理解教材知識(shí)點(diǎn)新知§1考點(diǎn)一第三章把握熱點(diǎn)考點(diǎn)二1.2考向考點(diǎn)三應(yīng)用創(chuàng)新演練橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖像標(biāo)準(zhǔn)方程2222＋22＝1(a＞b＞0)xa2＋b2＝1(a＞b＞0)yyaxb1．橢圓上到中心距離最遠(yuǎn)和最近的點(diǎn)：短軸端點(diǎn)B1和B2到中心O的距離最近；長(zhǎng)軸端點(diǎn)A1和A2到中心O的距離最遠(yuǎn)．2．橢圓上一點(diǎn)與焦點(diǎn)距離的最值：點(diǎn)(a,0)，(－a,0)與焦點(diǎn)F1(－c,0)的距離，分別是橢圓上的點(diǎn)與焦點(diǎn)F1的最大距離和最小距離．3．橢圓的離心率反映了焦點(diǎn)遠(yuǎn)離中心的程度，e的大小決定了橢圓的形狀，反映了橢圓的圓扁程度．因?yàn)閍222b2b＝b＋c，所以a＝1－e，因此，當(dāng)e越趨近于1時(shí)，a越b接近于0，橢圓越扁；當(dāng)e越趨近于0時(shí)，a越接近于1，橢圓越接近于圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2＋y2＝a2.所以e越大橢圓越扁，e越小橢圓越圓．[例1]已知橢圓x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的離心率e3＝2，求m的值及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)．[思路點(diǎn)撥]將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，用m表示出3a，b，c，再由e＝2，求出m的值，然后再求2a,2b，焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)．x2y2[精解詳析]橢圓方程可化為m＋m＝1(m>0)，m＋3mmm＋2∵m－m＋3＝m＋3＞0，m22m∴m＞m＋3，即a＝m，b＝m＋3.22mm＋2∴c＝a－b＝m＋3.3m＋2m＋3＝2，解得m＝1，3由e＝2，得y2∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋＝1.1413∴a＝1，b＝2，c＝2.∴橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為33F1－2，0，F(xiàn)22，0，頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為11A1(－1,0)，A2(1,0)，B10，－2，B20，2.[一點(diǎn)通]求橢圓的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分清楚焦點(diǎn)的位置，準(zhǔn)確地寫(xiě)出a，b的數(shù)值，進(jìn)而求出c及橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何性質(zhì)．1．橢圓的短軸長(zhǎng)是2，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則橢圓的焦距是()A．23B．43C.3D．25解析：易知2b＝2，∴b＝1，且a＝2，∴c2＝a2－b2＝3，∴c＝3，焦距2c＝23.答案：A2．已知橢圓方程為4x2＋9y2＝36，求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率．x2y2解：把橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程9＋4＝1.可知此橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a＝3，短半軸長(zhǎng)b＝2；又得半焦距c＝a2－b2＝9－4＝5.因此，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝6，短軸長(zhǎng)2b＝4；兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－5，0)，(5，0)；四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－53,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．離心率e＝3.[例2]求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．2(1)離心率e＝3，短軸長(zhǎng)為8(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)的連線互相垂直，5；且焦距為6.2x[思路點(diǎn)撥](1)焦點(diǎn)的位置不確定，可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為a2y2y2x2＋b2＝1，或a2＋b2＝1(a>b>0)．(2)畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形明確已知條件．x2y2[精解詳析](1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為a2＋b2＝1，y2x2或a2＋b2＝1(a>b>0)．