三輪突破一高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模擬壓軸題集錦

1.(學(xué)海大聯(lián)考三)已知函數(shù)犬%)=%?，-l(a>0,%￡R).

⑴當(dāng)Q>1時(shí)，求人%)的單調(diào)區(qū)間和值域，并證明方程式對(duì)=0有唯

一根；

⑵當(dāng)0<?Wl時(shí)，討論方程川動(dòng)=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)情況，并說明理

由。

2.(杭州已知等比數(shù)列｛明｝的前n項(xiàng)之和

S“=2”+p,(peR),數(shù)歹帥“｝滿足?！?log2%.求：(1)求p的值；

(2)寫出通項(xiàng)斯的表達(dá)式；

(3)記"lim3+%」+…也，求t的值;

is(n+l)-2"

(4)求和T"="_'+環(huán)_k+…+(-1)/也:.

3.(2008湖南師大附中)已知數(shù)列｛%｝滿足：卬=2,%=2(1+4%.

n

(1)求數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)a=(A〃2+B〃+c).2",試推斷是否存在常數(shù)A,B,C,使

對(duì)一切〃wN*都

有an=4+1-2成立?說明你的理由；

(3)ARTIE:%+%+…+?！?2"+——6

4.(黃岡中學(xué))設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x),滿足當(dāng)x>0時(shí),〃x)>L且

對(duì)任意x,yeR,有f(x+y)=/(x)-/(A/d)=2.

(1)求/(0);

(2)求證：對(duì)任意xwR,都葡>(x)>0;

(3)解不等式〃3x-x?)>4；

(4)解方程"(x)]2+l/(x+3)=/(2)+l.

22

5.(學(xué)海大聯(lián)考二)若Fi、F2分別為雙曲線方一%=1下、上焦點(diǎn)，

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P在雙曲線的下支上，點(diǎn)M在上準(zhǔn)線上，且滿

「________~pp~FC)

足：F,0=MP,FM=2(-^=-+^-)(Z>0)e

t用。I

(1)求此雙曲線的離心率；

(2)若此雙曲線過N(S，2),求此雙曲線的方程

(3)若過N(小，2)的雙曲線的虛軸端點(diǎn)分別B],B2(B2在％軸正半

軸上)，點(diǎn)A、B在雙曲線上，且廝=〃廝，求取_L廉時(shí)，直線

AB的方程。

6.(唐山市)已知數(shù)列{aj的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+i=kSn+2,又at=2,a2=lo

(1)求k的值；

⑵求S"Sn-mJ

Sn+「m2

(3)是否存在正整數(shù)m,n,使成立?若存在求出這

樣的正整數(shù)；若不存在說明理由.

7.(蘇、錫、常、鎮(zhèn)二)已知數(shù)集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,

19},…,其中第〃個(gè)集合有〃個(gè)元素，每一個(gè)集合都由連續(xù)正奇數(shù)組成,

并且每一個(gè)集合中的最大數(shù)與后一個(gè)集合中的最小數(shù)是連續(xù)奇數(shù).

(I)求數(shù)集序列第〃個(gè)集合中最大數(shù)《，的表達(dá)式；

(II)設(shè)數(shù)集序列第〃個(gè)集合中各數(shù)之和為7；.

(i)求T“的表達(dá)式；

(ii)令/(〃)=[1+沂J(〃eN*),求證：2s/(〃)<3.

8.(中學(xué)學(xué)科網(wǎng)一)對(duì)于函數(shù)/(x),若存在x°wR,使/(x0)=xo成立,

則稱點(diǎn)(%,%)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。(1)已知函數(shù)/(X)=QX?+笈-/?伍W0)有

不動(dòng)點(diǎn)(1,1)和(-3,-3)求a與8的值；(2)若對(duì)于任意實(shí)數(shù)g

函數(shù)/(x)=ax2+bx-b(a*0)總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求a的取值范圍;

(3)若定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)g(x)存在(有限的)n個(gè)不動(dòng)點(diǎn),

求證：〃必為奇數(shù)。

9.(中學(xué)學(xué)科網(wǎng)二))設(shè)點(diǎn)集L=｛(x,y)|y=八心其中向量

m=(2,l),2=(x,l)｝,點(diǎn).Q也)在L中,4為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn)，數(shù)列他｝的

前n項(xiàng)和s.=/.

