復(fù)變函數(shù)論姓名（學(xué)號(hào)：1938）（物理與電子信息學(xué)院物理學(xué)專業(yè)2010級(jí)，內(nèi)蒙古呼和浩特010022）指導(dǎo)老師:孫詠萍第一章：復(fù)變函數(shù)一復(fù)數(shù)（一） 概念:將定義「=『將i作為虛數(shù)單位，引出虛數(shù)概念.（二） 虛數(shù)具體表達(dá)方式如下代數(shù)式：z=x+iy且（尤,yeR）實(shí)部x=R（z）虛部y=I（z）模:Iz1=r=?￡x2+y2指數(shù)式：z=p溯三角式：z=p（cos0+isin0）在指數(shù)與三角式中，輔角0，模P0=Argz+2饋（k=0,±1，±2，...），其中Argz為主輔角，其取值范圍［0,2兀）P=IzI=r=\：'x2+y24復(fù)平面表示:把虛數(shù)的實(shí)部、虛部當(dāng)作平面上的坐標(biāo)，使之與平面上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。此平面稱為復(fù)平面，坐標(biāo)軸稱為實(shí)軸虛軸。與原點(diǎn)形成的矢量即可表示此復(fù)數(shù)。幅角就是矢量與實(shí)軸所成的角，周期性很明顯5.共軛復(fù)數(shù):z*=x-iy=p（cos0-isin0）=pe-i0Iz|2=z-z*（三） 復(fù)數(shù)運(yùn)算加減法：實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減，并且滿足交換律與結(jié)合律。代數(shù)式有：z土z=（x土x）+i（y土y）12 1212由復(fù)平面可得Iz+zI<IzI+1zIIz-zI>IzI-1zI并可以以得出：1 2 1I 2Iz一z I<Iz一zI<Iz+z I<IzI+1zI12 1I 2 1I 2 1 2I，1 2 1I 22.乘除法:（1） 應(yīng)用代數(shù)式有zz=（xx-yy）+i（xy-xy）:TOC\o"1-5"\h\z12 12 12 12 21zxx+yy.xy—xy=12 12+i21 12:z x2+y2 x2+y22 2 2 2（2） 應(yīng)用三角和指數(shù)有如下：乘法：模相乘，輻角相加。除法：模相除，輻角相減。滿足交換律，結(jié)合律，分配律。3.當(dāng)z-z，可以歸結(jié)為一對(duì)實(shí)變數(shù)x和y分別逼近常數(shù)x和y的問題。進(jìn)而有:0 0 0Izz1=IzIIzI；z土z=z土z；zz=zz；I、l=n；（&=冬；IzI2=z-z*12 1 2 1 2 1 2 12 12z2Iz21z2z二復(fù)變函數(shù)（一） 區(qū)域概念鄰域：以復(fù)數(shù)z0為圓心以任意小8半徑做圓，圓內(nèi)所有的點(diǎn)集合稱為z0的鄰域。及其鄰域均屬于點(diǎn)集E，則稱z0為該點(diǎn)集的內(nèi)點(diǎn)。若z0及其鄰域均不屬于點(diǎn)集E，則稱z0為該點(diǎn)集的外點(diǎn)。點(diǎn)：若在z0的鄰域內(nèi)即有E的點(diǎn)也有E外的點(diǎn)，境界點(diǎn)的全體稱為境界線。區(qū)域：滿足以下條件的點(diǎn)集（1）全有內(nèi)點(diǎn)組成。（2）具有連通性。6閉區(qū)域B及其境界線所組成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域，以B表示。點(diǎn)集不一定是區(qū)域，但是區(qū)域一定是點(diǎn)集。（二） 復(fù)變函數(shù)定義：在復(fù)數(shù)平面（或球面）上存在一個(gè)點(diǎn)集E（復(fù)數(shù)的集合），對(duì)于E的每一點(diǎn)，按照一定的規(guī)律，有一個(gè)或多個(gè)復(fù)數(shù)值②與之相對(duì)應(yīng)，函數(shù)。記作3=f(z) z的域?yàn)镋。復(fù)變函數(shù)例1.