關于函數(shù)極限與連續(xù)高等數(shù)學第1頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關系基本初等函數(shù)復合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)奇偶性單調(diào)性有界性周期性第2頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月1、函數(shù)的定義第3頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月▲函數(shù)的兩要素:定義域與對應法則.自變量因變量對應法則f辨別下列各對函數(shù)是否相同,為什么?不同,定義域不同

不同,對應關系不同

相同,定義域和對應關系都相同第4頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月▲函數(shù)的定義域在實際問題中，函數(shù)的定義域由問題的實際意義確定。

用解析式表示的函數(shù)，其定義域是自變量所能取的使解析式有意義的一切實數(shù)，通常要考慮以下幾點：(6)如果函數(shù)表達式是由幾個數(shù)學式子組合而成，則其定義域應取各部分定義域的交集。(1)在分式中，分母不能為零；(2)在根式中，負數(shù)不能開偶次方根；

(3)在對數(shù)式中，真數(shù)必須大于零；(5)y=arcsinx和y=arccosx中,x∈[-1,1]第5頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例：求下列函數(shù)的定義域

［Ａ］．即所以定義域為(-∞,-4)∪(-4,1)∪(1,+∞)即解得所以定義域為[-1,1)∪(1,+∞)(2)要使函數(shù)有意義,必須有且有解:(1)要使函數(shù)有意義，必須有分母取其公共部分第6頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月解所以定義域為(-3,+∞)(4)要使函數(shù)有意義,必須有

所以定義域為(-1,1)[B].(3)(4)(3)要使函數(shù)有意義，必須有解得練習：P923第7頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例.設,求下列函數(shù)值解:

解:解：

1）2）3）第8頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)奇函數(shù)yxo2、函數(shù)的性質(zhì)第9頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)函數(shù)的單調(diào)性:

設函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間ID，如果對于區(qū)間I上任意兩點及，當時，恒有：(1),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；或(2),則稱函數(shù)在區(qū)間I上是單調(diào)遞減的；單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。第10頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)函數(shù)的有界性:第11頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月設函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個不為零的數(shù)l,使得對于任一,有.且f(x+l)=f(x)恒成立,則稱f(x)為周期函數(shù),l稱為f(x)的周期.（通常說周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.(4)函數(shù)的周期性:oyx第12頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：反函數(shù)與直接函數(shù)之間的關系3、反函數(shù)第14頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月6、基本初等函數(shù)1）冪函數(shù)2）指數(shù)函數(shù)3）對數(shù)函數(shù)4）三角函數(shù)5）反三角函數(shù)第15頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月1.冪函數(shù)第16頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2.指數(shù)函數(shù)第17頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月3.對數(shù)函數(shù)第18頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月4.三角函數(shù)正弦函數(shù)第19頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月余弦函數(shù)第20頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月正切函數(shù)第21頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月余切函數(shù)第22頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月5.反三角函數(shù)第23頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).第26頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月7、復合函數(shù)8、初等函數(shù)由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算和有限次的函數(shù)復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數(shù),稱為初等函數(shù).練習：P1011第27頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月左右極限兩個重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小兩者的關系無窮大第28頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月1、極限第29頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月左極限右極限第31頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的極限與左、右極限有如下關系：2.常用來判斷分段函數(shù)在分段點的極限是否存在例判斷函數(shù)

在點處是否有極限.

解:因為所以說明：1.左極限與右極限中只要有一個不存在，或者都存在但不相等，則函數(shù)的極限不存在。第32頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月左右極限存在但不相等,證習題：P183第33頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(唯一性定理)如果函數(shù)在某一變化過程中有極限，則其極限是唯一的．定理(有界性定理)若函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在，則必存在x0的某一鄰域，使得函數(shù)f(x)在該鄰域內(nèi)有界．函數(shù)極限的性質(zhì)第34頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(保號性)推論第35頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月無窮小:極限為零的變量稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關系2、無窮小與無窮大第36頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3在同一過程中,有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.性質(zhì)1有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.性質(zhì)2有限個無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運算性質(zhì)第37頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月一、無窮小量二、無窮小的性質(zhì)三、極限與無窮小的關系四、無窮大量五、無窮小與無窮大的關系六、小節(jié)補充無窮大與無窮小第38頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月定義若變量Y在某過程下以零為極限，則稱變量Y在此過程下為無窮小量，簡稱無窮小.例1例2時的無窮小量.時的無窮小量.因為所以因為所以一、無窮小量第39頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例如函數(shù)時的無窮小，但當時不是無窮小。當時，的極限不為零，所以當時，函數(shù)不是無窮小，而當時是無窮小量。應該注意無窮小量是在某一過程中，以零為極限的變量，而不是絕對值很小的數(shù)。因此應明確指出其變化過程。

第40頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)

有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小.(3)常量與無窮小的乘積仍為無窮小.(2)有限個無窮小的乘積仍為無窮小.注意無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小.