(1)求數(shù)列｛a“｝、｛a｝的通項(xiàng)公式。

(2)若％=?(〃22),計(jì)算lim?+C3+…+c“)。

(3)設(shè)函數(shù)/(〃)=a“+(-l)"%neN*,是否存在女eN*,使f(k+10)

=3f(k),若存在，求出k的值；若不存在，說明理由

10.(中學(xué)學(xué)科網(wǎng)三)已知兩個(gè)函數(shù)/(X)=7X2-28X,

g(x)=2x3+4x2-40x+c.

(I)F(x)圖像與/(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，解不等式尸(x)N/(x)-|x+3|;

(II)若對(duì)任意x仕一3,3],都有/(x)Kg(x)成立，求實(shí)數(shù)c的取

值范圍.

11.(北京豐臺(tái))四邊形ABCD是梯形，\s\up7(一㈠電.\s\Up7(-?(^)At)

=0,\s\up7(一(T)A%與\8\叩7(—(一)Ct)共線，A,B是兩個(gè)定點(diǎn)，其坐標(biāo)

分別為(―b0),(1,0),C、D是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足|CD|=|BC|。

(I)求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程；

(II)設(shè)直線BC與動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的另一交點(diǎn)為P,過點(diǎn)B且垂直

于BC的直線交動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E于M,N兩點(diǎn)，求四邊形CMPN面

積的最小值。

12.(北京石景山)已知函數(shù)y=/(x)對(duì)于任意"與(AwZ),都有

式子/伍Tan，)=cot。-1成立(其中a為常數(shù)).

(I)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(II)利用函數(shù)y=/(x)構(gòu)造一個(gè)數(shù)列，方法如下：

對(duì)于給定的定義域中的再，令》2=/(修)，=/(犬2)，…，

在上述構(gòu)造過程中，如果X,(i=l,2,3,…)在定義域中，那

么構(gòu)造數(shù)列的過程繼續(xù)下去；如果匕不在定義域中，那么構(gòu)造數(shù)列的

過程就停止.

(i)如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列，求。的取值范圍；

(ii)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)。，使得取定義域中的任一值作為再，

都可用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無窮數(shù)列｛貓｝?若存在，求出

。的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(iii)當(dāng)。=1時(shí)，若再=7,求數(shù)列入｝的通項(xiàng)公式.

13.(北京市朝陽)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝中，前.n項(xiàng)和Sn滿足

2Sn+l=a〃(2a〃+1),neN*。

(I)證明｛“"｝是等差數(shù)列，并求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和

的公式；

(II)在XOY平面上，設(shè)點(diǎn)列Mn(xn,yn)滿足%=〃x“，S”=〃2%，

且點(diǎn)列Mn在直線C上，Mn中最高點(diǎn)為Mk，若稱直線C與x軸、直

線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為直線C在區(qū)間［a,b］上的面積，

試求直線C在區(qū)間風(fēng)，Xk］上的面積；

(IID是否存在圓心在直線C上的圓，使得點(diǎn)列Mn中任何一個(gè)

點(diǎn)都在該圓內(nèi)部？若存在，求出符合題目條件的半徑最小的圓；若不

存在，請(qǐng)說明理由。

14.(北京東城一)已知函數(shù)f(x)=l-L(x>0).

X

(I)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí)，求證：ab>l；

(II)是否存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)kf(x)的定義域、值域都

是［a,b］,若存在，則求出a,b的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.

(III)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)椋踑,b］

時(shí)，值域?yàn)椋踡a,mb］

(mWO),求m的取值范圍.

15.(北京東城二)已知定義在R上的單調(diào)函數(shù)/(x),存在實(shí)數(shù)

使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)2也總有f(X0Xl+X0X2)=/(X0)+/(%l)+/(》2)恒成立?

(1)求的的值.

(2)若/(/)=1,且對(duì)任意正整數(shù)〃，有%=上也

/(?)2

記

比較gs.與

S”=axa2+a2a3+---+anan+l,Tn=b]b2+b2b3+---+bnbn+l

Tn的

大小關(guān)系，并給出證明;

2

(3)若不等式an+i+an+2H---Fa2n>—[log,(x+1)-log,(9x-1)+1]對(duì)任

3555

意不小

于2的正整數(shù)〃都成立，求x的取值范圍.

16.(北京西城)設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)〃x)構(gòu)成的集合：“①

方程/(x)-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)/(x)的導(dǎo)數(shù)(⑴滿足

0<仆)<1.”

