2022屆河南省開封市高級中學（開封市）高三三模數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據補集和并集的概念可求出結果.【詳解】或，，.故選：A2．某生物實驗室有20顆開紫花的豌豆種和25顆開白花的豌豆種，若從這些豌豆種中隨機選取1顆，則這顆種子是開紫花的豌豆種的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據古典概型，即可求種子是開紫花的豌豆種的概率.【詳解】由古典概型知，開紫花的豌豆種概率為．故選：A.3．已知數(shù)列的通項公式為，前n項和為，則（

）A．48 B．63 C．80 D．99【答案】C【分析】由通項公式可證明數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】由知，，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列，所以，故選：C4．已知圓錐的底面半徑為1，其側面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】根據弧長公式可求出結果.【詳解】依題意可知，半圓的弧長為，圓心角的弧度數(shù)為，由弧長公式可得該圓錐的母線長為.故選：C5．已知，，是z的共軛復數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由復數(shù)，則，化簡得到，結合題意列出方程組，即可求解.【詳解】由題意，復數(shù)，則，所以，因為，即，可得，因為，可得，解得.故選：B.6．函數(shù)的部分圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據奇偶性說明CD不正確；根據上的函數(shù)值的符號說明B不正確.【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，故CD不正確；當時，，故B不正確.故選：A7．過拋物線上一點A作x軸的垂線與C交于點P，過點A作y軸的垂線交y軸于點Q，若C的焦點F是PQ的中點，且，則（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】根據題意作圖象，由圖象及條件可得點橫坐標，代入拋物線方程求出A點縱坐標，利用勾股定理列出方程求解.【詳解】如圖，因為是直角三角形斜邊的中點，所以,故，代入可得，在直角三角形中，由勾股定理可得，解得,故選：C8．設，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】由，，可得，得，利用基本不等式即證，反之可以取值舉反例.【詳解】先證充分性成立，，，，，得，則，當且僅當時等號成立，所以“”是“”的充分條件；再證必要性不成立，由，，，即令，，得成立，但，所以“”是“”的不必要條件；綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A.9．在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，則下列向量與不相等的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據向量的加減法法則結合已知條件逐個分析判斷即可【詳解】因為在平面四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，所以，因為，所以,所以A正確，因為，所以，所以B正確，因為，所以，所以C正確，因為，所以D錯誤，故選：D10．已知，，，，則，，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據題意不妨設，利用對數(shù)的運算性質化簡x，利用指數(shù)函數(shù)的單調性求出y的取值范圍，利用指數(shù)冪的運算求出z，進而得出結果.【詳解】由，不妨設，則，，，所以，故選：B11．已知，分別是雙曲線（，）的左、右焦點，P是C的漸近線上一點且位于第一象限，，若圓與相切，則C的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】設與圓相切于點Q，根據，，由O為的中點，得到Q為的中點，再直角三角形的性質得，從而，再根據兩漸近線關于y軸對稱，得到，從而求得求解.【詳解】解：如圖所示：設與圓相切于點Q，則OQ=a,因為，，所以，又O為的中點，則Q為的中點，又直角三角形的性質得，OQ=a則，且，又，所以，又，所以，則，所以，故選：C12．如圖，E是正方形ABCD內一點，且滿足，，在正方形ABCD內隨機投一個點，則該點落在圖中陰影部分的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立如下圖所示的直角坐標系，由向量法得出，進而由幾何概型概率公式得出答案.【詳解】建立如下圖所示的直角坐標系設，，則因為，所以，解得，即該點落在圖中陰影部分的概率為故選：B二、填空題13．已知單位向量，的夾角為，則___________.【答案】【分析】根據給定條件，求出，再結合數(shù)量積的運算法則計算作答.【詳解】因單位向量，的夾角為，則，所以.故答案為：14．在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于直線，則___________.【答案】【分析】根據給定條件，用表示出，再代入并結合誘導公式、二倍角公式計算作答.【詳解】因在平面直角坐標系xOy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于直線對稱，則有，即，而，所以，，.故答案為：15．已知點A，B，C，D均在表面積為的球面上，且，，是邊長為3的等邊三角形，則______．【答案】2【分析】首先求出外接圓的半徑與外接球的半徑，依題意可得平面，最后根據計算可得；【詳解】解：因為是邊長為3的等邊三角形，設外接圓的半徑為，則，所以，設外接球的半徑為，則，解得，因為，，，平面，所以平面，所以，即，解得；故答案為：16．在第24屆北京冬奧會開幕式上，一朵朵六角雪花飄拂在國家體育場上空，暢想著“一起向未來”的美好愿景．