關(guān)于數(shù)列的極限與連續(xù)第1頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/162§2.1數(shù)列的極限(LimitsofSequences)二收斂數(shù)列的性質(zhì)一數(shù)列極限的定義三小結(jié)與思考判斷題CH2極限、連續(xù)第2頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1632.1.1數(shù)列概念例如第3頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/164注意：1.數(shù)列對應(yīng)著數(shù)軸上一個點列.可看作一動點在數(shù)軸上依次取2.數(shù)列是整標(biāo)函數(shù)第4頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/165定義2.數(shù)列單調(diào)性定義單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列同樣,定義3：數(shù)列有界性定義第5頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/166幾何意義:由于|xn|MMxnMxn[M,M].故,所謂xn有界,就是xn要全部落在某個對稱區(qū)間[M,M]內(nèi).看圖0MxxnM][第6頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1672.1.2數(shù)列極限的概念第7頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/168圖形演示第8頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/169圖形演示第9頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1610圖形演示第10頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1611圖形演示第11頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1612圖形演示第12頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1613圖形演示第13頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1614圖形演示第14頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1615圖形演示第15頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1616圖形演示第16頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1617圖形演示第17頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1618圖形演示第18頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1619圖形演示第19頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1620圖形演示第20頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1621問題:當(dāng)

無限增大時,是否無限接近于某一確定的數(shù)值?如果是,如何確定?問題:“無限接近”意味著什么?如何用數(shù)學(xué)語言刻劃它.通過上面演示實驗的觀察:第21頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1622第22頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1623如果數(shù)列沒有極限,就說數(shù)列是發(fā)散的.注意：定義3

如果對于任意給定的正數(shù)(不論它多么小)總存在正數(shù)，使得對于時的一切不等式都成立,那末就稱常數(shù)為數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于,記為第23頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1624注①定義1習(xí)慣上稱為極限的ε—N定義，它用兩個動態(tài)指標(biāo)ε和N刻畫了極限的實質(zhì)，用|xn－a|＜ε定量地刻畫了xn與a之間的距離任意小，即任給ε＞0標(biāo)志著“要多小”的要求，用n

＞N表示n充分大。這個定義有三個要素：10，正數(shù)ε，20，正整數(shù)N，30，不等式|xn－a|＜ε（n

＞N）②定義中的ε具有二重性：一是ε的任意性，二是ε的相對固定性。ε的二重性體現(xiàn)了xn逼近a時要經(jīng)歷一個無限的過程（這個無限過程通過ε的任意性來實現(xiàn)），但這個無限過程又要一步步地實現(xiàn)，而且每一步的變化都是有限的（這個有限的變化通過ε的相對固定性來實現(xiàn)）。第24頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/16251.我們用符號“”表示“任取”或“對于任意的”或“對于所有的”,符號“”稱為全稱量詞.2.我們用符號“”表示“存在”.符號“”稱為存在量詞.符號：第25頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1626幾何解釋:第26頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1627當(dāng)

x

=n,則相應(yīng)的點都落在綠色區(qū)域內(nèi)nf(n)0AN123N+1N+2數(shù)列的極限演示對一切n>N自然數(shù)

NA的鄰域第27頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1628當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2

數(shù)列的極限演示.相應(yīng)的點都落在綠色區(qū)域內(nèi)對一切n>N自然數(shù)

NA的鄰域第28頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1629當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2數(shù)列的極限演示.相應(yīng)的點都落在綠色區(qū)域內(nèi)對一切n>N自然數(shù)

NA的鄰域第29頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1630當(dāng)

x

=n,則nf(n)0AN123N+1N+2.相應(yīng)的點都落在綠色區(qū)域內(nèi)對一切n>N自然數(shù)

NA的鄰域數(shù)列的極限演示第30頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1631當(dāng)

x

=n,則nf(n)0A123NNNNNN+1N+2因此，數(shù)列的極限定義也稱數(shù)列極限的

—N定義.相應(yīng)的點都落在綠色區(qū)域內(nèi)對一切n>N自然數(shù)

NA的鄰域數(shù)列的極限演示第31頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1632例1.