⑴判斷函數(shù)/(》)=>等是否是集合M中的元素,并說明理由；

(II)集合M中的元素具有下面的性質(zhì)：若/(x)的定義域?yàn)?/p>

D,則對(duì)于任意

[m,n]qD,都存在x。e[m,n],使得等式

=(〃一機(jī))/'(X。)成立“，

試用這一性質(zhì)證明：方程〃x)-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；

(III)設(shè)項(xiàng)是方程x=0的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于/(x)定義域中

任意的%2，%3,當(dāng)1%2L且IX3~%11<時(shí),"。3)-/(了2)]<2.

17.(豫南五市)設(shè)曲線>=。+：短+5在點(diǎn)x處的切線斜率為k(X),

且k(一1尸0.對(duì)一切實(shí)數(shù)x,不等式xWk(x)wg(%2+i)恒成立(“NO).

(1)求k(l)的值；

(2)求函數(shù)k(x)的表達(dá)式；

于Q.

（1）試用f表示切線尸。的方程；

（2）試用/表示AQAP的面積g（。在（〃?,〃）上單調(diào)遞減，試求出機(jī)

的最小值.

（3）若%心詈,64,試求出點(diǎn)尸橫坐標(biāo)的取值范圍

19.(陜西)已知點(diǎn)A2,…，A。，…依次在x軸上，A1(1,0),

A?(5,。)，44+1=gA“_|A“(n=2,3,…)；點(diǎn)B］，B2,…，Bn…

依次在射線y=x(x20)上,且Bi(3,3),|西|+2&(n=2,3,--■).

（1）用n表示An與3的坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線AnBn的斜率為kn,求lim片的值；

XTOO

（3）若四邊形AnA,Bn+iBn的面積為S,求證：9<SW12.

20.（上海）在等差數(shù)列｛%｝中，a4SA=-14,S5-a5=-14,其中S“是

22

數(shù)列｛環(huán)｝的前〃項(xiàng)之和,曲線c”的方程是X+?1,直線/的方程

是y=x+3。

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)直線/與曲線C“相交于不同的兩點(diǎn)4,B,,時(shí),令

吃=M」+4）M周，求的最小值;

（3）對(duì)于直線/和直線外的一點(diǎn)P,用“/上的點(diǎn)與點(diǎn)P距離的最小

值”定義點(diǎn)P到直線/的距離與原有的點(diǎn)到直線距離的概念是等價(jià)的,

若曲線C,與直線/不相交，試以類似的方式給出一條曲線c與直線/

間“距離”的定義，并依照給出的定義，在C,中自行選定一個(gè)橢圓,

求出該橢圓與直線/的“距離”。

21.(石家莊市)設(shè)H是。的外心，41,0),8(-1,0),0為

坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)G滿足：3為=了+就，且/\

_D__X

GH

⑴求頂點(diǎn)。的軌跡后的方程;

(2)如圖，從點(diǎn)*,0)發(fā)射出一個(gè)質(zhì)點(diǎn)m沿拋物線G：

y=-ax2+h向上飛行到點(diǎn)尸時(shí)，立即得到變軌指令，

即開始沿著曲線E運(yùn)動(dòng)，兩曲線G和E在公共點(diǎn)尸處的

切線相同，求拋物線G的方程.

22.(保定市)已知函數(shù)f(x)=Z?g,其中向量

1

?=(",二T),3=」,ln(x+1產(chǎn)),

x+1x+\

設(shè)g(x)=7'(x)。+雪2),(其中八X)是f(x)的導(dǎo)數(shù))

X

⑴試比較孚g(10)與g(2)的大小

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝滿足a“=g(〃)；是否存在最大的實(shí)數(shù)t,使函數(shù)

f(x)=x2-4x-3g(n),當(dāng)xWt時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)〃，都有“X)20.(其

中e=2.71828……)

23.(江蘇南京)過曲線C:y=d上的點(diǎn)片區(qū),必)作曲線C的切線/i與

曲線C交于尸2(/，力)，過點(diǎn)P2作曲線C的切線，2與曲線C交于點(diǎn)

舄（七,當(dāng)），依此類推，可得到點(diǎn)列：片區(qū),口）

巴（X2，%），鳥（%3，％），…，K?，”），…，已知再=1

（1）求點(diǎn)P2>P3的坐標(biāo).

（2）求數(shù)列｛X,,｝的通項(xiàng)公式.

