1高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納高等數(shù)學(xué)（上）重要知識(shí)點(diǎn)歸納第一章函數(shù)、極限與連續(xù)一、極限的定義與性質(zhì)1、定義（以數(shù)列為例）當(dāng)時(shí)，|xa|limxa0,N,nNnnn2、性質(zhì)(1)limf(x)Af(x)A(x)，其中(x)為某一個(gè)無窮小。xx0(2)(保號(hào)性）若limf(x)A0，則0,當(dāng)時(shí)，xUx(,)o0xx0f(x)0。(3)*無窮小乘以有界函數(shù)仍為無窮小。二、求極限的主要方法與工具sin1lim(11)e(2)1、*兩個(gè)重要極限公式(1)lim02、兩個(gè)準(zhǔn)則(1)*夾逼準(zhǔn)則(2)單調(diào)有界準(zhǔn)則3、*等價(jià)無窮小替換法常用替換：當(dāng)0時(shí)（1)sin~（2）tan~（3）arcsin~（4)arctan~（5）ln(1)~（6）e1~1cos~1211~n（7）（8）n22高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納4、分子或分母有理化法5、分解因式法6用定積分定義三、無窮小階的比較*四、連續(xù)與間斷點(diǎn)的分類1、連續(xù)的定義*高階、同階、等價(jià)f(x)在a點(diǎn)連續(xù)limy0limf(x)f(a)f(a)f(a)f(a)x0xa可去型（極限存在）第一類跳躍型（左右極限存在但不相等）2、間斷點(diǎn)的分類無窮型（極限為無窮大）第二類震蕩型（來回波動(dòng)）其他3、曲線的漸近線*(1)水平漸近線：若limf(x)A,則存在漸近線：yAx(2)鉛直漸近線：若limf(x),則存在漸近線：xaxa五、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)1、最大值與最小值定理2、介值定理和零點(diǎn)定理3高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納第二章導(dǎo)數(shù)與微分一、導(dǎo)數(shù)的概念1、導(dǎo)數(shù)的定義*y|f(a)dy|limlimf(ax)f(a)ylimf(x)f(a)dxxxxaxaxax0x0xa2、左右導(dǎo)數(shù)yxf(x)f(a)xaxa左導(dǎo)數(shù)f(a)limlimx0yxf(x)f(a)xaxa右導(dǎo)數(shù)f(a)limlimx03、導(dǎo)數(shù)的幾何意義*y|曲線f(x)在點(diǎn)（a,f(a))處的切線斜率kxa4、導(dǎo)數(shù)的物理意義若運(yùn)動(dòng)方程：ss(t)則s(t)v(t)(速度）,s(t)v(t)a(t)(加速度）5、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系:可導(dǎo)連續(xù)，反之不然。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算uuvuv1、四則運(yùn)算(uv)uv(uv)uvuv()vv22、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)設(shè)，一定條件下dydydudxdudxyuyf[(x)]ux3、反函數(shù)求導(dǎo)設(shè)yf(x)和xf1(y)互為反函數(shù)，一定條件下：y1xxy4、求導(dǎo)基本公式*（要熟記）4高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納5、隱函數(shù)求導(dǎo)*方法：在F(x,y)0兩端同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，其中要注意到：y是中間變量，然后再解出y6、參數(shù)方程確定函數(shù)的求導(dǎo)*設(shè)xx(t)，一定條件下yy(t)y()tdyxyxyx（可以不記）dyyy,yttxtdxxt(tx)3ttdxxxxttt7、常用的高階導(dǎo)數(shù)公式n（1）（2）（3）（4）sin(n)xsin(x),(n0,1,2...)2ncos(n)xcos(x),(n0,1,2...)2ln(n)(1x)(1)n1(n1)!,(n12...)(1x)n1(1)nn!,(n0,1,2...)()n1x(1x)n1（5）（萊布尼茨公式）(uv)(n)Cku(nk)vn(k)nk0三、微分的概念與運(yùn)算1、微分定義*若yAxo(x)，則yf(x)可微，記dyAxAdx2、公式：dyf(x)xf(x)dx3、可微與可導(dǎo)的關(guān)系*兩者等價(jià)4、近似計(jì)算當(dāng)，|x|較小時(shí)，ydyf(x)f(xx)f(x)x5高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納第三章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、微分中值定理*1、柯西中值定理*(1)f(x)、g(x)在[a,b]上連續(xù)(2)f(x)、g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）g(x)0,則：f()f(b)f(a)g()g(b)g(a)（a,b),使得：當(dāng)取g(x)x時(shí)，定理演變成：2、拉格朗日中值定理*（a,b),使得：f(b)f(a)f()f(b)f(a)f()(ba)ba當(dāng)加上條件f(a)f(b)則演變成：3、羅爾定理*（a,b),使得：f()04、泰勒中值定理在一定條件下：f(n)(x)(xx)R(x)f(x)f(x)f(x)(xx)...0nn!0000nf()其中R(x)(1)介于之間.