如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程．若第1個圖中的三角形的周長為1，則第4個圖形的周長為______．【答案】【分析】根據題意，分別求得每個“雪花曲線”的邊長和邊數(shù)，即可求解.【詳解】由題意，當時，第1個圖中的三角形的邊長為，三角形的周長為；當時，第2個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，其“雪花曲線”周長為；當時，第3個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，其“雪花曲線”周長為；當時，第4個圖中“雪花曲線”的邊長為，共有條邊，其“雪花曲線”周長為.故答案為：.三、解答題17．已知中，，，.(1)求AC；(2)若D為BC邊上一點，給出三種數(shù)值方案：①；②；③.判斷上述三種方案所對應的的個數(shù)（不需說明理由），并求三種方案中，當唯一時BD的長.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）根據正弦定理求解即可；（2）根據所給的長與的關系確定解得個數(shù)，有解時根據余弦定理求解即可.【詳解】(1)由正弦定理得：，即，解得.(2)過A作BC的垂線AO，垂足為O，則,如圖，①，此時滿足條件的有0個；②，因為，，所以此時滿足條件的有2個；③，因為，所以此時滿足條件的有1個.在③的情況下，由余弦定理得：，即，解得.18．根據統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量（百千克）與某種液體肥料每畝使用量（千克）之間對應數(shù)據的散點圖，如圖所示．(1)請從相關系數(shù)（精確到）的角度分析，能否用線性回歸模型擬合與的關系（若，則線性相關程度很強，可用線性回歸模型擬合）；(2)建立關于的線性回歸方程，并用其估計當該種液體肥料每畝使用量為千克時，該蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量約為多少百千克？參考公式：對于一組數(shù)據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，相關系數(shù)，參考數(shù)據：【答案】(1)能，理由見解析；(2)回歸方程為，該蔬菜基地西紅柿畝產量的增加量約為百千克.【分析】（1）計算出、的值，將樣本數(shù)據代入相關系數(shù)公式，可求得的值，結合題意可判斷與的線性關系的強弱，即可得出結論；（2）將樣本數(shù)據代入最小二乘法公式，求出、的值，可得出線性回歸直線方程，將代入回歸直線方程，可得出結論.【詳解】(1)解：由已知數(shù)據可得，，所以，，，相關系數(shù)．因為，所以線性相關程度很強，可用線性回歸模型擬合與的關系．(2)解：由于，，所以關于的線性回歸方程為．當時，，所以西紅柿畝產量的增加量約為百千克．19．如圖，已知多面體中，平面，平面，且，，，四點共面，是邊長為2的菱形，，．(1)求證：平面；(2)求多面體的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據題意得，再根據條件證明平面，得到四邊形為矩形，所以，又，即可求解；（2）根據題意得，進而得到，求解計算即可.【詳解】(1)如圖，連接和交于點，連接，因為，，，四點共面，平面，平面平面，所以，因為底面是邊長為2的菱形，，所以，所以四邊形為平行四邊形，又因為平面，且平面，所以，所以四邊形為矩形，所以，又因為，，所以，且，所以平面．(2)由（1）易知，，，，所以平面，且四邊形為直角梯形，所以，又，所以．所求多面體的體積為．20．已知函數(shù)，其中，且滿足對時，恒成立．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)令，判斷在區(qū)間內的零點個數(shù)，并說明理由．【答案】(1)(2)有且僅有1個零點；理由見解析【分析】（1）對函數(shù)求兩次導數(shù)，得出的單調性，再由得出實數(shù)a的取值范圍；（2）由（1）中結論得出的單調性，結合零點存在性定理得出在區(qū)間內的零點個數(shù).【詳解】(1)一方面，當時，，所以．另一方面，，令，，當時，，所以即在單調遞增，又因為，所以恒成立，所以在上單調遞增，所以符合題意，即．(2)，所以，由（1）可知時，在上恒成立，所以在區(qū)間上，所以在區(qū)間上單調遞增，又因為，，所以在區(qū)間上有且僅有1個零點．【點睛】關鍵點睛：在解決問題二時，關鍵在于利用導數(shù)得出其單調性，并根據零點存在性定理得出在區(qū)間上有且僅有1個零點．21．已知橢圓的一個頂點為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)點P，Q在C上，且，①求證：直線PQ過定點；②求面積的取值范圍．【答案】(1)(2)①證明見解析；②【分析】（1）由題意得求出，從而可求出橢圓方程，（2）①設，，PQ的方程，將其代入橢圓方程中，消去，然后利用根與系數(shù)的關系，由，得，將坐標代入化簡可得，求出，從而可得直線PQ過的定點，②由①得PQ的直線方程為，，，從而可表示出面積，令，，則，從而可求出其范圍【詳解】(1)由題意得

解得，所以橢圓C的方程為：．(2)①設，，將PQ的方程與橢圓方程聯(lián)立得：，所以，，由于，所以，，即，，化簡得，解得或（舍去），所以PQ過定點．②由①得PQ的直線方程為：，，，所以，令，，則，因為在上單調遞增，所以所以，所以．22．在極坐標系Ox中，已知點，直線l過點A，與極軸相交于點N，且.(1)求直線l的極坐標方程；(2)將OA繞點O按順時針方向旋轉，與直線l交于點B，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）設為直線l上除點A外的任意一點，在中由正弦定理建立方程化簡即可；（2）求出點B的極坐標，根據極徑利用三角形面積公式計算三角形面積即可.【詳解】(1)設為直線l上除點A外的任意一點，則，.由點A的極坐標為知，.設直線l與極軸交于點N，由已知.在中，由正弦定理得：，即，即.顯然，點