（3）記點(diǎn)P“到直線g（即直線九月+2）的距離為乙，

求證:_L+_L+...+_L>土

4%d.9

24.（宜昌市）已知拋物線），2=以內(nèi)一點(diǎn)P的坐標(biāo)為pg,i）

（1）過點(diǎn)P作直線/與拋物線交于八8兩點(diǎn)，若點(diǎn)尸剛好為弦AB

的中點(diǎn)，求直線/的方程；

（2）若過線段48上任一點(diǎn)尸?（不含端點(diǎn)A,8）作傾斜角為兀-arctan2

的直線A與拋物線交于AB】?jī)牲c(diǎn),求證：|P|A|.|P網(wǎng)=有4|.|戶倒|.

（3）過尸作斜率分別為瓦也（自在）的直線374交拋物線于

4,|=|PA+B

A2,B2,%交拋物線于昂，^\PA2\-\PB23\-\PB3\,求用的

值.

參考答案

1.解：(理)⑴f'(x)=a*+x?Hlna=(1+xlna)a*(a>l).......

①

由f，(x)>0得1+xlna>0,解得x>—?—；由f'(x)〈。得1+

Ina

排水°，解得水一在

??"J）的單調(diào)增區(qū)間為（—在,+8），單調(diào)減區(qū)間為（-8,一

當(dāng)k一白時(shí)，咒執(zhí)戶人一心）=一在?a亡T=_^?；-

又limf(x)=-1,limf{x)=+00,f(x)的值域?yàn)椋垡?一1,

XT-COX->-KOelna

+°0).........4分

又,.,/'(0)=-1〈0,limF(x)=+8,又F(t在［0,+8)上遞增,

XT+OO

方程F(x)=0在［0,+8)上有唯一實(shí)

根......................................6分

而limF(x)=—1<0,.,.方程f(才)=0在(-8,0)上無實(shí)根

XT-00

.,?方程力?=0有唯一實(shí)根，y=r(x)在(一8,0)上函數(shù)值y均

小于0...........7分

⑵?.?函數(shù)汽|x|)為偶函數(shù)，故只需討論才20時(shí)，方程F(|x|)=0

亦可求F（x）=0的實(shí)根的個(gè)數(shù)。

I.當(dāng)a=1時(shí)，方程f(x)=0有唯一實(shí)根x=

1;.............................8分

II.當(dāng)0<水1時(shí)，由①式，同理可知xNO時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間

為(0,——一)，單調(diào)減區(qū)間為(一/—，+°°)°當(dāng)x=—/一時(shí)，

InaInaIna

/U)max=——T—-L.....................9分

elna

又?."(())=-1<0,limf(x)=-l,故有

XT+OO

1_1

當(dāng)一一^一1<0即0<水/時(shí)一，方程f(x)=0無實(shí)根；

611na

1_i、

當(dāng)一~j——1=0即(3=6，時(shí)，方程廣(X)=0有唯一實(shí)根；

elna

1_i

當(dāng)一一「一1>0即1〈水1時(shí)，方程f(x)=0有兩個(gè)實(shí)

elna

根；...................12分

綜上可知：

1

當(dāng)0〈a〈心時(shí),方程=0無實(shí)根;

當(dāng)a=J或1時(shí)，方程F(|x|)=0有兩個(gè)實(shí)根；

當(dāng)/<a<l時(shí)，方程f(|x|)=0有四個(gè)實(shí)

根。...............................14分

2.(1)n22時(shí)4=SLSLI=2I,

?.?|a|成G、P,且公比q=2=2,囪=2+p也應(yīng)滿足&=2「

%

.**p=—1(2分)(文科4分)

(2)通項(xiàng)&=21,(n￡N*).(4分)(文科8分)

(3)Vbn=n—1,且Qn=&b+a2b2+…+&nbn,

則Qn=O?1+1?2+2?22+3?23+―+(n-l)?2"-1

2Q?=1?22+2?23+-+(n-2)?2n-1+(n-l)?2n,

相減可得Q“=(n—2)?2"+2.于是"lim(”2)2+2=](9分)

n-s(71+1)-T

(4)n=2k時(shí)(k￡N*),T.—憂)+&-帥+…+園

=-(bi+bz+???+b2k)=—[1+2+…+(2k—l)]

=-2k2+k

n=2k—1時(shí)(k￡N*),Tn=(廳一助+…+?晨+bk

=-[l+2+-+(2k-3)]=-2k2-3k+l,

2

T=f-2I-+k("=2k)，(keN*)(14分)(文科14分)

"[2k2-3k+l,(n=2k-l),

3.(1)由已知%s=2.(巴口/耳,即產(chǎn)為=2.3.................

n(九+1)n

(2分)

???數(shù)列｛q｝是公比為2的等比數(shù)列，又4=2

n1

=2".：.a=Tn2...............................

nn

.....(4分)

2

(2)vhn+]-bn=[An+(4A+B)n+2A+2B+C]-2"..............

