每個(gè)盲盒隨機(jī)裝有一個(gè)款式，甲同學(xué)已經(jīng)買到3個(gè)不同款，乙、丙同學(xué)分別已經(jīng)買到個(gè)不同款，已知三個(gè)同學(xué)各自新購(gòu)買一個(gè)盲盒，且相互之間無(wú)影響，他們同時(shí)買到各自的不同款的概率為．①求；②設(shè)表示三個(gè)同學(xué)中各買到自己不同款的總?cè)藬?shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．如圖所示，已知平行六面體中，側(cè)面底面，，，，為線段的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)已知二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值．21．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，定點(diǎn)，是圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；(2)若直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與直線相切，求△面積的最大值．22．已知函數(shù)．(1)當(dāng)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；(2)若，且函數(shù)的零點(diǎn)為，證明：導(dǎo)函數(shù)存在極小值點(diǎn)，記為，且．參考答案：1．D【解析】【分析】分別分析每個(gè)選項(xiàng)，舉出反例以否定錯(cuò)誤選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)集合時(shí)，，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)集合時(shí)，，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)集合時(shí)，，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)?，，且，所以，故此選項(xiàng)正確.故選：D.2．B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，寫出，即可得解.【詳解】，，，即的虛部為1.故選：B3．D【解析】【分析】應(yīng)用組合數(shù)公式求任選情況下的所有組合數(shù)，再由古典概型的概率求法求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，該生選考物理、生物和政治這3門科目的概率.故選：D4．C【解析】【分析】利用向量共線的充要條件有且，即可得答案.【詳解】由，，三點(diǎn)共線的充要條件是且，所以，故.故選：C5．A【解析】【分析】作出圖形，設(shè)在三棱錐中，平面，且，，證明出該三棱錐的四個(gè)面均為直角三角形，求出該三棱錐的外接球半徑，結(jié)合球體表面積公式可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示：在三棱錐中，平面，且，，因?yàn)槠矫?，、、平面，則，，，，，平面，平面，，所以，三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形，且，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，所以，點(diǎn)為三棱錐的外接球球心，設(shè)球的半徑為，則，因此，球的表面積為.故選：A.6．D【解析】【分析】由分析知，為偶函數(shù)且為其一條對(duì)稱軸，易得，，，，即可得出答案.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)且為其一條對(duì)稱軸，故，顯然，故.因?yàn)?，，，所以，所?故選：D.7．B【解析】【分析】由題設(shè)可得，，，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求，，再由已知條件知，應(yīng)用二倍角正切公式求得，結(jié)合構(gòu)造齊次方程，即可求離心率.【詳解】聯(lián)立且在第一象限，可得，而，，所以，，由題設(shè)，，故△是等腰直角三角形，所以，而的內(nèi)角平分線與軸平行，所以，又，可得，則，可得，所以.故選：B8．B【解析】【分析】求導(dǎo)分析的圖象可得，再設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由題可得有三根，再構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)分析圖象單調(diào)性與最值即可【詳解】由，，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，結(jié)合圖象易得，過(guò)點(diǎn)至多有3條直線與函數(shù)的圖像相切，故.此時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率，所以切線方程為，將代入得，存在三條切線即函數(shù)有三個(gè)不同的根，又，易得在上，，單調(diào)遞增；在和上，，單調(diào)遞減，畫出圖象可得當(dāng)，即時(shí)符合題意故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)解決切線的問(wèn)題，同時(shí)也考查了構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性，進(jìn)而確定根的個(gè)數(shù)與參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，屬于難題9．ABC【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，設(shè)等比數(shù)列的公比為，求出，利用等差數(shù)列的定義可判斷AC選項(xiàng)；利用基本不等式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)可判斷C選項(xiàng)；取可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，.對(duì)于A選項(xiàng)，，所以，為等差數(shù)列，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，對(duì)任意的，，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，由基本不等式可得，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，令，所以，，故數(shù)列一定是等差數(shù)列，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列不是等比數(shù)列，D錯(cuò).故選：ABC.10．BD【解析】【分析】首先可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，從而得到關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱為奇函數(shù)，依題意只需使為偶函數(shù)即可，從而求出的取值，即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，要使為奇函數(shù)，因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，所以只需使為偶函數(shù)即可，所以，故符合題意的有B、D；故選：BD11．BC【解析】【分析】利用函數(shù)圖像可求出的值，可判斷A的正誤；求出后得出的解析式，化簡(jiǎn)可判斷B的正誤；代入求值，可判斷C的正誤；由可求出的范圍，進(jìn)而可判斷D的正誤.【詳解】由函數(shù)圖像可知，函數(shù)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以，或，，因?yàn)楹瘮?shù)圖像在單調(diào)遞增區(qū)間內(nèi)，故舍去，又因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；此時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)，代入，得，解得，，因?yàn)?，所以，所以，所以，故B正確；因?yàn)?，故C正確；因?yàn)椋?，解得，，因?yàn)?，所以，所以，，故D錯(cuò)誤；故選：BC.12．