指數(shù)復(fù)變函數(shù)：ez=ex+iy=exeiy=ex(cosy+isiny)e2兀i+z=e2兀iez=e(cos2兀+isin2k)=ez正余弦復(fù)變函數(shù)：sinz=—(eiz-e-tz)2icosz=2(eiz+e-iz)雙曲正余弦函數(shù):shz=^(ez-e-z)27 1，,、chz=—(ez+e-z)24.對(duì)數(shù)函數(shù):Inz=ln(lzIeiArgz)=InIzI+iArgz復(fù)變函數(shù)同樣也可以歸結(jié)為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)，因此實(shí)變函數(shù)重的許多公式也同樣適用與復(fù)變函數(shù)。三導(dǎo)數(shù)若在B上的函數(shù)3=f(z)，在某點(diǎn)z極限lim里=limf(z+&)-f(z)存在，AzT0AzAzr0 Az并且與Az-0的方式無關(guān)，則稱函數(shù)W=f(z)在Z點(diǎn)可導(dǎo)，此極限叫作函數(shù)f(z)在Z點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，以f■(z)或直表示。dz柯西黎曼方程TOC\o"1-5"\h\zdudvdu dv = ; =— dxdydy dx也叫柯西黎曼條件，是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的必要條件du1_dv =— d中p dp四解析函數(shù)1.解析：若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0及其鄰域上處處可導(dǎo)，則稱f(z)在z0點(diǎn)解析。解析函數(shù)：若f(z)在區(qū)域B上每一點(diǎn)都解析，則稱f(z)是區(qū)域B上的解析數(shù)。解析函數(shù)的主要性質(zhì)：⑴若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則：u(x,y)=c1;v(x,y)=c2;是B上的兩組正交曲線。(c1與c2是常數(shù))⑵若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則"和v都是B上的調(diào)和函數(shù)。4給定一個(gè)二元調(diào)和函數(shù)u(x,y)是解析函數(shù)的實(shí)部，則其虛部為:dv=8v「.dv,—dx+—dydv=dx dy有柯西一黎曼方程竺=絲；四=_絲可得：dv=一四dx+四dy于是dxdy dy dx dy dxv(x,yX』d可用以下方法求出：曲線積分法:全微分的積分與路徑無關(guān)，所以可以選取特殊的路徑進(jìn)行積分。湊全微分法：把微分式湊全，在進(jìn)行積分。不定積分法第二章復(fù)變函數(shù)的積分一復(fù)變函數(shù)的積分設(shè)在復(fù)數(shù)平面上的連續(xù)函數(shù)f(x)，并取了一系列點(diǎn)，把曲線分成n小段，并作和，每一小段都趨近于零，則：f(z)=limf信)(z-z)用實(shí)部與虛部表述出…kkk=1來為：〔k=x^+iyk，f(z)=u(x,y)+iv(x,y)積分則為：Jf(z)dz=Ju(x,y)dx一v(x,y)dy+i』v(x,y)dx+u(x,y)dyl l l這樣復(fù)變函數(shù)的路積分可以歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)變函數(shù)線積分。復(fù)變函數(shù)積分的幾條性質(zhì):常數(shù)因子可以移到積分號(hào)外。函數(shù)的和的積分等于各個(gè)函數(shù)的積分的和。全路徑上的積分等于各段上積分之和。反轉(zhuǎn)積分路徑，積分變號(hào)。與起點(diǎn)終點(diǎn)積分路徑都有關(guān)。