(6分)

若%=—久恒成立，則〃2=An2+(4A+B)n+24+28+C恒成立.

A=1U=1

.?」4A+B=0nB=-4,故存在常數(shù)A、B、C滿足條件.......

2A+2B+C=0[c=6

(9分)

(3)ax+a2+---+an=(b2-bi)+(b3-b2)+---+(bn+l-bn)=bn+x-bx…(11

分)

=[(n+l)2-4(?+l)+6]-2n+l-6=(/i2-2n+3)-2n+l-6

=[(n-l)2+2]-2n+l-6>2,,+1-6

4.(1)f(x)=/(x+0)=/(x)./(0),/.x>OBt,f(x)>1,/(0)=1

(2)/(x)=/(|+j)=[/(1)]2>0.

假設(shè)存在某個(gè)x°eR,使/'(Xo)=O,

則對(duì)任何x>0,有/(x)=f[(x-x0)+xQ]=/(x-x0)-/(x0)=0與已知矛

盾，

均為滿足〃x)>0

(3)任取X),X2G/?且1X<x2,則*2-X[>O,f(x2-X1)>1

f(X2)-/(%1)=/[(X2-X()+Xt]-/(%1)=/(X2-%1)-/(X])-/(%()

=/(x1)[/(x2-x1)-l]>0

??.xeH時(shí)，〃x)為單調(diào)遞增函數(shù)

???/⑴=2,則/⑵=〃1).〃1)=4

f(3x-x2)>4=/(2),.-.3x-x2>2l<x<2

不等式的解集為{x11<x<2}

(4)y(3)=/(l+2)=/(l)-/(2)=8

2

方程[/(x)]+1/(x+3)=/(2)+1可化為[/(x)]2+i.〃3)./(x)=5,

即"(x)]2+4/(x)—5=0,解彳哥(x)=lW(x)=—5(舍)，由(1)得下0.

故原方程的解為尸0.

5.：(1)^5=而n西=而，.,.PFQM為平行四邊形，

又麗=4(2+坐)知M在NPFQ的角平分線上，

1^1\FP\

：.四邊形PFjOM為菱形，且邊長(zhǎng)為|所|=而=

c...........................2分

IppI2消c2

**?|PF?|=2/|PFX|=2Ac,由第—.定乂?=e即--=e,.??1+1

=6且e>l

??

e=2............................................................

......4分

V2x2

(2)由A2,???c=2a即層34,雙曲線方程為5一力=i

a3a

l43

又N(水,2)在雙曲線上，???f—寸=1,雙曲線的方程

va3a

22

為?一石=1…7分

O<7

⑶由取=〃瓦^知AB過點(diǎn)B2,若ABJ_x軸，即AB的方程為尸3,

V2x2

此時(shí)AB】與BBi不垂直；設(shè)AB的方程為尸A(x—3)代入不一石=1

得

（3六一1）1一18/X+2742—

9=09分

由題知3人1W。且△＞（）即冷葡下行,

設(shè)交點(diǎn)A（x”yi）,B（X2,%），而=（石+3,必），府=（在+3,

%）,

雨港=0即豆用+3（Xi+E）+9+y%=

0............11分

18〃

此時(shí)為+場(chǎng)=否,蒞=9,

3^-r

54發(fā)

"入=尸（否一3）（為-3）=*[x]X2—3（為+蒞）+9]="[18一泰二J

18A2

-3A2-1

18A2,18A22,乖

.?.9+3獲二^+9—荻口=0,.*.5k=l,/.k=±^-

AB的方程為受土金（x—

5

3）.....................................14分

6.（I）VS2=kSi+2

??ai+&二ka1+2

:

又ai=2,a2=l,2+l=2k+2

........2分

（n）由（i）知

Sn+I=|sn+2

①

當(dāng)n22時(shí),

Sn=gSn」+2

②

①-②，得

1

an+l=yan

(n

2)...........................-4

分

又a2=；a「易見an#O(neN*)

a1

.?.3=_(neN*)

2

于是｛a｝是等比數(shù)列，公比為,所以

6分

不等式m〈,即

Sn+i-m2

(Ill)

4(l-/rAm

整理得2V2n(4-m)<

6..............................................................8分

假設(shè)存在正整數(shù)m,n使得上面的不等式成立，由于2n為偶數(shù)，4-m

為整數(shù)，則只能是

2n(4-m)=4

2-2,十|2n=4.....................................