c2由已知得e＝a＝3，2b＝85，c2aa2－b249∴2＝2＝，b2＝80.a∴a2＝144.x2y2y2x2∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為144＋80＝1或144＋80＝1.(2)如圖所示，△A1FA2為一等腰直角三角形，OF為斜邊A1A2的中線(高)，且OF＝c，A1A2＝2b，∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18，x2y2故所求橢圓的方程為18＋9＝1.[一點(diǎn)通]利用橢圓的性質(zhì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，通常采用待定系數(shù)法，其步驟是：(1)確定焦點(diǎn)位置．(2)設(shè)出相應(yīng)橢圓的方程(對(duì)于焦點(diǎn)位置不確定的橢圓可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程)．(3)根據(jù)已知條件建立關(guān)于參數(shù)的方程，利用方程(組)求222c參數(shù)，列方程(組)時(shí)常用的關(guān)系式為b＝a－c，e＝a等．3．已知P(2,0)，Q(0，－3)為橢圓上兩點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________________．解析：易知a＝3，b＝2，且焦點(diǎn)在y軸上，故橢圓的標(biāo)x2y2準(zhǔn)方程為4＋9＝1.x2y2答案：4＋9＝14．已知橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是一個(gè)焦點(diǎn)，A是一個(gè)頂點(diǎn)，若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，且cos2∠OFA＝3，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．解析：∵橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是6，cos∠OFA＝3，∴點(diǎn)A不是長(zhǎng)軸的端點(diǎn)(是短軸的端點(diǎn))．2c2∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3，∴3＝3.∴c＝2，b2＝32－22＝5.x2y2x2y2∴橢圓的方程是9＋5＝1或5＋9＝1.x2y2x2y2答案：9＋5＝1或5＋9＝15．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的3倍，且過(guò)點(diǎn)A(3,0)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．22xy解：若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為a2＋b2＝1(a>b>0)．由題意得a＝3，2a＝3×2b，a＝3，解得b＝1.x2∴橢圓方程為＋y2＝1；9y2x2若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為a2＋b2＝1(a>b>0)，由題意得b＝3，2a＝3×2b，a＝9，解得b＝3.y2x2∴橢圓方程為81＋9＝1.x2y2x2綜上所述，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1或＋＝1.9819[例3](12分)如圖所示，橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，A，B是橢圓的頂點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸，PF2∥AB，求此橢圓的離心率．[思路點(diǎn)撥]求橢圓的離心率就是設(shè)法建立a、c的關(guān)系式，此題可利用kPF2＝kAB以及a2＝c2＋b2來(lái)建立a、c的關(guān)系．x2y2[精解詳析]設(shè)橢圓的方程為a2＋b2＝1(a>b>0)．則有F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，A(0，b)，B(a,0)，直線PF1的方程為x＝－c，(3分)x2y2b2代入方程a2＋b2＝1，得y＝±a，(6分)b2∴P－c，a.又PF2∥AB，∴kPF2＝kAB，(8分)b2－b∴－2ac＝a，即b＝2c.c2a15∴b2＝4c2，∴a2－c2＝4c2，∴2＝(10分)215∴e＝5，即e＝5，5所以橢圓的離心率為5(12分)[一點(diǎn)通](1)求橢圓離心率的方法：cb2①直接求出a和c，再求e＝a，也可利用e＝②若a和c不能直接求出，則看是否可利用條件得到a和c1－a2求解．c的齊次等式關(guān)系，然后整理成關(guān)于a的方程，即為關(guān)于離心率e的方程，進(jìn)而求解．(2)求離心率范圍時(shí)，常需建立不等關(guān)系，通過(guò)解不等式來(lái)求離心率的范圍．6．橢圓的短軸長(zhǎng)大于其焦距，則橢圓的離心率的取值范圍是________．解析：由題意2b>2c，即b>c，即a2－c2>c，∴a2－c2>c2，則a2>2c2.c212∴a2<2，∴0<e<2.答案：20，2x2y27.如圖，A、B、C分別為橢圓a2＋b2＝1(a>b>0)的頂點(diǎn)與焦點(diǎn)，若∠ABC＝90°，則該橢圓的離心率為()5－13－1A.2B.22－15＋1C.2解析：∵∠ABC＝90°，∴|BC|2＋|AB|2＝|AC|2，