二柯西定理內(nèi)容單通區(qū)域情形單通區(qū)域：在其區(qū)域中作任何簡(jiǎn)單的閉合曲線，圍繞內(nèi)的點(diǎn)都屬于該區(qū)域內(nèi)點(diǎn)?？挛鞫ɡ恚骸篺(zz)dz=0。l2復(fù)通區(qū)域情形復(fù)通區(qū)域a一般來說，在區(qū)域內(nèi)，只要有一個(gè)簡(jiǎn)單的閉合曲線期內(nèi)其內(nèi)不屬于該區(qū)域的點(diǎn)，這樣的區(qū)域便稱為復(fù)通區(qū)域。b正方向：總是在觀察者的左邊，外境界線正方向是逆時(shí)針，內(nèi)鏡界線正方向是順時(shí)針。c奇點(diǎn)：不可導(dǎo)的點(diǎn)?？挛鞫ɡ恚?f(zz)dz+￡$f(zz)dz=0。l .=1l3柯西定理的性質(zhì)：閉單通區(qū)域上的解析函數(shù)沿境界線積分為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿所有內(nèi)外境界線正方向積分和為零。閉復(fù)通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外境界線逆時(shí)針方向積分等于沿所有內(nèi)鏡界線逆時(shí)針方向積分之和。三不定積分由柯西定理知，若函數(shù)f(z)在單通區(qū)域B上解析，則在B上沿任一路徑積分ff(z)dz只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，與路徑無關(guān)，則當(dāng)z0固定時(shí)，此不定積分就定以了一個(gè)單值函數(shù)：F(Z0)=\f&歡。且F'(z)=f(z)，則F(z)是f(z)的一個(gè)原z0函數(shù)。ff&)d…(%)-F(七)zi3.上『_^=0(L不包圍a)2兀iiz—a—M-^J=1(n=—1,L不包圍a)2兀ilz—a—5(z—a)n=0(n=—1)2兀ii四柯西公式若f(z)在閉單通區(qū)域萬的境界線a為B內(nèi)的任意一點(diǎn)，則有柯西公式:f(a)=—頂^^dz還可以得到：f(z)=—5軍d&2兀iiz—a 2冗ii&—z即f(z)在L所圍區(qū)域上存在奇點(diǎn)，考慮挖去奇點(diǎn)后的復(fù)通區(qū)域，f(z)解析，柯西公式依然成立，即把L理解為所有的境界線，并且方向取正方向。2.推論有fz)=&5呂&f"z)=蕓5旦&第三章幕級(jí)數(shù)展開一復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題收斂的充分條件:對(duì)于一給定的小正數(shù)8，必有N存在，使得n>N時(shí)，寸七<8k=n+1式中p為任意正整數(shù)。絕對(duì)收斂：如果復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)各項(xiàng)的模(這是正的實(shí)數(shù))組成的級(jí)數(shù)

￡|七I=^何飛收斂則此級(jí)數(shù)就是絕對(duì)收斂。k=1 k=1一致收斂：復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分條件對(duì)于一給定的小正數(shù)e，必有N存在，使得n>N時(shí)，SPw^<8式中p為任意正整數(shù)，如果N與Z無關(guān)，k=n+1就把復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)叫做在L或B上一致收斂。一致收斂的性質(zhì)：（1）連續(xù)性（2） 可積性（3） 解析性優(yōu)級(jí)數(shù)準(zhǔn)則：若對(duì)于某個(gè)區(qū)域B上所有的點(diǎn)Z，復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)的各項(xiàng)的模|wk（z）|<mk，而正的常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)堂mk收斂，則復(fù)變項(xiàng)級(jí)數(shù)在Bk=1上絕對(duì)且一致收斂。二幕級(jí)數(shù)1各項(xiàng)為幕函數(shù)的復(fù)變相級(jí)數(shù)：￡a（z一z）k=a+a（z一z）+a（z一z）2+…，（1）k0 0 1 0 2 0k=0其中z，a，a，a，......都是復(fù)常數(shù)，這樣的級(jí)數(shù)叫做以z為中心0 0 12 0的幕級(jí)數(shù)。2.比值判別法：若￡〔aL-k++ak2.比值判別法：若￡〔aL-k++ak—3 kz一z