或〈

4-m=2;[4-m=1

......10分

S-m1

n-----<-

Sn+1-m2

因此，存在正整數(shù)m=2,n=l；或

7.(I)，.,第〃個(gè)集合有〃個(gè)奇數(shù)，.?.在前〃個(gè)集合中共有奇數(shù)的個(gè)

數(shù)為

]+2+3+…+(〃-1)+〃+.......................

........2分

則第n個(gè)集合中最大的奇數(shù)

2

an=2xg〃(〃+l)-l=n4-zz-l..............4分

(II)(i)由(I)得+〃一1,

(neN*).…7分

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，/(I)=2，顯然2W

/(I)<3.................................................................8分

(2)當(dāng)〃22時(shí)

1+-|=《(％+《(與+亡(與+…+C：d)"............9分

nJnnnn

>C：(-)°+C：,(-)'=2’......................

nn

....................10分

c：(%〃(〃一1)(〃—2)???(〃-Z+l)11

n不石〈石

w

1_1_]_

12分

=c：(-)0+c；,(-)'+c：(-)2+-+c；；(-r

nJnnnn

〈1+1+(1-…(----....................

13分

14分

即

15分

綜上所述，2W

/(?)<3.16分

8o(1)由不動(dòng)點(diǎn)的定義:f(x)-x=O,

ax2+(/?-l)x-=0,代入x=l知a=l,又由x=-3及a=l知

?Z7—3o

(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)b,/(x)=ax2+bx-b(aW0)總有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),

即是對(duì)任意的實(shí)數(shù)〃，方程/(x)7=0總有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根。

二.ax2+(b-l)x-6=0中△=(/>-+4帥>0,

即〃2+(4“一2皿+1>0,恒成立。故4=(4a—2>—4<0,/.0<a<1o

故當(dāng)0<。<1時(shí)，對(duì)任意的實(shí)數(shù)"，方程“X)總有兩個(gè)相異的不動(dòng)

(3)g(x)是R上的奇函數(shù)，則g(0)=0,I.(0,0)是函數(shù)g(x)的

不動(dòng)點(diǎn)。若g(x)有異于(0,0)的不動(dòng)點(diǎn)(Xo，Xo),則g(Xo)=Xo。

又g(-Xo)=-g(Xo)=-Xo,(-x0,-x0)是函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn)。

???g(x)有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)除原點(diǎn)外，都是成對(duì)出現(xiàn)的，有2k個(gè)(ZeZ),

加上原點(diǎn)，共有〃=2女+1個(gè)。

9.(1)Ly=c-d=2x+l,點(diǎn)￡,(a“也)在L中，bn=2an+\,

%==1....3，

又仇｝的前n項(xiàng)和S“=〃2,利用/?“=s“-，得?！?2〃-1

??a_=—---=n—1.....5

2

(2)

I6E"=J(%-…J2=J(〃_l)2+(2〃_2)2=后I〃—1|=行(〃—1)(〃>2)

VTo8

n\PA\

?，?c2+c3+---+Cn=V2[(1-^)+(^-1)+---(^—--)]=72(1--)....文科10,

1223n-1nn

二?lim(c+C3+…+g)=V2....理科1O'

〃一>82

(3)設(shè)存在丘N*,使f(k+10)=3f(k),

當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),f(k)=ak-bk=-k,f(k+10)=-k-10

由-k-10=-3k得k=5

當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),f(k)=ak+bk=3%-2,7(&+10)=3(&+10)-2=3&+28

由3k+28=3(3k-2)得卜=”任曠

3

故存在k=5,使f(k+10)=3f(k)……14,

10.(I)設(shè)函數(shù)y=/(x)的圖象上任一點(diǎn)。(x。,%)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為

尸(x,y),

則儼=-X,

bo=-y-

,點(diǎn)0(工0，>0)在函數(shù)y=/(x)的圖象上.

