高考復習資料PAGE1-/NUMPAGES1第七節(jié)解三角形應用舉例【回顧知識點】一、必記5個知識點1．仰角和俯角與目標視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線①________時叫仰角，目標視線在水平視線②________時叫俯角．(如圖所示)2．方位角一般指正北方向線順時針到目標方向線的水平角，如方位角45°，是指③__________________，即東北方向．3．方向角相對于某一正方向的角(如圖)(1)北偏東α：指從正北方向順時針旋轉α到達目標方向．(2)東北方向：指北偏東45°或東偏北45°.(3)其他方向角類似．4．坡角坡面與④________的夾角．(如圖所示)5．坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝eq\f(h,l)＝tanα(i為坡比，α為坡角)．二、必明1個易誤點易混淆方位角與方向角概念：方位角是指北方向與目標方向線按順時針之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角．【小題熱身鍛煉】一、判斷正誤1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(2)若點P在點Q的北偏東44°，則點Q在點P的東偏北46°.()(3)方位角大小的范圍是[0，π)，方向角大小的范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()二、教材改編2．[必修5·P15練習T1改編]從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為()A．α>βB．α＝βC．α＋β＝90°D．α＋β＝180°3．[必修5·P11例1改編]如圖所示，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A，B兩點的距離為()A．50eq\r(2)mB．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)mD.eq\f(25\r(2),2)m三、易錯易混4．一船向正北航行，看見正西方向相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是每小時()A．5海里B．5eq\r(3)海里C．10海里D．10eq\r(3)海里5．若點A在點C的北偏東30°，點B在點C的南偏東60°，且AC＝BC，則點A在點B的________方向上．eq\x(考點一)測量距離問題[自主練透型]1.如圖所示，A，B兩點在一條河的兩岸，測量者在A的同側，且B點不可到達，為了測出AB的距離，在A所在的岸邊選定一點C，可以測出AC的距離m，再借助儀器，測出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，運用正弦定理就可求出AB.若測出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，則A，B兩點間的距離為________m.2．如圖所示，要測量一水塘兩側A，B兩點間的距離，其方法為：先選定適當?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離．即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，則A，B兩點的距離為________m.悟·技法測量問題中距離問題的解法(1)選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題．(2)根據(jù)已知條件，選擇正弦定理或者余弦定理求解.考點二測量高度問題[互動講練型][例1][2021·開封市高三模擬考試]國慶閱兵式上舉行升國旗儀式，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，某同學在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為24.5米，則旗桿的高度約為()A．17米B．22米C．30米D．35米悟·技法求解高度問題應注意的3個問題(1)在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題.[變式練]——(著眼于舉一反三)1．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，在A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.考點三測量角度問題[互動講練型][例2][2021·武漢市武昌區(qū)調(diào)研]如圖一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，以C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔時，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔時，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是()A．6eq\r(2)海里B．6eq\r(3)海里C．8eq\r(2)海里D．8eq\r(3)海里悟·技法求解角度問題應注意(1)明確方位角的含義；(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關鍵、最重要的一步；(3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.[變式練]——(著眼于舉一反三)2．在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45°方向，相距12nmile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75°方向前進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45°＋α方向攔截藍方的小艇．若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角α的正弦值．考點四正(余)弦定理在平面幾何中的應用[互動講練型][例3][2020·江蘇卷]在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°.(1)求sinC的值；(2)在邊BC上取一點D，使得cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，求tan∠DAC的值．悟·技法平面幾何中解三角形問題的求解思路(1)把所提供的平面圖形拆分成若干個三角形，然后在各個三角形內(nèi)利用正弦、余弦定理求解．(2)尋找各個三角形之間的聯(lián)系，交叉使用公共條件，求出結果.[變式練]——(著眼于舉一反三)3．[2021·武昌區(qū)高三年級調(diào)研考試]在△ABC中，已知AB＝eq\f(5\r(6),2)，AC＝7，D是BC邊上的一點，AD＝5，DC＝3.(1)求B；(2)求△ABC的面積．第七節(jié)解三角形應用舉例【回顧知識點】①上方②下方③北偏東45°④水平面【小題熱身鍛煉】1．參考答案：(1)×(2)×(3)×2．題目解析：由已知及仰角、俯角的概念畫出草圖，如圖，則α＝β.參考答案：B3.題目解析：由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(AC,sin∠CBA)，又由題意得∠CBA＝30°，所以AB＝eq\f(ACsin∠ACB,sin∠CBA)＝eq\f(50×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝50eq\r(2)(m)．參考答案：A4．題目解析：如圖所示，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10(海里)，在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，于是這艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/時)．參考答案：C5.題目解析：如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴點A在點B的北偏西15°.參考答案：北偏西15°課堂考點突破考點一1．題目解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，∴AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(60×sin45°,sin60°)＝20eq\r(6)(m)．即A，B兩點間的距離為20eq\r(6)m.參考答案：20eq\r(6)2．題目解析：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200eq\r(7)(m)．即A，B兩點間的距離為200eq\r(7)m.參考答案：200eq\r(7)考點二例1題目解析：如圖所示，依題意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理eq\f(CE,sin∠EAC)＝eq\f(AC,sin∠AEC)，可得AC＝eq\f(24.5,sin30°)×sin45°＝eq\f(49\r(2),2)(米)，∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝eq\f(49\r(2),2)×sin60°＝eq\f(49\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(49\r(6),4)≈30(米)．參考答案：C變式練1．題目解析：由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)(m)．在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．參考答案：100eq\r(6)考點三例2題目解析：過點C向正南方向作一條射線CD，如圖所示．由題意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，所以∠ACB＝110°－65°＝45°.AB＝24×0.5＝12(海里)．在△ABC中，由正弦定理得eq\f(AB,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，即eq\f(12,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(1,2))，所以BC＝6eq\r(2)海里．故選A.參考答案：A變式練2．題目解析：如圖，設紅方偵察艇經(jīng)過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根據(jù)余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14).所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角α的正弦值為eq\f(5\r(3),14).考點四例3題目解析：(1)在△ABC中，因為a＝3，c＝eq\r(2)，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝9＋2－2×3×eq\r(2)cos45°＝5，所以b＝eq\r(5).在△ABC中，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(\r(5),sin45°)＝eq\f(\r(2),sinC)，所以sinC＝eq\f(\r(5),5).(2)在△ADC中，因為cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以∠ADC為鈍角，而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C為銳角．故cosC＝eq\r(1－sin2C)＝eq\f(2\r(5),5)，則tanC＝eq\f(sinC,cosC)＝eq\f(1,2).因為cos∠ADC＝－eq\f(4,5)，所以sin∠ADC＝eq\r(1－cos2∠ADC)＝eq\f(3,5)，tan∠ADC＝eq\f(sin∠ADC,cos∠ADC)＝－eq\f(3,4).從而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－eq\f(tan∠ADC＋tanC,1－tan∠ADC×tanC)＝－eq\f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))×\f(1,2))＝eq\f(2,11).變式練3．題目解析：(1)如圖，在△ADC中，由余弦定理，得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2·AD·DC)＝－eq\f(1,2)，所以∠A