(1)有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.二、無窮小的性質(zhì)定理在自變量的同一變化過程中第41頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解注意這個極限不能用極限的四則運算法則求得，因為不存在.所以時的無窮小量.為有界變量,第42頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月三、無窮小與函數(shù)極限的關系:證必要性充分性第43頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月定義在自變量x的某一變化過程中,若函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱f(x)為此變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大.記作四、無窮大量第44頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第45頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月簡言之無窮小與無窮大的關系為：在自變量的同一變化過程中，無窮大的倒數(shù)是無窮小,無窮小(不等于0)的倒數(shù)是無窮大.定理在自變量的同一變化過程中，若f(x)為無窮大,則為無窮小;反之,若f(x)為無窮小且f(x)不等于0,則為無窮大.例如：五、無窮小與無窮大的關系第46頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月以后，遇到類似例6的題目，可直接寫出結果.例4解例5考察

當時，為無窮大量；

當時，為無窮小量；第47頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月六、小結1、主要內(nèi)容:兩個定義;定理.2、幾點注意:無窮小與無窮大是相對于過程而言的.（1）無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無窮小的數(shù)；（2）無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮小.（3）無界變量未必是無窮大.第48頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月定理推論1推論23、極限的性質(zhì)第49頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月4、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.第50頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月求極限方法舉例例2解例1解：原式第51頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月小結:第52頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月解商的法則不能用由無窮小與無窮大的關系,得例3第53頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月解例4(消去零因子法)第54頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月練習解解第55頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月分母有理化，分子有理化第56頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月解：第57頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例5解(無窮小因子分出法)第58頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例6

，然后再求極限，得分母同時除以分子,3x解第59頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月小結:無窮小分出法:以分母中自變量的最高次冪除分子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.第60頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月練習解第61頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例7解先變形再求極限.第62頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例8解第63頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例9解左右極限存在且相等,第64頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月說明：1．什么情況下，需要分別求左右極限（１）求分段函數(shù)連接點處的極限

（２）被考慮的函數(shù)中，含有某些項其左右極限不相等

２.下列幾個極限不存在第65頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月一個重要的結論則有例題練習：P19－201第66頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月5、判定極限存在的準則(夾逼準則)第67頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月(1)(2)6、兩個重要極限第68頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月=0注意：(1)第69頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例1解1coslim0此題中用到xx=?例2解第70頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例3解第71頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月練習：解答：第72頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)注意：第73頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例4解練習：或第74頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例題第75頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例5解第76頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月定義:7、無窮小的比較第77頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月定理(等價無窮小替換定理)8、等價無窮小的性質(zhì)第78頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月幾個重要的等價無窮?。寒敃r，

第79頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例解不能濫用等價無窮小代換.對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.注意第80頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例解解錯第81頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類第82頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月1、連續(xù)的定義第83頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月從而，則一定滿足以下條件第84頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例1證由定義2知第85頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月第86頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2.單側連續(xù)定理3、連續(xù)的充要條件第87頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例2解右連續(xù)但不左連續(xù),第88頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如通俗的說即一筆劃過第89頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月5、間斷點的定義第90頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月1.跳躍間斷點例解6、間斷點的分類第91頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月2.可去間斷點例第92頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月解注意

可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.如上例中,第93頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點:可去型第一類間斷點跳躍型0yx0yx第94頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月3.第二類間斷點例解第95頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例解第96頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月例解函數(shù)在x=-1,x=0,x=1處沒有定義所以x=-1,x=0,x=1是函數(shù)的間斷點所以x=-1是函數(shù)的無窮間斷點所以x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(Ⅰ)(Ⅱ)第97頁，課件共110頁，創(chuàng)作于2023年2月所以x=1是函數(shù)的可去間斷點(Ⅲ)第98頁，課件共1