-y=lx2+2Sx,即y=-7x2-28x,故

F(x)=-7x2-28x.(3分)

^F(x)>/(x)-|x+3|,可得14x2<|x+3|.

當(dāng)x4-3時(shí)，14/+X+340,此時(shí)不等式無解.

31

當(dāng)了2—3時(shí),14---3<0,..?一一<%<-.

x72

因此，原不等式的解集為卜卜1WxV；).(7分)

(II)依題意2/_3七一⑵+CN0在[-3,3]恒成立.

令力(x)=2/一3/-12x+c,則/(x)=6x2-6x-\29

令"x)=0得x=2或-1,(9分)

當(dāng)x〉2或x<-1時(shí),"(x)>0;

當(dāng)-l<x<2時(shí),/z'(x)<0,

.?./?。)在(-8,-1)是增函數(shù),在(-1,2)是減函數(shù),在(2,+8)是增函數(shù).

當(dāng)》=T時(shí)，力(x)極大值=7+c;當(dāng)x=2時(shí),〃(x)極小值=-20+c

又人(3)=—9+c,力(-3)=-45+c,

函數(shù)最小值為-45+c.(12分)

依題意-45+cNO；,c245.(14分)

11.四邊形ABCD是直角梯形,且CD_LDA,X|CD|=|BC|,

所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為以B為焦點(diǎn)，DA為準(zhǔn)線，對(duì)稱軸為x軸D一

的拋物線。設(shè)動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程y2=2px(p>0),則P=|AB|=2-4L

所以動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程是

y=4x(x工0,xH1)3分

(另解：設(shè)C(x,y),則D(—1,y)依題意|x+l|=J(x—1D+y?ny?=4x

(xw0,xw1))

(II)設(shè)直線BC斜率為k,由題意知，k存在且kwo,直線BC的方

程y=k(x—1)

nk2x2-(2k2+4)x+k2=0,

依題意y2=4x

^P(x1,y1),C(x2,y2)

2k2+4,

X|+X2=——x,-x,-1

|PC|=J(l+k2)[(X]+X2)2—4X]X2]=2k)

K

直線MN垂直于直線BC,以一；替代上式中的k,得

k

|MN|=4(1?+1)7分

所以

S四邊形CMPN=i|PC|-|BN|+||PC|-|BM|

=||PC|(|BN|+|BM|)

=||PC|.|MN|

2k2

。k4+2k2+12I、、

=8------------------=8O(Zk12+—+2)

kk

11

vk29+-y>28(k29+-y+2)>32

kk

四邊形CMPN面積的最小值等于

32........12分

12.(I)令冗二〃一tan?！?,貝Utan。=Q—%,而cot。=—-—=—-—,

2tan0a-x

故/(x)=」--1，

a-x

(xHa)............................3分

(II)(i)根據(jù)題意，只需當(dāng)時(shí)一，方程/⑴一有

解，...........4分

亦即方程/+(l-a)x+l-a=0有不等于a的解.

將x=a代入方程左邊，左邊為1,與右邊不相等.故方程不

可能有解x=a.

.............5分

由A=(l-a)2-4(l-a)>0,得3或

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

(-oo,-3]U[l,+ao).......................7分

(ii)假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)使得取定義域中的任一值作為XI,

都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無窮數(shù)列上｝,那么根據(jù)題

意可知，王j=a在R中無解，

a-x

......................8分

亦即當(dāng)xwa時(shí)，方程(l+a)x=q2+”1無實(shí)數(shù)解.

由于x=a不是方程(l+a)x=/+a_]的解，

所以對(duì)于任意x￡R,方程a+a)x="2+a—i無實(shí)數(shù)解，

因此解得a=-1.

ci~+a—IwO.

???a=-1即為所求。的

值............................11分

(iii)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=，所以，乙+i=—.

1-x1一Z

兩邊取倒數(shù)，得一!一=匕%=-1-1,即-1.

X"+lX"X"X"Mx?

所以數(shù)列｛工｝是首項(xiàng)為工=-1,公差d=-1的等差數(shù)列.