0

llz一z0竺=￡k1 ks新記號(hào)R，R=limkT3a—Lak+1a—k+1akz-z0|<1則（1）式絕對(duì)收斂，引入就是說，如果|z-z0|<R，（1）式絕對(duì)收斂。如果|z-z°|>R，則（1）式發(fā)散。從中我們可以看出，以z0為圓心以R為半徑圓周％，所以在圓內(nèi)部就絕對(duì)收斂，在圓外就發(fā)散，這個(gè)圓就叫做幕級(jí)數(shù)的收斂圓，它的半徑則就叫做收斂半徑。3.根值判別方法：limjaz-zk<1，絕對(duì)收斂。k"k0limJajk-zjk>1，發(fā)散。三泰勒級(jí)數(shù)展開1定理：設(shè)f(z)在以Z。為圓心的圓CR內(nèi)解析，則對(duì)圓內(nèi)的任意z點(diǎn)，f(z)可以展開為幕級(jí)數(shù)，f(z)=*a(z一z)k，其中a=口一j —d&=")(%)k0k0 k2兀iCR1(&-zo)k+1 k!2泰勒展開步驟：確定展開中心；確定系數(shù)ak；系數(shù)帶回表達(dá)式。3泰勒展開具有唯一性。4解析延拓:解析延拓就是將解析函數(shù)的定義域變大，卻在它們共同區(qū)域值相等。四洛朗級(jí)數(shù)展開定理：設(shè)f(z)在環(huán)形區(qū)域R2<z-zo<R的內(nèi)部單值解析，則對(duì)環(huán)域上任一點(diǎn)z，f(z)可以展為幕級(jí)數(shù)f(z)=*a(z一z)k(2)。k0k=一3其中：積分路徑C為位于環(huán)域內(nèi)按逆時(shí)針方向繞內(nèi)圓一周的任一閉合曲線。(2)式稱為f(z)的洛朗展開，其右端的級(jí)數(shù)稱為洛朗級(jí)數(shù)。說明：(1)級(jí)數(shù)中的z-zo的負(fù)幕項(xiàng)，其中zo可以是奇點(diǎn)也可以不是。(2)盡管求展開系數(shù)ak的公式與泰勒展開系數(shù)ak的形式相同，但是卻不是相等的。若是奇點(diǎn)則f(k)(z°)就不存在。若只有環(huán)心z是f(z)的奇點(diǎn)，內(nèi)圓半徑可以任意小，并且z無限接0近于zo，則稱它為孤立奇點(diǎn)zo的鄰域內(nèi)的洛朗展開式。五孤立奇點(diǎn)的分類

孤立奇點(diǎn)：若f(z)在z點(diǎn)不可導(dǎo)，而在z的任意小鄰域內(nèi)除z外處處可導(dǎo)，0 0 0則稱z0為。f(z)的孤立奇點(diǎn)。非孤立奇點(diǎn)：若在的無論多么小的鄰域內(nèi)總可以找到除z0以外的不可導(dǎo)點(diǎn)，則稱z0為的f(z)非孤立奇點(diǎn)?？扇テ纥c(diǎn)：挖去孤立奇點(diǎn)形成的解析函數(shù)沒有負(fù)幕次項(xiàng)，即limf(z)=七。f° 0本性起點(diǎn)：挖去孤立奇點(diǎn)形成的解析函數(shù)只有無限個(gè)負(fù)幕次項(xiàng)，即沒有唯一的有限制。極點(diǎn)：挖去孤立奇點(diǎn)形成的解析函數(shù)只有有限個(gè)負(fù)幕次項(xiàng)，即limf(z)=8iz0同limf(z)=8f(z)=—z0a(z-z/m+a(z-z同limf(z)=8f(z)=—z0a(z-z/m-m+1 0 k 0k=-mm叫作極點(diǎn)z0階，一階叫做單極點(diǎn)。第四章留數(shù)定理一.