(xx)n1o((xx)n),、xx(n1)!n000n當(dāng)公式中n=0時(shí)，定理演變成拉格朗日定理.當(dāng)x0時(shí)，公式變成:0f(n)(0)xR(x)f(x)f(0)f(0)x...5、麥克勞林公式nn!n6高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納6、常用麥克勞林展開式ex1xx2...n1!xno(xn)（1）（2）（3）（4）2!xx33!5!(2n1)!sinxx...(1)n1x2n1o(x2n)5cosx1...(1)nx2no(x2n1)2!4!(2n)!xx24xx2(1)n13ln(1x)x...23xno(xn)n二、羅比達(dá)法則*00記住：法則僅能對(duì)型直接用，對(duì)于0,,1,00,0,轉(zhuǎn)化,后用.冪指函數(shù)恒等式*feglnfg三、單調(diào)性判別*1、y0y,y0y2、單調(diào)區(qū)間分界點(diǎn)：駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn).四、極值求法*1、極值點(diǎn)來自：駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)（可疑點(diǎn)）.2、求出可疑點(diǎn)后再加以判別.3、第一判別法：左右導(dǎo)數(shù)要變正為極小.異號(hào)，由正變負(fù)為極大，由負(fù)4、第二判別法：一階導(dǎo)等于0，二階導(dǎo)不為0時(shí)，是極值點(diǎn).正為極小，負(fù)為極大.五、閉區(qū)間最值求法*找出區(qū)間內(nèi)所有駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)、區(qū)間端點(diǎn)，比較大小.7高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納六、凹凸性與拐點(diǎn)*1、y0y,y0y2、拐點(diǎn)凹凸分界點(diǎn)(x,y).：曲線上00橫坐標(biāo)x不外乎f(x)0,或f(x)不存在，找到后再加以判別x0000附近的二階導(dǎo)數(shù)是否變號(hào).七、曲率與曲率半徑|y|1、曲率公式K(1y2)322、曲率半徑R1K8高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納第四章不定積分一、不定積分的概念*若在區(qū)間I上，F(xiàn)(x)f(x),亦dF(x)f(x)dx，則稱F(x)為f(x)的原函數(shù).稱全體原函數(shù)F(x)+c為f(x)的不定積分，記為f(x)dx.二、微分與積分的互逆關(guān)系1、[f(x)dx]f(x)df(x)dxf(x)dx2、f(x)dxf(x)cdf(x)f(x)c三、積分法*1、湊微分法*2、第二類換元法udvuvvdu3、分部積分法*4、常用的基本積分公式(要熟記).第五章定積分一、定積分的定義bf(x)dxlimf()xniix0i1a二、可積的必要條件有界.三、可積的充分條件連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)或單調(diào).四、幾何意義定積分等于面積的代數(shù)和.9高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納五、主要性質(zhì)*1、可加性bbcaac2、估值在[a,b]上，m(ba)bf(x)dxM(ba)a3、積分中值定理*當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí)：bf(x)dxf()(ba),[a,b]abf(x)dx4、函數(shù)平均值：aba六、變上限積分函數(shù)*若f(x)在[a,b]連續(xù)，則F(x)xf(t)dt可導(dǎo)，且[xf(t)dt]f(x)1、aa2、若f(x)在[a,b]連續(xù)，(x)可導(dǎo)，則：[（x）f(t)dt]f[(x)](x)a七、牛-萊公式*若f(x)在[a,b]連續(xù)，則bf(x)dx[f(x)dx]|bF(b)F(a)aa八、定積分的積分法*1、換元法牢記：換元同時(shí)要換限2、分部積分法3、特殊積分budvuv|bbvduaaafx0,當(dāng)()為奇函數(shù)時(shí)（1）af(x)dxa2f(x)dx,當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)a0（2）當(dāng)f(x)為周期為T的周期函數(shù)時(shí)：anTf(x)dxnTf(x)dx,nZa0（3）一定條件下:f(sinx)dxxf(sinx)dx20010高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納(n1)!!，n是正奇數(shù)時(shí)n!（4）sinxdx2cosnxdx02n(n1)!!，n是正偶數(shù)時(shí)0n！!2（5）sinxdx22sinnxdxn00九、反常積分*1、無窮區(qū)間上f(x)dxlimxf(t)dtF(x)|F()F(a)其他類似axaap1時(shí)收斂1dx(a0):xp2、p積分：p1時(shí)發(fā)散a3、瑕積分：若a為瑕點(diǎn)：則其他類似處理bf(x)dxlimbf(t)dtF(x)|bF(b)F(a)aaxax第六章定積分應(yīng)用一、幾何應(yīng)用1、面積A（y-y）dxb（1）上下aA（bx-x）dy右左axxt()（2）則|()()|C:,(t),Aytxtdtyy(t)C:(),與，，（)圍成圖形面積（3）12A（）d22、體積*或V2bxydx（1）旋轉(zhuǎn)體體積*Vby2dxVdx2dyxyyaca的立體體積為VbA(x)dx（2）截面面積為AA(x)a11高等數(shù)學(xué)(上)重要知識(shí)點(diǎn)歸納3、弧長（1）s1y2dx(axb)ba（2）sx2(t)y2(t)dt,(t)（3）s