AD【解析】【分析】由表示出和，即可判斷A；假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即方程組，對(duì)任意恒成立，解方程可判斷B；若與垂直，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷C；若與共線，則，設(shè)，分別表示出與即可判斷D.【詳解】設(shè)向量，，對(duì)于A，對(duì)任意的，有，故A正確；對(duì)于B，假設(shè)存在唯一確定的向量使得對(duì)于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程組，對(duì)任意恒成立，而此方程組無(wú)解，故B不正確；對(duì)于C，若與垂直，則，設(shè)，則，，其中，故C不正確；對(duì)于D，若與共線，則，設(shè)，，，所以與的模相等，故D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題在平面向量的基礎(chǔ)上，加以創(chuàng)新，屬于創(chuàng)新題，考查平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.【解析】根據(jù)線性回歸直線過(guò)中心點(diǎn)，分別求出收入和支出的平均數(shù)，代入即可得解.【詳解】分別求出收入和支出的平均數(shù)，可得：，，代入可得：，解得：，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性回歸直線方程，考查了線性回歸直線過(guò)中心點(diǎn)的性質(zhì)，易錯(cuò)點(diǎn)為直接代統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，計(jì)算量不大，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】【分析】依題意設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角，根據(jù)焦點(diǎn)弦公式得到，，再根據(jù)二倍角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最小值，即可求出，從而得解；【詳解】解：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角，根據(jù)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得，，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最小值，所以，所以，所以拋物線方程為故答案為：15．【解析】【分析】求出，則，，因?yàn)閷?duì)于任意的，總存在，使得，所以的取值范圍應(yīng)包含，為使取最小值，只需函數(shù)在上單調(diào)且值域?yàn)榧纯?【詳解】函數(shù)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)閷?duì)于任意的，總存在，使得，所以的取值范圍應(yīng)包含，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)，為使取最小值，只需函數(shù)在上單調(diào)且值域?yàn)榧纯?由可得，因此的最小值為.故答案為：.16．

【解析】【分析】利用，轉(zhuǎn)化為求的正切值；先確定點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形為圓，在用面積公式計(jì)算.【詳解】.由正方體知平面，又點(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，如圖，連接，交于點(diǎn)，連接，，由對(duì)稱性，，所以，解得所以所以點(diǎn)的軌跡圍成的封閉圖形是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，所以面積.故答案為：；.17．(1)①；②；③(2)【解析】【分析】（1）若選①，代入計(jì)算，進(jìn)而得到公差與通項(xiàng)公式即可；若選②，根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可得遞推公式，進(jìn)而根據(jù)常數(shù)列求解即可；若選③，根據(jù)通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系可得遞推公式，再結(jié)合正項(xiàng)數(shù)列因式分解求得進(jìn)而得到通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)（1）可得為公差是2的等差數(shù)列，再分組求和即可(1)若選①，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，令，則，所以公差，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為若選②，當(dāng)時(shí)，，，因此，即，所以為常數(shù)列，因此，所以若選③，當(dāng)時(shí)，，即，又因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，有，，所以，即.又因?yàn)?，所以，所以為公差?的等差數(shù)列，所以(2)若選①，由（1）可知，若選②，由（1）可知，若選③，由（1）可知，18．(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理及化簡(jiǎn)得到，利用輔助角公式得到，由得到；（2）由向量的數(shù)量積運(yùn)算法則和余弦定理求出或，利用三角恒等變換和正弦定理進(jìn)行求解，得到正確答案.(1)，，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，，解得?(2)由（1）知：，所以，即，解得：，由余弦定理得：，所以，解得：，解得：或當(dāng)?shù)茫?，則，所以，在三角形ABT中，由正弦定理得：，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，同理可得：；綜上：19．(1)有99%的把握認(rèn)為購(gòu)買該系列盲盒與年齡有關(guān)(2)①4；②見解析【解析】【分析】（1）列出列聯(lián)表，計(jì)算出然后判斷.（2）①利用概率的乘法公式計(jì)算；②分析的取值后，由概率的加法公式和乘法公式計(jì)算，得到分布列，然后計(jì)算期望.(1)由題意可得00前00后總計(jì)購(gòu)買352055未購(gòu)買153045總計(jì)5050100則所以有99%的把握認(rèn)為購(gòu)買該系列盲盒與年齡有關(guān).(2)①由題意三個(gè)同學(xué)同時(shí)買到各自的不同款的概率為，解得或，因?yàn)?，所?②由題的所有可能取值為0，1，2，3；；；其分布列為0123所以數(shù)學(xué)期望.20．(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解線面角即可.(1)連接，交于點(diǎn)，連接由平行六面體知，，且∥所以四邊形為平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?(2)取中點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使得，因?yàn)?，，所以△為正三角形，所以，又因?yàn)?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平?所以.以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，有易知平面的法向量，設(shè)平面的法向量，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所以所以，所?故直線與平面所成角的正弦值為.21．(1)且；(2).【解析】【分析】（1）令，可得線段為直徑的圓心為，利用兩點(diǎn)距離公式及兩圓的內(nèi)切關(guān)系列方程并化簡(jiǎn)，即可得軌跡方程.（2）要使△面積最大只需最大，討論直線斜率，設(shè)直線方程，聯(lián)立的軌跡方程，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式求的最值，進(jìn)而確定三角形面積最大值.(1)令，又在圓內(nèi)，且圓與以線段為直徑的圓內(nèi)切，所以線段為直徑的圓心為，則，整理有，則，所以，又是圓內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，故，故的軌跡方程為且.(2)由題意知：到直線的距離為1，要使△面積最大，只需最大，若直線斜率不存在時(shí)，直線，此時(shí)為或，所以，則△