關(guān)于函數(shù)與復(fù)變函數(shù)1第1頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一、復(fù)數(shù)列的極限二、級數(shù)的概念第一節(jié)復(fù)數(shù)項級數(shù)三、典型例題四、小結(jié)與思考2第2頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月一、復(fù)數(shù)列的極限1.定義記作3第3頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.復(fù)數(shù)列收斂的條件那末對于任意給定的就能找到一個正數(shù)N,證4第4頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月從而有所以同理反之,如果5第5頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月從而有定理一說明:可將復(fù)數(shù)列的斂散性轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性.[證畢]6第6頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月課堂練習(xí):下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.7第7頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月二、級數(shù)的概念1.定義表達(dá)式稱為復(fù)數(shù)項無窮級數(shù).其最前面n

項的和稱為級數(shù)的部分和.部分和8第8頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月收斂與發(fā)散說明:與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的基本方法是:9第9頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月10第10頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂的條件證因為定理二11第11頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月說明

復(fù)數(shù)項級數(shù)的審斂問題實數(shù)項級數(shù)的審斂問題(定理二)12第12頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月解所以原級數(shù)發(fā)散.課堂練習(xí)13第13頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月必要條件重要結(jié)論:14第14頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月不滿足必要條件,所以原級數(shù)發(fā)散.啟示:判別級數(shù)的斂散性時,可先考察?級數(shù)發(fā)散;應(yīng)進(jìn)一步判斷.15第15頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月3.絕對收斂與條件收斂注意應(yīng)用正項級數(shù)的審斂法則判定.定理三16第16頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月證由于而根據(jù)實數(shù)項級數(shù)的比較準(zhǔn)則,知17第17頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月由定理二可得[證畢]18第18頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).說明如果

收斂,那末稱級數(shù)

為絕對收斂.定義19第19頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月所以綜上:20第20頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月下列數(shù)列是否收斂,如果收斂,求出其極限.而解

三、典型例題例121第21頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月解

所以數(shù)列發(fā)散.22第22頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例3故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.因為所以由正項級數(shù)的比值判別法知:解23第23頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月故原級數(shù)收斂.所以原級數(shù)非絕對收斂.例4解24第24頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月25第25頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月四、小結(jié)與思考通過本課的學(xué)習(xí),應(yīng)了解復(fù)數(shù)列的極限概念;熟悉復(fù)數(shù)列收斂及復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂與絕對收斂的充要條件;理解復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散、絕對收斂與條件收斂的概念與性質(zhì).26第26頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題27第27頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題答案否.放映結(jié)束，按Esc退出.28第28頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

1.冪級數(shù)的概念

2.收斂定理

3.收斂圓與收斂半徑

4.收斂半徑的求法

5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)§4.2冪級數(shù)29第29頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月1.冪級數(shù)的概念定義設(shè)復(fù)變函數(shù)列：---稱為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)級數(shù)的最前面n項的和---級數(shù)的部分和

30第30頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月若級數(shù)(1)在D內(nèi)處處收斂，其和為z的函數(shù)---級數(shù)(1)的和函數(shù)特殊情況，在級數(shù)(1)中稱為冪級數(shù)31第31頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月2.收斂定理同實變函數(shù)一樣，復(fù)變冪級數(shù)也有所謂的收斂定理：定理1(阿貝爾(Able)定理）32第32頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月證明33第33頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)用反證法，3.收斂圓與收斂半徑由Able定理，冪級數(shù)的收斂范圍不外乎下述三種情況：(i)若對所有正實數(shù)都收斂，級數(shù)(3)在復(fù)平面上處處收斂。(ii)除z=0外，對所有的正實數(shù)都是發(fā)散的，這時，級數(shù)(3)在復(fù)平面上除z=0外處處發(fā)散。34第34頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月顯然，<否則，級數(shù)(3)將在處發(fā)散。將收斂部分染成紅色，發(fā)散部分染成藍(lán)色，逐漸變大，在c內(nèi)部都是紅色,逐漸變小，在c外部都是藍(lán)色，紅、藍(lán)色不會交錯。故播放35第35頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月36第36頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月

(i)冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)部收斂，在收斂圓外部發(fā)散，在圓周上可能收斂可能發(fā)散，具體問題要具體分析。定義這個紅藍(lán)兩色的分界圓周cR叫做冪級數(shù)的收斂圓；這個圓的半徑R叫做冪級數(shù)的收斂半徑。(ii)冪級數(shù)(3)的收斂范圍是以0為中心，半徑為R的圓域；冪級數(shù)(2)的收斂范圍是以z0為中心,半徑為R的圓域.37第37頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月4.收斂半徑的求法定理3(根值法)定理2(比值法)38第38頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.1解

綜上39第39頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月40第40頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.3

求下列冪級數(shù)的收斂半徑解41第41頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月5.冪級數(shù)的運算和性質(zhì)

代數(shù)運算

---冪級數(shù)的加、減運算---冪級數(shù)的乘法運算42第42頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年2月---冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運算冪級數(shù)的代換運算在函數(shù)展成冪級數(shù)中很有用.例4.4解代換43第43頁，課件共46頁，創(chuàng)作于2023年