基本概念留數(shù)：洛朗級(jí)數(shù)的(z-z0)-i的系數(shù)ai就叫做函數(shù)f(z)在奇點(diǎn)z0的留數(shù)，通常記作：Resf(z。)留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(z)在回路L所謂的區(qū)域B上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析，在閉區(qū)域B上除外連續(xù)，則皿f(z)dz=2兀i2Resf(b)1 j=i留數(shù)定理將回路積分歸結(jié)為被奇函數(shù)在回路所圍區(qū)域上個(gè)奇點(diǎn)的留數(shù)之和。第五章傅里葉變換一傅里葉級(jí)數(shù)1周期函數(shù)的傅里葉展開函數(shù)f3)為周期函數(shù)，將f(x)展開為級(jí)數(shù)：/ k兀x kKx、(acos—+bsin—)k=1函數(shù)族是正交的：(1)jl?cos^^dx=0l-1j1-sin^^dx=0l-1fcos竺sin竺dx=0ll-1fcos竺cos竺dx=0(k。n)ll-1fsin匝sin竺dx=0(k。n)ll-1由三角函數(shù)族的正交性，可得傅里葉級(jí)數(shù)展開式：a廣2|ff(&)cos罕d&-1bk=1jf&)sin苧d&-1a0=1.ff&)dg-1奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉展開(1)若周期函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則由傅里葉的計(jì)算公式(3)可見a。及a*均等于零，展開為f(x)=Ebsin三1三這叫做傅里葉正弦級(jí)數(shù)。由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為:k=1bk=1\lf(g)sin罕d&(2)若周期函數(shù)fG)為偶函數(shù)則展開式為f(x)=a(2)若周期函數(shù)fG)為偶函數(shù)則展開式為f(x)k=1余弦級(jí)數(shù)。由于對(duì)稱性，其展開系數(shù)為:a二二jif(g)cos竺k5Io 1k^x3復(fù)數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)：f(x)=Ece1；k1l .kRx*展開系數(shù):C=—if&)/Id&k2l-1 LJ二傅里葉積分與傅里葉變換1傅里葉積分與傅里葉變換(1).實(shí)數(shù)形式的傅里葉變換：設(shè)fG)為定義在區(qū)間-8VxV8上的函數(shù)，一般來說，它是非周期的，不能展為傅里葉級(jí)數(shù)。所以我們將非周期函數(shù)fG)看作是某個(gè)周期函數(shù)gG)于周期2i*時(shí)的極限情形.這樣，gG)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式:引入不連續(xù)參量”%(k=0,1,2，)，g(x)=a+E[acos加+bsin加]引入不連續(xù)參量”%(k=0,1,2，)，k=1Aw=①-w=^/這樣上式稱為：g(x)=a+切(Aw=①-w=^/這樣上式稱為：g(x)k=1a=&Jlf&)傅里葉系數(shù)為:1k傅里葉系數(shù)為:1b^-Jlf(&)sinw&d&TOC\o"1-5"\h\zkl-i ka=limlJlf/=00l*2la=limlJlf/=00l*2l-l0 l*8-l l*8兀-8當(dāng)l*8時(shí)余弦部分為：J81J8f(&)cosw&d兀-80正弦部分為：J8—J8f(&)sinw&d&lsinwxdw0L兀-8 J于是其形式為：f(x)=J8A(w)coswxdw+J8B(w)sinwxdw上式稱為傅里葉積分。0 0A(w)=-J8f(&)cosw&d&其中：i：J8(). 此式稱為f。的傅里葉變換式。B(w)-兀-8f'"nw%&傅里葉正弦積分:f(x)=J8B(w)sinwxdw；0傅里葉正弦變換，B(w)=—J8f(&)sinw&d