X"王

故'=-1+(〃-1)?(-1)=一〃，所以，xn=一■-,

X”n

即數(shù)列｛%?｝的通項(xiàng)公式為

x?..................................................................14分

n

13,:(1)由已知得2s,,=2。；+%-1①

故2s向=2。3+。向-1②

②一①得2a"+1=2*]-2片+an+i-an

結(jié)合%>0,得%+i-<

???｛4｝是等差數(shù)列……2分

又〃=1時(shí)，2%=2a：+%-1,解得%=1或q=---

*/an>0,q=1....3分

又d=L=1+—(n-1)=—n+—....4分

2"222

c1n(n-1)123(-zv

'2244

(H)van=nxn,S“=〃2y“

a.11S?13

/.x=—=—+—,y=—二一+—

nn22nnn244n

即得點(diǎn)+；+；)

22〃44n

,消去n,得3x-2y-l=0

22n44〃

即直線C的方程為3x-2y-1=0……7分

又y=J+二?是n的減函數(shù)

44〃

為例中的最高點(diǎn),且此(1,1)

又血的坐標(biāo)為弓，1)

.?.C與X軸、直線X=|、X=1圍成的圖形為直角梯形

從而直線C在［|,1］上的面積為S=；x(；+l)x(l-|)=；....

10分

(III)由于直線C:3x-2y-1=0上的點(diǎn)列Mn依次為

M,(l,1),M2(-,-),M3(-,-),……，Mn(l+—,-+……

483222〃44〃

—rr..11、1「/I3、1

Hulim(z—+—)=—,lim(—+—)=—

〃->822n2〃->°°44〃4

因此，點(diǎn)列沿直線C無限接近于極限點(diǎn)M(工，1)……

24

12分

又;1=」1一》2+(1_』=乎

MM的中點(diǎn)為(3,9)

48

???滿足條件的圓存在

事實(shí)上，圓心為(3,半徑「2姮的圓，就能使得Mn中任何

488

一個(gè)點(diǎn)都在該圓的內(nèi)部,其中半徑最小的圓為(x—；)2+(y令嚏

14分

1----,X>1,

14.：(I)Vx>0,Af(x)=<

—1,0<x<1.

，f(x)在(0,1)上為減函數(shù),在(1,+8)上是增函數(shù).

由0〈a〈b,且f(a)=f(b),

可得0<a<l〈b和L-1=1」.

ab

即w.

ab

?\2ab=a+b>27ab.

故疝〉1,即ab>l.

(ID不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b.

若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a,b,使得函數(shù)y=f(x)=l-工的定義

X

域、值域都是

[a,b],則a>0.

1----，X>1,

f(x)=<

1,0<x<1.

①當(dāng)a,be(0,l)時(shí)，f(x)」-i在(0,1)上為減函數(shù).

-1=b,

f(a)=b,

f(b)=a.

解得a=b.

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a

②當(dāng)a,be[l,+8)時(shí)，f(x)=l-1在(1,+8)上是增函數(shù).

X

故[f(a)=a,即a，

"(bi」=b.

[b

此時(shí)a,b是方程x2-x+l=O的根，此方程無實(shí)根.

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,

b...............................8分

③當(dāng)a€(0,1),be[l,+oo)時(shí),

由于le[a,b],而f⑴=0e[a,b],

故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,b.

綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a,

b...............................10分

(III)若存在實(shí)數(shù)a,b(a<b),使得函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閇a,b]

時(shí)，值域?yàn)閇ma,mb].

則a>0,m>0.

①當(dāng)a,be(0,1)時(shí)，由于f(x)在(0,1)上是減函數(shù)，故

1,

——1=mbK,

.此時(shí)刻得a,b異號(hào)，不符合題意，所以a,b不

——1=ma.

lb

存在.

②當(dāng)ae(0,l)或be口,+8)時(shí)-，由(II)知。在值域內(nèi)，值域不可能

是[ma,mb],所以a,b不存在.

故只有a,be[l,+8).

Vf(x)=1」在［1,+8)上是增函數(shù),

X

f(a)=ma,

f(b)=mb.

a,b是方程mx?-x+1=0的兩個(gè)根.

即關(guān)于x的方程mx2—x+l=o有兩個(gè)大于1的實(shí)

根................12分

設(shè)這兩個(gè)根為x2.

1

則X]+X2=—，X1?x=

m2m

'△>0,1-4m>0,

?*<(X|-1)+(X2—1)>0,即1

—-2>0.

(x1-l)(x2-l)>0..m

解得0<m<—.

4

故m的范是

0<m<-...........................................................................14分

4

15(1)令-=X2=0,得/(0)=/(x°)+2/(0),.?.