若xn=c(常數(shù)),則證:>0.由于|xn–c|=|c–c|=0取N=1,當(dāng)n>N時,有|xn–c|=0<故即常數(shù)的極限就是常數(shù)本身.數(shù)列極限的定義未給出求極限的方法.注意：第32頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1633例2證所以,第33頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1634例3證注:

用定義證明數(shù)列極限存在時,關(guān)鍵是從主要不等式出發(fā),由>0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).第34頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1635例4、第35頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1636所以取要,只要使第36頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1637二、收斂數(shù)列的性質(zhì)1.收斂數(shù)列的唯一性定理1收斂的數(shù)列只有一個極限.證由定義,第37頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1638例5證由定義,區(qū)間長度為1.不可能同時位于長度為1的區(qū)間內(nèi).第38頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1639定理2收斂的數(shù)列必定有界.證由定義,2.收斂數(shù)列的有界性注1

有界性是數(shù)列收斂的必要條件.注2

無界數(shù)列必定發(fā)散.數(shù)列注3

有界數(shù)列不一定收斂.數(shù)列第39頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/16403.收斂數(shù)列的保號性第40頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1641第41頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1642數(shù)列的子數(shù)列(略)子數(shù)列(子列):在數(shù)列中任意抽取無限多項,并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序得到的數(shù)列,稱為原數(shù)列的子列.記作即其中例如自然數(shù)列第42頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/16434.收斂數(shù)列與其子列的關(guān)系(略)

axknn=￥?lim這就證明了NnnKkNnKKk=>>=.,時，有則當(dāng)取

證axnk<-\.||

eaxNnn<->;||時恒有當(dāng)eNaxxxknnnn$>"=￥?,,0,lim

}{}{使得由定義，的任一子數(shù)列.是數(shù)列設(shè)數(shù)列eQ第43頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1644例如數(shù)列

因為它有兩個子列分別收斂于1和-1兩個不同的數(shù)值.第44頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1645定理5.

設(shè)數(shù)列xn和yn

的極限都存在.且則(1)(2)(3)設(shè)C為常數(shù)，有(4)當(dāng)b0時，有三、數(shù)列極限的運算法則第45頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1646第46頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1647定理4.

若證：由于注意到不等式

||A||B|||AB|從而||xn||a|||xna|<故反之不對.注意：若，則結(jié)論成立。見教材P32習(xí)題7第47頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1648例6解先變形再求極限.第48頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1649例7.

求解：注意到從而所以，原式=第49頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/16501、夾逼（擠）準(zhǔn)則（定理4）2.1.4數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則第50頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/16511.夾逼（擠）準(zhǔn)則

(準(zhǔn)則1)證:

由條件(2),當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時,有由條件(1)即故第51頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1652注意:(2)兩者的極限相等.特別,若在夾逼定理中,yn

和zn

中有一個為常數(shù)列,并滿足定理條件.定理仍然成立.即若axn

zn,

這一方法能解決很多較為困難的求極限問題.第52頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1653例8解由夾逼定理得第53頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1654例9

證明證:利用夾逼準(zhǔn)則.且由第54頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1655例10.

求解：用夾逼定理求解，記適當(dāng)放大和縮小，形成定理要求的連不等式考慮將xn由于所以第55頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/16562單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)增加且有上界數(shù)列必有極限單調(diào)減少且有下界數(shù)列必有極限即：第56頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1657例11證(舍去)第57頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1658證明2:

首先注意到,當(dāng)a>b>0時,有移項,有即第58頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1659第59頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1660第60頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1661由于單調(diào)有界,從而必有極限.為一無理數(shù)第61頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1662注：第62頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1663例13.

設(shè)x0=1,證明xn

的極限存在，并求之.證：通常要證明某數(shù)列極限存在可考慮用:(1)單調(diào)有界數(shù)列必有極限.(2)夾逼定理(條件中往往有不等式).此例用(1)注意到0<xn2,即xn有界.且x1

x0第63頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1664同理，=即xn

單調(diào)遞增.第64頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月2023/5/1665因xn>0,故a0.第65頁，課件共72頁，創(chuàng)作于2023年2月