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2022年12月15日

第一章函數(shù)與極限

一、函數(shù)

1．熟悉一些常用函數(shù)和初等函數(shù)。2．求函數(shù)的自然定義域。

二、極限

1．極限的計(jì)算

（1）擅長恒等化簡和極限的四則運(yùn)算法則（2）常用的計(jì)算辦法（a）常用極限

0lim=∞→na

n，)1(0lim=∞→aann，enfnfn=??

????+∞→)

()(11lim

（∞→)(nf），[]

engngn=+∞

→)

(1

)(1lim（0)(→ng），)

()

(sinlim

nfnfn∞→=1（0)(→nf）。

（b）一些常用的處理辦法(i)分子分母都除以n的最高次冪。例如：

3

562

366742nnnnnn-+++=

3

4311611714

2n

nnn-+++，

3

562346742nnnnnn-+++=

3

4321161171412

n

nnnn-+++

4

3

43252

3n

nnnn++++=

433

21512113

1n

nnn++++(ii)根號(hào)差的消退。

例如：

)(nf－)(ng=

)

()()()(ngnfngnf+-，

3

)

()()(ngnfnh-=

(

)(

)

(

)(

)(

)(

)

(

)(

)

[][]2

35

3

4

3

3

3

2

2

3

3

3

4

5

)()()()

()

()()

()

()

()()

()()(ngnfngngnfngnfngnfngnfnfnh-??

?

??

?

++

++

+

(iii)指數(shù)函數(shù)的極限。

)()(limnvnnu∞

→=[]

)

(lim)(limnvnnnu∞

→∞

→(都存在）)(lim,0)(limnvnunn∞

→∞

→>。

(iv)利用指數(shù)函數(shù)的極限。當(dāng))(limnfn∞

→=1時(shí)，

[]

)

()(limngnnf∞

→=[]

[])(1)(1

)(1

1)(1limngnfnfnnf--∞

→-+=[][])

(1)(1)(1

1)(1limngnfnfnnf--∞→?

?????-+

=[])

(1)(limngnfne

-∞

→

(v)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限可以用洛必達(dá)法則。

)(limnfn∞

→=)(limxfx+∞

→

(vi)利用兩邊夾原理。

把)(nf分離縮小、擴(kuò)大一點(diǎn)點(diǎn)得容易的)(ng、)(nh，)(ng≤)(nf≤)(nh，

使簡單求得Anhngnn==∞

→∞

→)(lim)(lim，則Anfn=∞

→)(lim。（c）當(dāng)nx用遞歸式給出時(shí)

（i）用數(shù)學(xué)歸納法證實(shí){}nx是單調(diào)有界的，從而Axnn=∞→lim存在；

（ii）對nx的遞歸式兩邊取極限得關(guān)于A的方程，再解出A。（d）記得一些等價(jià)關(guān)系當(dāng))(limnfn∞

→=0時(shí)，

)(sinnf～)(nf，)(tannf～)(nf，)(arcsinnf～)(nf，)(arctannf～)(nf

1－)(cosnf～[]2)(2

1nf，[]anf)(1+～[])(nfa，1)(-nfe～)(nf，

[])(1lnnf+～)(nf

（3）函數(shù)極限的計(jì)算

（a）（2）中常用的計(jì)算辦法對函數(shù)的六種極限都仍然適用。（b）假如已知)(xf在x0點(diǎn)延續(xù)，則)(lim0

xfxx→=)(0xf。

（c）記得一些等價(jià)關(guān)系。（lim表示六種極限之一）當(dāng))(limxf=0時(shí)，

)(sinxf～)(xf，)(tanxf～)(xf，)(arcsinxf～)(xf，)(arctanxf～)(xf

1－)(cosxf～[]2)(2

1

xf，[]axf)(1+～[])(xfa，1)(-xfe～)(xf，

[])(1lnxf+～)(xf

（d）（lim表示六種極限之一）當(dāng))(limxf=1時(shí)，

[]

)

()(limxgxf=[][])(1)(1

)(1

1)(1limxgxfxfxf+=[][])

(1)(1)(1

1)(1limxgxfxfxf--?

?????-+

=[])

(1)(limxgxfe

-

（e）利用兩邊夾原理。

把)(xf分離縮小、擴(kuò)大一點(diǎn)點(diǎn)得容易的)(xg、)(xh，

)(xg≤)(xf≤)(xh，

使簡單求得Axhxg==)(lim)(lim，則Axf=)(lim。（f）不定式的極限（lim表示六種極限之一）(i)當(dāng)極限是0

或

∞

∞

型的不定式時(shí)，可用洛必達(dá)法則：)()(lim

xgxf=)

()

(limxgxf''（洛必達(dá)法則可以反復(fù)應(yīng)用，但每次應(yīng)用都要先檢查類型。）(ii)對于0∞型的不定式，先變形，再用洛必達(dá)法則。

)()(limxgxf=)(1)(lim

xfxg=[]'??????')(1)(limxfxg=)(1)

(limxgxf=[]'?

?

?

???')(1)(limxgxf(iii)對于00、∞1、∞0型的不定式。

)()(limxgxf=f(x)g(x)elnlim=)(ln)(limxfxge=g(x)

1)

(ln

limxfe=[]'??

????'

g(x)1)(ln

limxfe

(iv)對于∞－∞型的不定式，先計(jì)算成一個(gè)式子再計(jì)算。（g）假如0)

()

(lim

≠=cxgxf，則0)(lim0)(lim=?=xfxg。2．極限的證實(shí)

（1）證實(shí))(limnfn∞→=A的格式

證·0>?ε，

（打草稿從不等式ε（須要時(shí)將Anf-)(放大一

點(diǎn)點(diǎn)得一個(gè)容易的>)(ngAnf-)(，再從ε））（*）

取)(εNN=。當(dāng)Nn>時(shí)，

（由Nn>正確推出ε?ε，

（打草稿從不等式ε)(xgAxf-)(，再從ε='')()()iii()(0)(0)()ii()(0)(0)()i()(的極值點(diǎn)。不是的左右附近同號(hào)，則

在若的微小值點(diǎn)。是，則的右邊附近，在的左邊附近若在的極大值點(diǎn)。是，則的右邊附近，在的左邊附近若在的某去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。點(diǎn)延續(xù)，在在設(shè)xfxxxfxfxxfxxfxxfxxfxxfxxxxfiiiiiiiiii

用)(ixf''推斷：??

?

??

>''<''='''的微小值點(diǎn)。

是，則假如的極大值點(diǎn)。是，則假如。存在且設(shè))(0)()ii()(0)()i(0)()(xfxxfxfxxfxfxfiiiiii

（c）須要時(shí)求出極值。2．

求最值

（1）普通狀況（a）最值點(diǎn)的范圍

)(xf最值點(diǎn)的范圍：所有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)和)(xf'=0的所有解以及端點(diǎn)。

（b）在[]ba,上求最值的步驟

（i）求出)(xf'不存在的所有點(diǎn)：mxxx,,,21；求出)(xf'=0的所有解：nttt,,,21。

（ii）)}(,),(),(,),(),(),(max{11maxnmtftfxfxfbfaff=

)}(,),(),(,),(),(),(min{11minnmtftfxfxfbfaff=